高考數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練第63講根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù)

PAGEPAGE1第63講根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù)【知識要點】一、用樣本估計總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征），需要從總體中抽取一個質(zhì)量較高的樣本，才能不會產(chǎn)生較大的估計偏差，且樣本容量越大，估計的結(jié)果也就越精確，分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式，作圖可以達(dá)到兩個目的，一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息.二、頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般是用頻率分布直方圖反映樣本頻率分布.三、樣本的數(shù)字特征眾數(shù)：就是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個，比其他的都多，如果幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都是最多，則它們都是眾數(shù)；每個數(shù)據(jù)都只有一次，那么數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).所以眾數(shù)可以不止一個或者沒有.中位數(shù)：就是這些數(shù)據(jù)排列好了以后中間的那個數(shù)字，那么如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，那么就是中間兩個數(shù)字的平均數(shù)，如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，則中間那個就是數(shù)據(jù)的中位數(shù).所以數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定在數(shù)據(jù)中.平均數(shù)：這個就是把所有數(shù)據(jù)相加，除以個數(shù)，就是數(shù)據(jù)的平均數(shù).平均數(shù)：方差：標(biāo)準(zhǔn)差：四、莖葉圖莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數(shù)，每個數(shù)具體是多少.當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖.【方法講評】題型一求眾數(shù)解題步驟一般先計算出頻率分布直方圖中的每個小矩形的面積，找到面積最大的那個矩形，取該矩形的橫邊中點對應(yīng)的數(shù)為眾數(shù).【例1】對某小區(qū)100戶居民的月均用水量進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖如圖，則估計此樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別為（）A.，B．，C．，D．，【點評】（1）求頻率分布圖中的眾數(shù)，一般先計算出頻率分布直方圖中的每個小矩形的面積，找到面積最大的那個矩形，取該矩形的橫邊中點對應(yīng)的數(shù)為眾數(shù).（2）求眾數(shù)也可以直接找最高矩形的橫邊的中點.【反饋檢測1】某學(xué)校900名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[13，14]，第二組[14，15），…，第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．（1）若成績小于14秒認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數(shù)；（2）請估計學(xué)校900名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．事件由6個基本事件組成.所以.【點評】求頻率分布直方圖中的中位數(shù)，一般先計算出每個小矩形的面積，通過解方程找到左邊面積為0.5的點，點對應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù).【反饋檢測2】某公路段在某一時刻內(nèi)監(jiān)測到的車速頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求縱坐標(biāo)中參數(shù)的值及第三個小長方形的面積；（Ⅱ）求車速的眾數(shù)，中位數(shù)的估計值；（Ⅲ）求平均車速的估計值．題型三求平均數(shù)解題步驟一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應(yīng)的數(shù)，代表第個矩形的面積.【例3】某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六組[40，50），[50，60）．．．[90，100]后畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）求成績落在[70，80）上的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；(Ⅱ)估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；(Ⅲ)從成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率.【解析】（Ⅰ）成績落在[70，80）上的頻率是0．3，頻率分布直方圖如下圖．(Ⅲ)成績是70分以上（包括70分）的學(xué)生人數(shù)為（0．03+0．025+0．005）×10×60=36所以所求的概率為【點評】求頻率分布直方圖中的平均數(shù)，一般利用平均數(shù)的公式計算.其中代表第個矩形的橫邊的中點對應(yīng)的數(shù)，代表第個矩形的面積.【反饋檢測3】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學(xué)生語文成績的平均分；（3）若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績在[50，90）之外的人數(shù)．分?jǐn)?shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：5高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第63講:根據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)眾數(shù)和平均數(shù)參考答案【反饋檢測1答案】（1）3；（2）288；（3），.【反饋檢測2答案】（1），第三個小長方形的面積為；（2）；（3）.【反饋檢測2詳細(xì)解析】（Ⅰ）∵所有小長形面積之和為1，∴10+10×3+10×4+10×2=1，解得=0.01，∴第三個小長方形的面積為：10×4=10×0.04=0.4．（Ⅱ）車速的眾數(shù)==65，車速的中位數(shù)是兩邊直方圖的面積相等，于是得：10×0.01+10×0.03+（﹣60）×0.04=0.5，解得=62.5．（Ⅲ）平均車速=0.01×10×45+0.03×10×55+0.04×10×65+0.02×10×75=62．【反饋檢測3答案】（1）；（2）73；（3）10.【反饋檢測3詳細(xì)解析】（1）依題意得，，解得（