線性系統(tǒng)的頻域分析5

退出本章是本書的重點(diǎn)，本章的重點(diǎn)有：乃氏圖的繪制；伯德圖的繪制；乃奎斯特穩(wěn)定判??；系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

現(xiàn)在是1頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是2頁\一共有87頁\編輯于星期三退出基本概念1何謂乃氏（Nyquist）圖在復(fù)平面上，當(dāng)由變化時(shí)，向量端點(diǎn)的軌跡，稱為幅相頻率特性圖即乃奎斯特圖通常又稱為極坐標(biāo)圖，簡稱乃氏圖乃氏圖的優(yōu)點(diǎn)：它可以在一張圖上描繪出整個(gè)頻域的頻率響應(yīng)。不足之處是，不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個(gè)單獨(dú)因子的作用。0～

現(xiàn)在是3頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是4頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2何謂尼氏（Nichols）圖尼氏圖又稱為對(duì)數(shù)幅相圖，對(duì)數(shù)幅相圖采用直角坐標(biāo)系，其中取幅頻特性的對(duì)數(shù)為縱坐標(biāo)，單位為分貝（dB），線性分度，取相頻特性做橫坐標(biāo)單位為度（），線性分度，對(duì)數(shù)幅相圖是以頻率為參變量的。

現(xiàn)在是5頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是6頁\一共有87頁\編輯于星期三退出3何謂伯德（Bode）圖對(duì)數(shù)幅頻特性曲線以頻率為橫坐標(biāo)，并采用對(duì)數(shù)分度；縱坐標(biāo)表示對(duì)數(shù)幅頻特性的函數(shù)，單位為分貝（dB），線性分度，對(duì)數(shù)相頻特性曲線的橫坐標(biāo)與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線相同；縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值單位為度（）線性分度，對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，稱之為伯德圖。現(xiàn)在是7頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是8頁\一共有87頁\編輯于星期三退出4何謂頻率響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。開環(huán)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為開環(huán)頻率響應(yīng)；閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)正弦輸入穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為閉環(huán)頻率響應(yīng)；現(xiàn)在是9頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是10頁\一共有87頁\編輯于星期三退出（1）其穩(wěn)態(tài)輸出也是與輸入信號(hào)頻率相同的正弦信號(hào)；（推倒P129）（2）穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)的幅值為，得稱為系統(tǒng)的幅頻特性；（3）穩(wěn)態(tài)輸出相對(duì)正弦輸入的相移為稱為系統(tǒng)的相頻特性，稱為相位滯后，稱為相位超前。在線性定常系統(tǒng)中，系統(tǒng)或元部件的正弦輸入信號(hào)為，當(dāng)頻率由0變化到時(shí)，則其輸出量的穩(wěn)態(tài)分量的復(fù)數(shù)形式與輸入量的復(fù)數(shù)形式之比，稱為頻率特性。記為

現(xiàn)在是11頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5何謂最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在s平面右半部沒有極點(diǎn)和零點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在s平面右半部有極點(diǎn)和零點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，稱為非最小相位系統(tǒng)?，F(xiàn)在是12頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是13頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是14頁\一共有87頁\編輯于星期三退出6何謂幅角定理在s平面上任選一封閉曲線，并使上每個(gè)點(diǎn)不包含的零點(diǎn)與極點(diǎn)，則映射到平面上也是一條封閉曲線。當(dāng)s順時(shí)針沿變化一周時(shí)，向量端點(diǎn)軌跡按順時(shí)針圍繞原點(diǎn)總?cè)?shù)等于封閉曲線內(nèi)包圍的零點(diǎn)數(shù)目與極點(diǎn)數(shù)目之差，其中，與是指在內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)?，F(xiàn)在是15頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是16頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

對(duì)的分析現(xiàn)在是17頁\一共有87頁\編輯于星期三退出7何謂負(fù)穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負(fù)穿越；現(xiàn)在是18頁\一共有87頁\編輯于星期三退出8何謂控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性在控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步表征其穩(wěn)定程度高低的概念，稱為控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是19頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5.2乃氏圖及伯特圖的繪制頻率響應(yīng)法是一種圖解法，因而簡捷而準(zhǔn)確地作出滿足工程分析和設(shè)計(jì)需要的系統(tǒng)開環(huán)頻率特性曲線是非常重要的。幅相曲線主要用于判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，故只需要概略地繪制，而對(duì)于對(duì)數(shù)頻率特性——伯特圖，工程上采用簡便作圖法，即利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的特點(diǎn)和典型環(huán)節(jié)的頻率特性，繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性。現(xiàn)在是20頁\一共有87頁\編輯于星期三………………退出1乃氏圖的繪制（1）基本法1）作表格2）在復(fù)平面上找到相應(yīng)的點(diǎn)，用光滑曲線連起來。表5-1

幅相表………………現(xiàn)在是21頁\一共有87頁\編輯于星期三退出（2）求實(shí)部、虛部分別計(jì)算的實(shí)部和虛部，在復(fù)平面上找到相應(yīng)點(diǎn)，用光滑曲線連起來?，F(xiàn)在是22頁\一共有87頁\編輯于星期三退出（3）找特殊點(diǎn)找到幾個(gè)特殊點(diǎn)繪制大致圖形若存在漸近線，找出漸近線，繪出幅相頻率特性圖，如果需要另半部分，可以用鏡像原理，做出全頻段的幅像特性圖

現(xiàn)在是23頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

典型環(huán)節(jié)的乃氏圖（幅相頻率圖）的繪制1比例環(huán)節(jié)現(xiàn)在是24頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

2積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)現(xiàn)在是25頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

3慣性環(huán)節(jié)和一階環(huán)節(jié)現(xiàn)在是26頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

證明寫出實(shí)部與虛部各自的參量方程如下：現(xiàn)在是27頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

現(xiàn)在是28頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

4型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

現(xiàn)在是29頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

現(xiàn)在是30頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

現(xiàn)在是31頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

現(xiàn)在是32頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

現(xiàn)在是33頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2伯特圖的繪制（1）將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié)的連乘積形式；（2）找出每一個(gè)典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)頻率特性的交接頻率與斜率；（3）在處作20lgk，在此基礎(chǔ)上作積分環(huán)節(jié)，然后按轉(zhuǎn)折頻率由小至大依次作出其它環(huán)節(jié)；（4）進(jìn)行必要的修正說明：在繪制Bode圖時(shí)，一般慣性環(huán)節(jié)無特殊說明不需要修正；而振蕩環(huán)節(jié)需要修正?，F(xiàn)在是34頁\一共有87頁\編輯于星期三退出（5）分別作出每個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性，然后疊加；或者先作對(duì)數(shù)相移計(jì)算表，然后在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上找到相應(yīng)點(diǎn)再用平滑曲線連接而成。現(xiàn)在是35頁\一共有87頁\編輯于星期三退出1比例環(huán)節(jié)現(xiàn)在是36頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2積分環(huán)節(jié)現(xiàn)在是37頁\一共有87頁\編輯于星期三退出3慣性環(huán)節(jié)現(xiàn)在是38頁\一共有87頁\編輯于星期三退出4振蕩環(huán)節(jié)現(xiàn)在是39頁\一共有87頁\編輯于星期三退出4振蕩環(huán)節(jié)現(xiàn)在是40頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是41頁\一共有87頁\編輯于星期三退出4其他環(huán)節(jié)現(xiàn)在是42頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是43頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5.3乃氏判劇的八種形式1形式Ⅰ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由變到時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性按逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)P周，P為位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是44頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是45頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是46頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是47頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是48頁\一共有87頁\編輯于星期三退出7何謂負(fù)穿越在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半穿越；在伯特圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越線稱為負(fù)穿越；現(xiàn)在是49頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是50頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是51頁\一共有87頁\編輯于星期三退出綜上所述，乃氏判據(jù)判穩(wěn)時(shí)可能發(fā)生的情況為：（Ⅰ）不包圍（-1，j0）點(diǎn)，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅱ）逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)次，若則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；（Ⅲ）順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是52頁\一共有87頁\編輯于星期三退出問題：1在引入Nyquist判劇時(shí)，為什么只就開環(huán)極點(diǎn)在虛軸上的分布情況進(jìn)行討論而沒有就開環(huán)零點(diǎn)的情況進(jìn)行討論？2原點(diǎn)處有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)為什么要補(bǔ)作一條虛線，虛線在實(shí)際中是否存在？補(bǔ)作虛線與開環(huán)傳函中的那一個(gè)環(huán)節(jié)有關(guān)系，在給出的Nyquist 判劇形式Ⅰ與形式Ⅱ中的具體關(guān)系是什么？3根據(jù)Nyquist判劇給出如下情況的分析：對(duì)于P=0的開環(huán)系統(tǒng)，若其開環(huán)頻率響應(yīng)通過（-1，j0）點(diǎn)，則系統(tǒng)處于什么狀態(tài)？現(xiàn)在是53頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2形式Ⅱ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)角頻率由0變化到＋∞時(shí)，開環(huán)頻率特性正、負(fù)穿越平面負(fù)實(shí)軸上（-1，-∞

）段的次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)中處于s平面右半部的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是54頁\一共有87頁\編輯于星期三退出3形式Ⅲ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性不為負(fù)值的所有頻段內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻特性與線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)差為，這里是開環(huán)傳遞函數(shù)位于s平面右半部的極點(diǎn)數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

現(xiàn)在是55頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是56頁\一共有87頁\編輯于星期三退出4形式Ⅳ閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Nichols圖0dB線上方，開環(huán)頻率響應(yīng)的對(duì)數(shù)幅相特性對(duì)線的正、負(fù)穿越次數(shù)差應(yīng)等于，其中為s平面右半部含有的開環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的數(shù)目。否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是57頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是58頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5形式Ⅴ對(duì)于最小相位系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，；否則不穩(wěn)定。

6形式Ⅵ乃氏判據(jù)左手定則。乃氏判據(jù)左手定則的內(nèi)容如下：將左手平伸，拇指和其余四指在手掌平面內(nèi)垂直且指尖向上，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，將左手放在系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即將包圍（-1，j0）點(diǎn)的最里層上，且四指指尖與系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的方向相同，若手背朝向（-1，j0）點(diǎn)，則該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

現(xiàn)在是59頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是60頁\一共有87頁\編輯于星期三退出7形式Ⅶ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)的開環(huán)增益增加大于原來倍，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

8形式Ⅷ若系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)對(duì)頻率為的信號(hào)的相角增加大于，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定?，F(xiàn)在是61頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5.4穩(wěn)定裕度設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，要求它必須穩(wěn)定，這是控制系統(tǒng)賴以正常工作的必要條件。除此之外，還要求控制系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)南鄬?duì)穩(wěn)定性。相對(duì)穩(wěn)定性的概念：基于Nyquist判劇，當(dāng)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部無極點(diǎn)時(shí)，其開環(huán)頻率響應(yīng)若通過點(diǎn)（-1，j0），則控制系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定邊緣。在這種情況下若控制系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生漂移，便有可能使控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率響應(yīng)包圍點(diǎn)（-1，j0），從而造成控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，在Nyquist

圖上，開環(huán)頻率響應(yīng)與點(diǎn)（-1，j0

）的接近程度可直接表征控制系統(tǒng)的穩(wěn)定程度?，F(xiàn)在是62頁\一共有87頁\編輯于星期三退出其定性關(guān)系是：在Nyquist圖上，不包圍點(diǎn)（-1，j0）的情況下，若離點(diǎn)（-1，j0）越遠(yuǎn)，說明具有P=0的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性程度越高；反之，越靠近點(diǎn)（-1，j0），則上述系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。在控制系統(tǒng)穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步用以表征其穩(wěn)定程度高、低的概念，便是通常所謂的控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是63頁\一共有87頁\編輯于星期三退出穩(wěn)定裕度是衡量系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)，有相角裕度和幅值裕度1相角裕度當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的幅值為1時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率特性相角與的和定義為相角裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率稱系統(tǒng)的剪切頻率，即式中滿足現(xiàn)在是64頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2幅值裕度當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)頻率幅值的倒數(shù)定義為幅值裕度，所對(duì)應(yīng)的頻率稱相位交界頻率，即如果以分貝為單位來表示幅值裕度時(shí)，有保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度，可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化等可能帶來的不利影響。為了得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng)，一般相角裕度應(yīng)當(dāng)為在到之間，而幅值裕度應(yīng)大于現(xiàn)在是65頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是66頁\一共有87頁\編輯于星期三退出現(xiàn)在是67頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5.5閉環(huán)頻率特性性能指標(biāo)常用的指標(biāo)有諧振峰值，系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率。1諧振峰值諧振峰值是指系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性幅值的最大值2系統(tǒng)帶寬和帶寬頻率設(shè)為系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，當(dāng)幅值特性下降到時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為帶寬頻率。頻率范圍稱為系統(tǒng)帶寬。

現(xiàn)在是68頁\一共有87頁\編輯于星期三退出5.6頻率域指標(biāo)的計(jì)算對(duì)于典型二階系統(tǒng)，頻域指標(biāo)可解析計(jì)算；高階系統(tǒng)頻域指標(biāo)一般由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。1典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為有阻尼自振角頻率剪切頻率相角裕度現(xiàn)在是69頁\一共有87頁\編輯于星期三退出帶寬頻率諧振頻率諧振峰值典型二階系統(tǒng)的幅值裕度為無窮大現(xiàn)在是70頁\一共有87頁\編輯于星期三退出2高階系統(tǒng)諧振峰值的確定，工程上常采用下述經(jīng)驗(yàn)公式式中中間頻段現(xiàn)在是71頁\一共有87頁\編輯于星期三退出例題1（教材P185，5-8）

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)幅相特性與對(duì)數(shù)頻率特性?，F(xiàn)在是72頁\一共有87頁\編輯于星期三退出解：慣性環(huán)節(jié)的交接頻率為找漸近線現(xiàn)在是73頁\一共有87頁\編輯于星期三退出則現(xiàn)在是74頁\一共有87頁\編輯于星期三退出

乃氏圖現(xiàn)在是75頁\一共有87頁\編輯于星期三退出伯特圖現(xiàn)在是76頁\一共有87頁\編輯于星期三退出例題2（教材P186，5-17）如圖題5-17所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。

現(xiàn)在是77頁\一共有87頁\編輯于星期三退出解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)在是78頁\一共有87頁\編輯于星期三退出所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定現(xiàn)在是79頁\一共有87頁\編輯于星期三退出例題3（教材P187，5-25）已知最小相位開環(huán)系統(tǒng)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性如圖題5-25所示。試寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函