線性代數(shù)第一章節(jié)演示文稿

線性代數(shù)第一章節(jié)演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有40頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性代數(shù)第一章節(jié)現(xiàn)在是2頁\一共有40頁\編輯于星期三性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．推論2如果行列式中有一行(列)元素全為零，則此行列式的值為零.現(xiàn)在是3頁\一共有40頁\編輯于星期三推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明現(xiàn)在是4頁\一共有40頁\編輯于星期三性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如現(xiàn)在是5頁\一共有40頁\編輯于星期三性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如現(xiàn)在是6頁\一共有40頁\編輯于星期三二、應(yīng)用舉例我們將應(yīng)用行列式性質(zhì)來計(jì)算行列式，我們約定：現(xiàn)在是7頁\一共有40頁\編輯于星期三例１計(jì)算例2計(jì)算現(xiàn)在是8頁\一共有40頁\編輯于星期三例3

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得現(xiàn)在是9頁\一共有40頁\編輯于星期三現(xiàn)在是10頁\一共有40頁\編輯于星期三例4證明現(xiàn)在是11頁\一共有40頁\編輯于星期三證明現(xiàn)在是12頁\一共有40頁\編輯于星期三現(xiàn)在是13頁\一共有40頁\編輯于星期三同理：現(xiàn)在是14頁\一共有40頁\編輯于星期三例5反對(duì)稱行列式的形式為：由性質(zhì)1現(xiàn)在是15頁\一共有40頁\編輯于星期三1.5行列式按行（列）展開定義1：在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．1.5.1余子式，代數(shù)余子式定義例如現(xiàn)在是16頁\一共有40頁\編輯于星期三1.5.2行列式按行（列）展開法則定理1

行列式D等于其任意一行（列）的元素與它的代數(shù)余子式的乘積之和，即

推論

行列式的某一行（列）的各元素與另外一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。現(xiàn)在是17頁\一共有40頁\編輯于星期三綜上所述，可得到代數(shù)余子式的一個(gè)重要結(jié)論：例1設(shè)現(xiàn)在是18頁\一共有40頁\編輯于星期三例2證明范德蒙（Vandermonde）行列式

證用數(shù)學(xué)歸納法現(xiàn)在是19頁\一共有40頁\編輯于星期三現(xiàn)在是20頁\一共有40頁\編輯于星期三n-1階范德蒙德行列式現(xiàn)在是21頁\一共有40頁\編輯于星期三1.5.3拉普拉斯定理定義2現(xiàn)在是22頁\一共有40頁\編輯于星期三第1行第3行第2列第4列現(xiàn)在是23頁\一共有40頁\編輯于星期三定理2

拉普拉斯(Laplace)定理注：行列式按行（列）展開就是拉普拉斯定理k=1時(shí)的特殊情形?，F(xiàn)在是24頁\一共有40頁\編輯于星期三例3

用拉普拉斯定理計(jì)算行列式解：選取第1，2行，只有三個(gè)非零二階子式，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式為現(xiàn)在是25頁\一共有40頁\編輯于星期三例4證明現(xiàn)在是26頁\一共有40頁\編輯于星期三例5

計(jì)算2n階行列式現(xiàn)在是27頁\一共有40頁\編輯于星期三設(shè)線性方程組則稱此方程組為非

齊次線性方程組;此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.1.非齊次與齊次線性方程組的概念1.6克萊姆法則現(xiàn)在是28頁\一共有40頁\編輯于星期三定理1(Cramer法則)如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即現(xiàn)在是29頁\一共有40頁\編輯于星期三其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即那么線性方程組有解，并且解是唯一的，解可以表為現(xiàn)在是30頁\一共有40頁\編輯于星期三證明在把個(gè)方程依次相加，得現(xiàn)在是31頁\一共有40頁\編輯于星期三由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當(dāng)時(shí),方程組有唯一的一個(gè)解現(xiàn)在是32頁\一共有40頁\編輯于星期三由于方程組與方程組等價(jià),故也是方程組的解.現(xiàn)在是33頁\一共有40頁\編輯于星期三二、重要推論定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有無窮多個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.現(xiàn)在是34頁\一共有40頁\編輯于星期三齊次線性方程組的相關(guān)定理定理3

如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式

,則齊次線性方程組只有零解.現(xiàn)在是35頁\一共有40頁\編輯于星期三定理4

如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.有非零解.系數(shù)行列式現(xiàn)在是36頁\一共有40頁\編輯于星期三例1