第二章線性時(shí)不變系統(tǒng)詳解演示文稿

第二章線性時(shí)不變系統(tǒng)詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四優(yōu)選第二章線性時(shí)不變系統(tǒng)現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四則若對(duì)LTI系統(tǒng)的分析有哪些方法？時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法，分別對(duì)應(yīng)時(shí)域、頻域、變換域。如果解決了上述幾個(gè)問(wèn)題，任意信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)，都可以用下列步驟來(lái)解決:2.0

引言3現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四本章主要內(nèi)容信號(hào)的時(shí)域分解——用表示任意信號(hào)；

系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積運(yùn)算（卷積和、卷積積分）；用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)；LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。信號(hào)的時(shí)域分解——用表示任意信號(hào)；

系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積運(yùn)算（卷積和、卷積積分）；用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)；LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。第二章主要內(nèi)容4現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和

（Convolutionsum）

對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào)，如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將整個(gè)信號(hào)拆開(kāi)來(lái)，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。所以任意一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)都可看作一串單個(gè)脈沖來(lái)想象。

例如：2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和一、用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)

下圖為用多個(gè)單位脈沖表示一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)：5現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和6現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為

，即：二.卷積和（Convolutionsum）2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和則由時(shí)不變性：由線性系統(tǒng)性質(zhì)：結(jié)論：對(duì)時(shí)不變系統(tǒng)，若已知單位沖激響應(yīng)，則：?jiǎn)挝幻}沖相應(yīng)已知，則任意輸入的輸出就可求出7現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四上式表明:一個(gè)LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來(lái)表征，這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和三.卷積和的計(jì)算

1.主要方法：圖解法、列表法、解析法（數(shù)值解析等）

2.運(yùn)算的步驟（一般情況下，已知）：通常采用圖解和解析法相結(jié)合。完成卷積運(yùn)算，確定被求和函數(shù)、求和上下限，一般分三步完成運(yùn)算。8現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例1

已知，求LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)。2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和1).由，k軸上其非零取值區(qū)間是固定的；2).3).將從左到右移動(dòng)，分步確定隨著n的變化，被求和函數(shù)的非零區(qū)間，確定求和上下限的k值。注意：此時(shí)的n可以看成一個(gè)常數(shù)9現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四解：采用圖解法

通過(guò)圖形確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)非零區(qū)間，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的(見(jiàn)P65例2.5)，

這種方法一般分5個(gè)求和區(qū)間進(jìn)行計(jì)算。2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和...10現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例2采用列表法z觀察卷積和運(yùn)算式子過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)：與所有的各點(diǎn)都要遍乘一次；

在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù)，參與相加的各點(diǎn)都具有與的變量之和為的特點(diǎn)。

2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算非常簡(jiǎn)單。缺點(diǎn)：①只適用于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的卷積和；②一般情況下，無(wú)法寫(xiě)出的封閉表達(dá)式。11現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四0t單位距形脈沖定義0t一.用(t)

表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)§2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分12現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四第個(gè)矩形可表示為：這些矩形迭加起來(lái)就成為階梯形信號(hào)，即：將x(t)用一系列的矩形脈沖近似。2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分13現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，，，，，于是：表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)都可以被分解為無(wú)數(shù)多個(gè)移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分14現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四上式表明：LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來(lái)表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。對(duì)于LTI系統(tǒng)的時(shí)不變性，若二.卷積積分（Theconvolutionintegral）即，若根據(jù)線性性質(zhì)：則2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分定義卷積積分：15現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四卷積積分的計(jì)算

卷積積分與卷積和類(lèi)似，求解的方法有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運(yùn)算步驟如下：2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分1).由，k軸上其非零取值區(qū)間是固定的；2).由3).將從左到右移動(dòng)，隨著t的變化，分步確定積分的上下限。

注意：t看成常數(shù)，求的上下限。，非零區(qū)間隨t而變化；16現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例1:

解:

2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分17現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例

2:已知解:2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分，求（1）（2）（3）t取不同值時(shí)，將從左到右移動(dòng)，根據(jù)不同的非零重疊區(qū)域，確定每種情況的積分上下限。，分以下幾步求解：18現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)時(shí)，2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分19現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四§2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)一、卷積積分與卷積和的性質(zhì)設(shè)k’＝n－k則k＝n－k’同理2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.交換律20現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四可以看出，單位沖激響應(yīng)是，輸入信號(hào)是，或者單位沖激響應(yīng)是，輸入信號(hào)是，它們最后的響應(yīng)相同。根據(jù)交換律2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)21現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四2.分配律根據(jù)分配律可得：

兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)之和。2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)22現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四3.結(jié)合律根據(jù)結(jié)合律可得：兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應(yīng)的卷積。2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)23現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四

由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。具體的推導(dǎo)過(guò)程看課本P78頁(yè)。注意：①上述結(jié)論都是針對(duì)LTI而言的；②卷積運(yùn)算必須收斂。2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)結(jié)論：LTI系統(tǒng)總響應(yīng)與系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的次序無(wú)關(guān)。24現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四如果交換級(jí)聯(lián)順序，那么由于輸入信號(hào)與h2單元的卷積不收斂，因而實(shí)際中這樣的系統(tǒng)是不存在的。例①

對(duì)于由兩個(gè)單元級(jí)聯(lián)構(gòu)成的非線性系統(tǒng)如下：系統(tǒng)總的響應(yīng)發(fā)生了變化，所以級(jí)聯(lián)的無(wú)序性只適用于線性系統(tǒng)，同時(shí)也要求時(shí)不變性（書(shū)題2.51）。平方乘2乘2平方例②

對(duì)于的LTI系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，交換兩個(gè)級(jí)聯(lián)單元的順序后2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)25現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四

③時(shí)移特性。4.卷積的其他性質(zhì)

若則，卷積積分滿足下列特性：①微分特性；②積分特性；

③時(shí)移特性。②和特性；

若

，則卷積和滿足下列特性：①差分特性；

2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)26現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四信號(hào)平移:單位沖激響應(yīng)等于(t)的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng):2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)27現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四5.卷積性質(zhì)的應(yīng)用舉例

解：這里利用卷積的積分微分性質(zhì)。例如前面例題中的積分，已知求:

2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)28現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四此時(shí)無(wú)記憶系統(tǒng)：在時(shí)刻，都只能和時(shí)刻的輸入有關(guān)。二、LTI系統(tǒng)的性質(zhì)LTI系統(tǒng)具有記憶、可逆、因果、穩(wěn)定性時(shí)，單位沖激響應(yīng)的特點(diǎn)。2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1.記憶性可知，無(wú)記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為:00結(jié)論：如果LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)不是沖激函數(shù)，則系統(tǒng)是記憶的。當(dāng)K=1時(shí)，系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。由29現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例如①延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是

2.可逆性

如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且該逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來(lái)構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。如圖：因而有

③另：差分器不是可逆系統(tǒng)。

顯然有：②累加器是可逆LTI系統(tǒng)，其，逆系統(tǒng)顯然有：2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)30現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四對(duì)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)，是LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件。3.因果性

當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，在任何時(shí)刻，都只能取決于時(shí)刻及其以前的輸入，即和式中所有的項(xiàng)都必須為零，由離散LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件0可知2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)31現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四4.穩(wěn)定性

根據(jù)穩(wěn)定性的定義，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則必有界?？芍x散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：同理連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：若有界，設(shè)2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)32現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來(lái)描述LTI系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)或所產(chǎn)生的響應(yīng)。LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來(lái)描述。5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由則對(duì)離散系統(tǒng)2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)33現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四求解該微分方程，通常是求出一個(gè)特解

和通解，則§2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)(ThecausalLTISystemsdescribedbydifferentialanddifferenceequation)其中均為常數(shù)其中，①特解是與輸入同類(lèi)型的函數(shù)，

②通解是齊次方程的解的解。一線性常系數(shù)微分方程

（Linearconstant-coefficient

differentialequation）特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分由于與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。34現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四例2.14

已知LTI系統(tǒng)，求當(dāng)輸入為時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)P85解：①設(shè)特解代入系統(tǒng)方程得：②設(shè)通解代入系統(tǒng)對(duì)應(yīng)齊次方程得：系數(shù)B待定35現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四分析：當(dāng)微分方程描述系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)必須滿足：零輸入——零輸出。觀察輸入，可知，輸入是在時(shí)刻加入的，所以t＝0時(shí)的輸出2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)結(jié)論：1.通解可用特征根方法求解；2.

在信號(hào)加入時(shí)刻，給出的零附加條件，稱為零初始條件；3LCCDE具有一組全部為零的初始條件，可以描述一個(gè)LTI因果系統(tǒng)，這組條件是：稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。4.如果LCCDE具有一組非零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。36現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四一般的線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）可表示為：

它也可以通過(guò)求出一個(gè)特解和一個(gè)通解(即齊次解)來(lái)求解。要確定齊次解需要一組附加條件；特解都是與輸入信號(hào)具有相同函數(shù)形式的。二線性常系數(shù)差分方程（LCCDE）:(Linearconstant-coefficientdifferenceequation)2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

增量線性系統(tǒng)響應(yīng)的討論：分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。37現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有40頁(yè)\編輯于星期四線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代的方法求解，將方程改寫(xiě)為：2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)可以看出，要求出，不僅要知道所有的，還要知道