2023年長沙市“學用杯”初中數(shù)學應用與創(chuàng)新能力大賽-九-年-級-初-賽-試-題及答案

2023年長沙市“學用杯”初中數(shù)學應用與創(chuàng)新能力大賽九年級初賽試題（時量：90分鐘 滿分：100分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）題號12345678910答案1．設P＝，Q＝，則P與Q的大小關系是A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．不能確定2．邊長為整數(shù)，周長等于21的等腰三角形共有A．4個B．5個C．6個D．7個3．在直角坐標系中，縱、橫坐標都是整數(shù)的點，稱為整點．設為整數(shù)，當直線與直線的交點為整點時，的值可以取A．8個 B．7個 C．6個D．5個4．若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點（，）在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限第第4題第6題第5題5．如圖，矩形ABCD被分割成六個正方形，其中最小正方形的面積等于1，則矩形ABCD的面積等于A．152B．143C．132D．1086．如圖，⊙O中，弦AD∥BC，DA＝DC，∠AOC＝160°，則∠BCO等于

A．20°B．30°C．40°D．50°7．已知銳角△ABC中，∠A＝60°，BD和CE都是△ABC的高。如果△ABC的面積為12，那么四邊形BCDE的面積為A．6B．8 C．9 D．108．一個商人用元（是正整數(shù)）買來了臺（為質(zhì)數(shù)）電視機，其中有兩臺以成本的一半價錢賣給某個慈善機構，其余的電視機在商店出售，每臺盈利500元，結(jié)果該商人獲得利潤為5500元，則的最小值是A．11B．13C．17D．199．直線與軸的交點分別為A、B，如果S△AOB≤1，那么，的取值范圍是A．≤1B．0＜≤1C．－1≤≤1D．≤－1或≥110．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，E是AD的中點，,ABCDEABCDE第10題A．13B．8C．D．4二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．實數(shù)，滿足，則．12．若,，則.CABDM第15題13．若，CABDM第15題14．已知，那么的值是．15．如圖，在△ABC中，中線CM與高線CD三等分，則等于度.16．已知，那么直線一定通過第象限．第18題17．不論取什么實數(shù)，關于的方程（、是常數(shù)）的根總是＝1，那么．第18題18．如圖,是半徑為的圓的直徑,四邊形和都是正方形.其中在上,在半圓上，則兩個正方形的面積之和為．.三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分）19．（本題滿分14分）如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于A、B兩點，與正比例函數(shù)的圖象交于點C，點D是線段OB上的一個動點（不包含O、B兩點），以AD為邊在其一側(cè)作等邊三角形ADE，DE交AB于F，AD交OC于G.(1)分別求出A、B、C三點的坐標；(2)△ADF和△ACG是否相似，為什么？(3)證明CE總與AB垂直.xxOBAyCDGFE

20．（本題滿分14分）如圖1，在平面直角坐標系中，直角梯形ABCD的直角頂點D與原點重合，另一直角頂點A在軸的正半軸上，點B、C的坐標分別為B（12，8）、C（14，0），AD為⊙E的直徑.，點M、N分別從A、C兩點同時出發(fā)做勻速運動，其中點M沿AB向終點B運動，速度為每秒1個單位；點N沿CD向終點D運動，速度為每秒3個單位.當這兩點中有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動.（1）如圖2，設點M、N的運動時間為秒，當為何值時，四邊形MBCN為平行四邊形？（2）在（1）的條件下，連結(jié)DM與⊙E相交于點P，求弦DP的長；（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過D及（1）中的點M、N，求該二次函數(shù)的解析式；（4）在運動過程中，是否存在使直線MN與⊙E相切的情形？如果存在，請求出直線MN的解析式；如果不存在，請說明理由.（圖3供解答本小題用）2023年長沙市“學用杯”初中數(shù)學應用與創(chuàng)新能力大賽九年級初賽試題參考答案及評分標準一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）題號12345678910答案ABDABBCCCD二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11、3；12、28；13、4；14、；15、；16、二、三；17、；18、三、解答題（本大題共2小題，每小題14分，共28分）19．(1)在y=-x+2中，令x=0得y=2,令y=0得x=2，∴A的坐標為(2，0)，B的坐標為(0，2). 由得，即C的坐標為(1，).……（4分） (2)△ADF∽△ACG. 由tan∠OAB=得∠OAB=60，由tan∠AOC=得∠AOC=60,∴△OAC為等邊三角形。 又∵△ADE也為等邊三角形，∴∠OCA=∠ADE=60, 而∠DAF=∠CAG，∴△ADF∽△ACG。 …………（10分） (3)∵∠OAC=∠DAE，∴∠OAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠OAD=∠CAE, 在△OAD和△CAE中，∴△OAD≌△CAE∴∠ACE=∠AOD=90，即CE總與AB垂直.……（14分）20.解：（1）由MB=NC得12—t=3t∴t=3故當t=3時，四邊形MBCN為平行四邊形………………（3分）（2）連結(jié)AP可知AD=8，AM=3，∴DM==∴，∴PD===………………（6分）（3）可知DN=DC—NC=14—3×3=5，∴N（5，0）又M（3，8），D（0，0）設過D、M、N的二次函數(shù)的解析式為y=a（—5），將（3，8）代入得8=3×（3-5）·a∴a=—所求解析式為y=—（—5），即y=—2+……（10分）（4）假設存在MN與⊙E相切，切點為F，作MG⊥DC于G可知MF=MA=t，F(xiàn)N=DN=14—3t，∴MN=14—2t，NG=t—(14—3t)=4t—14Rt△DMG中，MN2=NG2+MG2得(14—2t)2=(4t—14)2+82∴t1=2，t2=∴M1（2，8），N1（8，0）和M2（，8），N2（