生物醫(yī)學(xué)研究的統(tǒng)計方法之十七判別分析

生物醫(yī)學(xué)研究的統(tǒng)計方法之十七判別分析第1頁/共68頁2023/4/191:082判別分析的基本概念

什么是判別分析判別分析是根據(jù)觀測到的某些指標(biāo)對所研究的對象進(jìn)行分類的一種多元統(tǒng)計分析方法。在醫(yī)學(xué)研究中經(jīng)常遇到這類問題；例如,臨床上常需根據(jù)就診者的各項癥狀、體征、實(shí)驗(yàn)室檢查、病理學(xué)檢查及醫(yī)學(xué)影像學(xué)資料等對其作出是否有某種疾病的診斷或?qū)追N可能患有的疾病進(jìn)行鑒別診斷，有時已初步診斷為某種疾病，還需進(jìn)一步作出屬該類疾病中哪一種或哪一型的判斷。第2頁/共68頁2023/4/191:083（1）有無某種疾病例：計算機(jī)用于胃癌普查，用于中風(fēng)預(yù)報。（2）疾病的鑒別診斷例：計算機(jī)用于對肺癌，肺結(jié)核和肺炎進(jìn)行鑒別診斷。（3）患有某疾病中的哪一種或哪一型例：鑒別診斷單純性或絞窄性腸梗阻。鑒別診斷闌尾炎中的卡他性，蜂窩織炎，壞疽性和腹膜炎。第3頁/共68頁2023/4/191:084

用一個實(shí)例來說明判別分析的基本思想2.判別分析步驟欲用顯微分光光度計對病人細(xì)胞進(jìn)行檢查以判斷病人是否患有癌癥。（1）根據(jù)研究目的確定研究對象（樣本）及所用指標(biāo)例：110例癌癥病人和190例正常人。指標(biāo)：X1，X2和X3。

X1:三倍體的得分，X2:八倍體的得分，X3:非整倍體的得分。（0-10分）第4頁/共68頁2023/4/191:085（2）收集數(shù)據(jù)，得到訓(xùn)練樣本對于若干已明確診斷為癌癥的110個病人和無癌癥的190個正常人均用顯微分光光度計對細(xì)胞進(jìn)行檢測，得到X1，X2和X3的值。這就是訓(xùn)練樣本。例號X1X2X3Y（類別）

1122022561

。。。。。。

3003330第5頁/共68頁2023/4/191:086（3）用判別分析方法得到判別函數(shù)根據(jù)實(shí)測資料(訓(xùn)練樣本)用判別分析方法可建立判別函數(shù)，本例用Fisher判別分析方法得到:Y=a1×X1+a2×X2+a3×X3，找到界線C，Y>C為是Y=X1+10X2+10X3

并確定判別準(zhǔn)則為:如有某病人的X1,X2,X3實(shí)測值，代入上述判別函數(shù)可得Y值，Y>100則判斷為癌癥，Y<100則判斷為非癌癥。第6頁/共68頁2023/4/191:087（4）考核該判別函數(shù)是否有實(shí)用價值還需要進(jìn)行考核;如考核的結(jié)果，其診斷符合率達(dá)到臨床要求則可應(yīng)用于實(shí)踐。回顧性考核（組內(nèi)考核）前瞻性考核（組外考核）得到總符合率，特異性，敏感性，假陽性率和假陰性率。第7頁/共68頁2023/4/191:088（5）實(shí)際應(yīng)用未知類別樣品的判別歸類。如有某病人，用顯微分光光度計對其細(xì)胞進(jìn)行檢測，得到X1，X2和X3的值。將X1,X2,X3值，代入判別函數(shù)

Y=X1+10X2+10X3;可得Y值，Y>100則判斷為癌癥，Y<100則判斷為非癌癥。第8頁/共68頁2023/4/191:089判別分析的一般步驟第9頁/共68頁2023/4/191:0810

判別分析通常都要建立一個判別函數(shù)，然后利用此判別函數(shù)來進(jìn)行判別。為了建立判別函數(shù)就必須有一個訓(xùn)練樣本。判別分析的任務(wù)就是向這份樣本學(xué)習(xí),學(xué)出判斷類別的規(guī)則,并作多方考核。訓(xùn)練樣本的質(zhì)量與數(shù)量至為重要。每一個體所屬類別必須用“金標(biāo)準(zhǔn)”予以確認(rèn);解釋變量（簡稱為變量或指標(biāo)）X1,X2,…,Xp必須確實(shí)與分類有關(guān);個體的觀察值必須準(zhǔn)確;個體的數(shù)目必須足夠多。第10頁/共68頁2023/4/191:0811

訓(xùn)練樣本的數(shù)據(jù)內(nèi)容與符號───────────────────────────────────解釋變量個體號───────────────────────類別變量(Y)X1X2

…Xj

…XP───────────────────────────────────1X11X12

…X1j

…X1Py12X22X22

…X2j

…X2Py2

…

…

…

…

…

…

…

…iXi1Xi2

…Xij

…XiPy3

…

…

…

…

…

…

…

…nXn1Xn2

…Xnj

…XnPyP────────────────────────────────────

第11頁/共68頁2023/4/191:0812判別分析常用方法（1）最大似然法該法是建立在概率論中獨(dú)立事件乘法定律的基礎(chǔ)上，適用于各指標(biāo)是定性的或半定量的情況。（2）Fisher判別分析用于兩類或兩類以上間判別，但常用于兩類間判別，上例中應(yīng)用的就是Fisher判別分析方法。（3）Bayes判別分析用于兩類或兩類以上間判別，要求各類內(nèi)指標(biāo)服從多元正態(tài)分布。第12頁/共68頁2023/4/191:0813（4）逐步判別分析建立在Bayes判別分析基礎(chǔ)上，它象逐步回歸分析一樣,可以在眾多指標(biāo)中挑選一些有顯著作用的指標(biāo)來建立一個判別函數(shù),使方程內(nèi)的指標(biāo)都有顯著的判別作用而方程外的指標(biāo)作用都不顯著。（5）logistic判別常用于兩類間判別。它不要求多元正態(tài)分布的假設(shè)，故可用于各指標(biāo)為兩值變量或半定量的情況。第13頁/共68頁2023/4/191:0814判別分析建模的方法根據(jù)自變量（x）資料性質(zhì)：自變量（x）為計量數(shù)據(jù)：

Fisher判別、Bayes判別（SPSS、SAS統(tǒng)計軟件可實(shí)現(xiàn)）。自變量（x）為定性數(shù)據(jù)：最大似然判別法、Bayes公式判別。第14頁/共68頁2023/4/191:0815

Fisher判別——兩類判別Fisher判別(典則判別canonicaldiscriminant)

用已知類別(A或B)研究對象的x1,x2……xm指標(biāo),建立判別方程(z):

方程中系數(shù)c為判別系數(shù),c1,c2……cm，第15頁/共68頁2023/4/191:0816Fisher判別的原理正常人冠心病人z1z2Z第16頁/共68頁2023/4/191:0817Fisher方差分析的思想

準(zhǔn)則：尋找組間變異(類間均數(shù))/組內(nèi)變異的比值最大化.

英國統(tǒng)計學(xué)家FisherRA爵士(1890～1962)第17頁/共68頁2023/4/191:0818

通過解下列距陣得到判別系數(shù)(c)Sij為第i指標(biāo)和第j個指標(biāo)的合并協(xié)方差類間均數(shù)差值第18頁/共68頁2023/4/191:0819

2.建立判別規(guī)則和判別值（Zc）

判為A類判為B類判為任意一類第19頁/共68頁2023/4/191:0820

兩類疾病22例患者三項指標(biāo)觀察結(jié)果編號類別(y)x1x2x31A23802A-19-23A-105013B9-5114B2-1-115B17-6-1第20頁/共68頁2023/4/191:0821計算步驟:1.計算各類均數(shù)和合并(A、B)的協(xié)方差距陣(S)第21頁/共68頁2023/4/191:0822變量的合并方差和協(xié)方差第22頁/共68頁2023/4/191:08232.解正規(guī)方程得出判別系數(shù)C類間均數(shù)差值第23頁/共68頁2023/4/191:08243.計算判別界值Zc

將各類每個個體的變量值代入判別方程，得到zi，得到zA和zB的均數(shù).預(yù)測:

某病人測定了x1、x2、x3值，代入方程z，計算的z＞-0.004，為A類。第24頁/共68頁2023/4/191:0825例:表18-1

兩類疾病22例患者三項指標(biāo)預(yù)測結(jié)果類別x1x2x3z值判別結(jié)果A23800.19AA-19-22.73AA-10501.83AB9-51-2.07BB2-1-1-0.05AB17-6-1-2.22Bz＞-0.004，為A類第25頁/共68頁2023/4/191:0826二、判別效果的評價用誤判率評價:第26頁/共68頁2023/4/191:0827資料回顧性判別效果評價原分類判別分類

AB合計A10212B2810合計121022第A類誤判率=2/12=16.6%第B類誤判率=2/10=20.0%方程總誤判率=4/22=18.2%第27頁/共68頁2023/4/191:0828目前判別分析效果評價方法

1.回顧性評價:

將原始數(shù)據(jù)帶入判別方程得誤判率評價.2.前瞻性:

將原始數(shù)據(jù)分為0.85(訓(xùn)練樣本)建立判別方程和0.15(驗(yàn)證樣本).計算誤判率(要求例數(shù)較多)。3.誤判率總誤判率低于0.2,認(rèn)為判別函數(shù)可用.第28頁/共68頁2023/4/191:0829

例：世界經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計研究(1995年)人文指數(shù)

反映國家綜合水平國家類別期望壽命識字率GDP美國1.0076.0099.005374.00日本1.0079.5099.005359.00訓(xùn)練樣本瑞士1.0078.0099.005372.00阿根廷1.0072.1095.905242.00阿聯(lián)酋1.0073.8077.705370.00保加利亞2.0071.2093.004250.00古巴2.0075.3094.903412.00巴拉圭2.0070.0091.203390.00格魯吉亞2.0072.8099.002300.00南非2.0062.9080.603799.00中國2.0068.5079.301950.00待判樣本羅馬尼亞2.0069.9096.902840.00希臘1.0077.6093.805233.00哥倫比亞1.0069.3090.305158.00第29頁/共68頁2023/4/191:0830Bayes判別分析(一).Bayes準(zhǔn)則

設(shè)有定義明確的g個總體π1,π2,…,πg(shù),分別為X1,X2,…,Xp的多元正態(tài)分布。對于任何一個個體,若已知p個變量的觀察值,要求判斷該個體最可能屬于哪一個總體。如果我們制訂了一個判別分類規(guī)則,難免會發(fā)生錯分現(xiàn)象。把實(shí)屬第i類的個體錯分到第j類的概率記為P(j｜i),這種錯分造成的損失記為C(j｜i)。

Bayes判別準(zhǔn)則就是平均損失最小的準(zhǔn)則。按照這個準(zhǔn)則去找一種判別分類的規(guī)則,就是Bayes判別。第30頁/共68頁2023/4/191:0831(二).分類函數(shù)（g個類別，p個指標(biāo)）Bayes準(zhǔn)則下判別分析的分類函數(shù)形式如下：

Y1=C01+C11X1+C21X2+……+Cp1Xp

Y2=C02+C12X1+C22X2+……+Cp2Xp

…………

Yg=C0g+C1gX1+C2gX2+……+CpgXp

第31頁/共68頁2023/4/191:0832即g個線性函數(shù)的聯(lián)立方程，每個線性函數(shù)對應(yīng)于某一類別。其中C0j，C1j，……，Cpj，（j=1,2,……,g）為需估計的參數(shù)。判別函數(shù)建立后通常的判別準(zhǔn)則為：如欲判斷某樣品屬于上述g類中的哪一類，可將該樣品的各Xi值代上式中的各個方程，分別算出Y1，Y2，……，Yg等值。其中如Yf為最大則意味著該樣品屬第f類的概率最大，故判它屬于第f類。第32頁/共68頁2023/4/191:0833

事前概率（priorprobability）又稱先驗(yàn)概率。如在所研究的總體中任取一個樣品，該樣品屬于第f類別的概率為q(yf)，則稱它為類別f的事前概率。例如，闌尾炎病人總體中卡他性占50％，蜂窩織炎占30％，壞疽性占10％，腹膜炎占10％;則在該總體中任取一個闌尾炎病人，該病人屬于以上四型的概率分別為0.5，0.3，0.1和0.1,它們也分別是這四類的事前概率。(三).

事前概率第33頁/共68頁2023/4/191:0834考慮事前概率時，判別函數(shù)如下式:

Y1=C01+C11X1+C21X2+……+Cp1Xp+ln(q(Y1))

Y2=C02+C12X1+C22X2+……+Cp2Xp+ln(q(Y2))

…………

Yg=C0g+C1gX1+C2gX2+……+CpgXp+ln(q(Yg))

差別僅僅在于ln(q(Yj))項第34頁/共68頁2023/4/191:0835

考慮事前概率可適當(dāng)提高判別的敏感性。事前概率可據(jù)于文獻(xiàn)報道或以往的大樣本研究。但是困難在于事前概率往往不容易知道；如果訓(xùn)練樣本是從所研究的總體中隨機(jī)抽取的，則可用訓(xùn)練樣本中各類的發(fā)生頻率Q(Yj)來估計各類別的事前概率q(Yj)。如果事前概率未知，而又不可以用Q(Yj)來估計q(Yj)，就只能將事前概率取為相等值，即取q(Yj)=1/g。第35頁/共68頁2023/4/191:0836(四).事后概率

事后概率（posteriorprobability）又稱后驗(yàn)概率。如果已知某樣品各個指標(biāo)Xi的觀察值為Si，則在該條件下，樣品屬于Yj類別的概率P(Yj/S1,S2,…,SP)稱為事后概率。事后概率和指標(biāo)的值有關(guān)。引入事后概率后，可用事后概率來描述某樣品屬于Yj類別的概率。這就使得判別的可靠性有一個數(shù)量的指標(biāo)。第36頁/共68頁2023/4/191:0837例：A1，A2，A3的事后概率為0.95，0.03和0.02

判為A1類的可靠性好。

A1，A2，A3的事后概率為0.40，0.30和0.30

判為A1類的可靠性差。如欲判別某樣品屬于哪個類別時，可據(jù)樣品各指標(biāo)的取值S1，S2，……，SP代入判別函數(shù)，求得各類別之Y值，即Y1，Y2，……，Yg。第37頁/共68頁2023/4/191:0838事后概率的計算公式為：第38頁/共68頁2023/4/191:0839第39頁/共68頁2023/4/191:0840

僅憑哪一個事后概率為最大，就判為那一類別有時是不夠的。例如某樣品屬于三個類別的事后概率分別為0.95，0.03，0.02，則判為第一類的可靠性就較大。但如果三個事后概率分別為0.4，0.3，0.3。再判為第一類的可靠性就較差了。與臨床上診斷相類似，當(dāng)對某病員的診斷把握不大時，常定為可疑或待查等。第40頁/共68頁2023/4/191:0841例某醫(yī)院眼科研究糖尿病患者的視網(wǎng)膜病變情況,視網(wǎng)膜病變分輕、中、重三型。研究者用年齡(age)、患糖尿病年數(shù)(time)、血糖水平(glucose)、視力(vision)、視網(wǎng)膜電圖中的a波峰時（at）、a波振幅(av)、b波峰時(bt)、b波振幅(bv)、qp波峰時(qpt)及qp波振幅(qpv)等指標(biāo)建立判別視網(wǎng)膜病變的分類函數(shù),以判斷糖尿病患者的視網(wǎng)膜病變屬于輕、中、重中哪一型。第41頁/共68頁2023/4/191:0842

觀察131例糖尿病患者,要求其患眼無其他明顯眼前段疾患,眼底無明顯其他視網(wǎng)膜疾病和視神經(jīng)、葡萄膜等疾患,測定了他們的以上各指標(biāo)值,并根據(jù)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)診斷其疾患類型,記分類指標(biāo)名為group。見表。(表中僅列出前5例)。試以此為訓(xùn)練樣本,僅取age,vision,at,bv和qpv5項指標(biāo),求分類函數(shù),并根據(jù)王××的信息:38歲,視力1.0,視網(wǎng)膜電圖at=14.25,bv=383.39,qpv=43.18判斷其視網(wǎng)膜病變屬于哪一型。第42頁/共68頁2023/4/191:0843131例糖尿病患者各指標(biāo)實(shí)測記錄（前5例）────────────────────────────────────例號年齡患病血糖視力a波a波b波b波qp波pq波視網(wǎng)膜年數(shù)峰時振幅峰時振幅峰時振幅病變程度────────────────────────────────────

1492.001911.512.25235.4052.50417.5778.527.43A12492.001911.213.50225.1552.00391.2078.546.69A13634.002001.014.25318.9253.25616.3577.535.38A14634.002000.614.00361.9055.00723.3077.047.01A155410.001370.613.75269.5955.50451.2778.033.70A2────────────────────────────────────第43頁/共68頁2023/4/191:0844解假定樣本系從總體中隨機(jī)抽取,則樣本中三種疾患類型的樣本量可近似地反映先驗(yàn)概率,可得分類函數(shù)Y1＝-181.447+0.473(age)+60.369(vision)+17.708(at)+0.048(bv)+0.364(qpv)Y2＝-165.830+0.472(age)+49.782(vision)+17.658(at)+0.034(bv)+0.325(qpv)Y3＝-189.228+0.178(age)+43.974(vision)+20.447(at)+0.040(bv)+0.265(qpv)以王××的觀察值代入分類函數(shù),得Y1=-181.447+0.473×38+60.369×1.0+17.708×14.25+0.048×383.39+0.364×43.18=183.36同樣可算得：Y2＝180.58,Y3＝179.66其中最大者為Y1,故判斷為輕度病變。第44頁/共68頁2023/4/191:0845

由上例見,Y1,Y2,Y3的數(shù)值相差不多,單純憑分類函數(shù)值的大小作決策有時易出偏差。這時,分別估計該個體屬于各總體的概率卻能客觀地反映該個體的各種可能歸屬,而避免武斷。令Y*=180,從而有

P(Y1｜X1,X2,…,X5)＝e(183.36-180)/(e(183.36-180)+e(180.58-180)+e(179.66-180))

＝e4.36/(e4.36+e1.58+e0.66)＝0.9202類似地,可得

P(Y2｜X1,X2,…,X5)＝0.0571P(Y3｜X1,X2,…,X5)＝0.0227

由此可見王××為輕度病變的概率為0.9202，因此把他判斷為輕度病變可靠性較大。第45頁/共68頁2023/4/191:0846逐步判別分析

從逐步回歸分析中我們已知道，回歸方程中的自變量并非越多越好。作用不大的變量進(jìn)入方程后不但無益，反而有害。在判別分析中也有類似情況，解釋變量并非越多越好。解釋變量的特異性越強(qiáng)，判別能力越強(qiáng)，這類解釋變量當(dāng)然越多越好；相反，那些判別能力不強(qiáng)的解釋變量如果引入分類函數(shù)，同樣也是有害無益的，不但增加了搜集數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的工作量，而且還可能削弱判別效果。因此我們希望在建立分類函數(shù)時既不要遺漏有顯著判別能力的變量,也不要引入不必要的判別能力很弱的變量。逐步判別分析是達(dá)到上述目標(biāo)的重要方法。它象逐步回歸分析一樣，可以在很多候選變量中挑選一些有重要作用的變量來建立分類函數(shù)，使方程內(nèi)的變量都較重要而方程外的變量都不甚重要。分類函數(shù)內(nèi)的變量是否有重要作用可用F檢驗(yàn),檢驗(yàn)的零假設(shè)是:該變量對判別的貢獻(xiàn)為零。若P值較小便拒絕零假設(shè),認(rèn)為該變量的貢獻(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)意義。第46頁/共68頁2023/4/191:0847

含10個變量的分類函數(shù)中各變量的統(tǒng)計檢驗(yàn)───────────────────────────────────變量F值P值───────────────────────────────────年齡25.3380.0001

病程1.2110.3016

血糖1.2550.2889

視力45.9560.0001at20.3100.0001av0.2190.8037bt0.9500.3898bv6.0120.0033qpt0.9710.3818apv1.9890.1414───────────────────────────────────第47頁/共68頁2023/4/191:0848

逐步判別分析剔選變量結(jié)果───────────────────────────────────判別函數(shù)內(nèi)判別函數(shù)外─────────────────────────────────變量F值P值變量F值p值───────────────────────────────────年齡28.8180.0001病程0.8910.4127

視力46.4910.0001血糖0.7930.4548at24.9640.0001av0.3970.6730bv9.3870.0002bt0.4210.6572qpv3.8290.0243qpt1.0160.3649───────────────────────────────────第48頁/共68頁2023/4/191:0849回顧性考核和前瞻性考核

分類函數(shù)及判別準(zhǔn)則建立后必須進(jìn)行考核?？己司褪菍悠分鹨挥盟⒌呐袆e準(zhǔn)則進(jìn)行歸類,求出其假陽性率、假陰性率及總的錯誤率?？己丝煞譃榛仡櫺钥己伺c前瞻性考核?；仡櫺钥己艘卜Q回代或組內(nèi)考核(internalvalidation),即用原來的訓(xùn)練樣本進(jìn)行考核。前瞻性考核也稱組外考核,是對新的已知其分類的樣品(稱為考核樣本)進(jìn)行考核。用前瞻性考核可估計總體中的假陽性率、假陰性率和總的錯誤率。第49頁/共68頁2023/4/191:0850

除了可用前瞻性考核來估計總體中的錯誤率外,還可用刀切法(jackknife)交叉考核(crossvalidation)。其方法如下：設(shè)訓(xùn)練樣本中共有n個個體,先擱置第一個個體，對其余n-1個個體進(jìn)行判別分析求出判別函數(shù),用該函數(shù)對第一個個體進(jìn)行考核；然后放回第一個個體,擱置第二個個體，用其余n-1個個體求出判別函數(shù)并對第二個個體進(jìn)行考核……每次擱置一個個體,用其余的n-1個個體作出判別函數(shù)(注意,這些判別函數(shù)可能不相同),對擱置的個體進(jìn)行考核,一共進(jìn)行n次,遍歷每一個個體;從而求出假陽性率、假陰性率和總的錯誤率，稱為刀切法交叉考核，它們可作為前瞻性考核的輔助信息。第50頁/共68頁2023/4/191:0851

回顧性考核結(jié)果───────────────────────────────────判別函數(shù)分類原分類───────────────合計錯誤率(%)A1A2A3───────────────────────────────────A16242688.82A21411434.65A31019205.00───────────────────────────────────

合計6445221316.87───────────────────────────────────第51頁/共68頁2023/4/191:0852

刀切法考核結(jié)果─────────────────────────────────── 判別分類原分類───────────────合計錯誤率(%)A1A2A3───────────────────────────────────A160626811.76A22401436.98A31019205.00───────────────────────────────────

合計6346221319.16───────────────────────────────────第52頁/共68頁2023/4/191:0853

前瞻性考核結(jié)果─────────────────────────────────── 判別分類原分類───────────────合計錯誤率(%)A1A2A3───────────────────────────────────A11410156.67A21911118.18A300550.00───────────────────────────────────

合計15106319.68───────────────────────────────────第53頁/共68頁2023/4/191:0854最大似然法判別適用于定性指標(biāo)的兩類和多類判別.似然函數(shù)方程:

Xm:x1,x2….m個判別變量.Yk:y1,y2….k個類型例數(shù).S:個體為某種狀態(tài)(條件).P=個體在某狀態(tài)的條件概率第54頁/共68頁2023/4/191:08552.判別規(guī)則:

原理:

根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法原理進(jìn)行判別。在計算個體k個似然函數(shù),其中概率最大的p,判個體為第k類。有人用7個指標(biāo)對4種類型闌尾炎的鑒別診斷,收集5668例確診的病史數(shù)據(jù)：

第55頁/共68頁2023/4/191:08565668例不同型闌尾炎癥狀發(fā)生頻率%變量癥狀卡他性蜂窩炎壞疽腹膜炎

SlY1Y2Y3Y4X1右下57343521腹痛下腹15131227部位上腹12353534

臍周121096

全腹48912X2

惡心(-)(-)7333813嘔吐(+)(-)16303722(+)11375565100%第56頁/共68頁2023/4/191:0857例：對某個新個體做判別（講義388頁）癥狀與體征變量某病例的癥狀腹疼部位x1右下腹嘔吐x2有排便x3正常腹部壓痛x4右下部腹部肌防御x5有體溫x636.6℃白細(xì)胞x723.7(單位)第57頁/共68頁2023/4/191:0858某病例根據(jù)最大似然法和判別規(guī)則該病例預(yù)測為第3