高考數(shù)學(xué)坐標(biāo)系與參數(shù)方程專項(xiàng)練習(xí)含答案

高考數(shù)學(xué)《坐標(biāo)系與參

數(shù)方程》專項(xiàng)練習(xí)（含

答案）CAL-FENG：020YEAR-YICAI)_JINGBIAN《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》專項(xiàng)練習(xí)一、知識(shí)梳理.1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是（x,y）,極坐標(biāo)是（p,0）,則它們之間的關(guān)系為:(1)X=pCQsO

y=psin0tan。(1)X=pCQsO

y=psin0tan。=—xv9r*X2.參數(shù)方程二能為參數(shù)）化為普通方程的常用方法.（1）代入法/加減法消參.（2）借助三角恒等式siM0+cos29=l（0為參數(shù)）消參.3.直角坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系.極坐標(biāo)方程S，0極坐標(biāo)方程S，0直角坐標(biāo)方程（普通方程）

（X，y）參數(shù)方程

（/為參數(shù)）二、練習(xí)專項(xiàng).[題型1]①極坐標(biāo)方程=直角坐標(biāo)方程.②參數(shù)方程=直角坐標(biāo)方程.1.（2016全國(guó)III卷,文科23110分）在直線坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為卜=/cosa 為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸?建立\y=sina極坐標(biāo)系?曲線。2的極坐標(biāo)方程為psin（6+.）=2四.（I）寫出。的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)點(diǎn)尸在G上?點(diǎn)。在。2上?求IPQI的最小值及此時(shí)尸的直角坐標(biāo).TOC\o"1-5"\h\z解：（I）由卜二指as。消去參數(shù)儀得 1分y=sma（此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略） （X2 、G[X 兩邊平方，得『3飛①變形得《石 [yz=Sin:a②b'=sma ①+②，得9+戶1G的普通方程為9十產(chǎn)二1 2分?「psin(。+三)二26 3分.??p(sin6cos?+cos0siii?)二2拉p(豐sin。十乎cos。)二 3分—psill0+—pQOsO-1422 2psind+pcos。=4 V/?cos0=x,psind=yAx+y=4. (H)由題意?可設(shè)點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為(6cosa,sina) ???。2是直線???IPQ|的最小值即為P到C2的距離d(a)的最小值一)」氐0sMn"4|=&?(a+._2| 8分當(dāng)且僅當(dāng)a=20+2(k￡Z)時(shí)，火如取得最小值，最小值為6拒 9拒 9分此時(shí)p的直角坐標(biāo)為10分2.(2009全國(guó)卷,文/理23,10分)已知曲線G：“丁+cos'”為參數(shù))，G.y=3+sint{x=8cosd{x=8cosdy=3sind能為參數(shù))(〕)化G,。2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(II)若G上的點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，二。為。2上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線。3：2=3丁”為參數(shù))距離的最小值.y=-2+/(1)由g：r=T+cos,消去參數(shù)[得 1分[y=3+smt|(此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略) 寸、」任十ZRf(x+4)=cos2/①I變形得上… 兩邊平方，得“…="②I[y-3=smr ①+②，得(x+dp+G_S)2：]???G的普通方程為(x+4)2十°，—3)2=1 2分??C為圓心是(-4,3),半徑是1的圓 1分由C2：[YR消去參數(shù)6 1分y=3sin8(此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略)變形得x-—=(此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略)變形得x-—=cos夕|8上=sin613兩邊平方，得—=cos20①64 ',L=sin*②9①+②，得卷+看=】??C的普通方程為盤十2=1 2分??.C2為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓(II)當(dāng)"工時(shí)?P(-4,4),2(8cos^,3siii3故M(-2+4cos42+—sin3)G為直線1-2)=7=0M到C3的距離d=巨14cos夕一3sind-131從而當(dāng)cosd=2,sine=-2時(shí)："取得最小值國(guó)55 5 3【題型2】①直角坐標(biāo)方程=極坐標(biāo)方程.②直角坐標(biāo)方程=參數(shù)方程.3.(2016全國(guó)I［卷，文科23.10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓。的方程為。+6>+9二25.(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(H)直線/的參數(shù)方程是［ECOSO。為參數(shù))，/與。交于A5兩點(diǎn)，\AB\=［y=fsina血.求/的斜率.TOC\o"1-5"\h\z解:(I)由圓C的方程(x+6)?+y2=25可得 1分x2+12r+36十y2=25/十)‘2十121十11二0 2分把/十)2=p2,X二pcos。代入上式得 3分p2+lipcosO+11=0 4分?,?圓C的極坐標(biāo)方程為p2+12cos0+11=0 5分(H)在(〕)中建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為。=由A,5所對(duì)應(yīng)的極徑分別為pi,p2 8分將/的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得p2+\2pcQsa+11=0 7 分于是夕］+0=72cosa、p［p：=11,|AB|=|p,-p11=J(.+4--4gq=^144cos2cr-44, 8分由性⑹=V10得cos%=3ana=土姮 9 分8 3???/的斜率為姮或—史 10分3 34.(2015全國(guó)I卷，文/理23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線G：x=-2,圓。2：(X-I)?+G-2)2=l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)?X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(I)求C2的極坐標(biāo)方程；(II)若直線。3的極坐標(biāo)方程為。=S^R)，設(shè)。2與C3的交點(diǎn)為N、求△C2MN的面積.TOC\o"1-5"\h\z解：(〕)把x=pcosO代入G：x二一2得pcos。=-2 1 分的極坐標(biāo)方程為pcos<9=-2 2分由Cl：(X—l)2十6-2)2二1得(x2-2x+1)十一4y+4)二1x2+y2-2,v-4y+1+4=1x2+y2-2x-4y+4=0 3分把p2二f十V，x=pcosay=psin<9代入上式得 4分Ci的極坐標(biāo)方程為p~-IpcQsO-4/)siii0+4=0 5分(II)將6二;代入p?—2pcos。一4psin6+4=得p2-342P+4=0 6 分解得pi=2迎22二\泛 7分故pi-22=也BP\MN\=a/2 8 分由于。2的半徑為1???△C2MN的面積為； 10分5.(2014全國(guó)I卷，文/理23：10分)已知曲線C：二+二=1,直線/：4 9廣：+官為參數(shù)).[y=2-2,(I)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程；(H)過(guò)曲線。上任意一點(diǎn)P作與/夾角為30。的直線，交/于點(diǎn)4求|尸川的最大值與最小值.解:(I)??,曲線C：彳十卷=1◎+號(hào))2=1又sin20+cos20=1/.—二cos。上二sin。2 3/.x=2cos0,y=3sin6曲線c的參數(shù)方程為“二產(chǎn)：?為參數(shù)).y=3sin。x=2+t由直線/：1y=2—2t消去參數(shù)，得3

把③代入②，得y=2-2(A—把③代入②，得y=2-2(A—2)整理得2工+)，-6=0卜=2+1(1)(y=2-2t②由①得t=x-2③直線/的普通方程為2尹)，-6二0.(II)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos。3sin6)到/的距離為d=芻4cos。+3sin。-6|則-A|二益行竽|5sin(6+G)-6|,其中a為銳角,且tana二:當(dāng)sin(6+a)=-1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為答當(dāng)sin(6+a)=1時(shí)，|PA|取得最小值,最小值為學(xué)6.(2014全國(guó)I［卷，文/理23,10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)?x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系：半圓。的極坐標(biāo)方程為p=2cos。2(1)求C的參數(shù)方程；(II)設(shè)點(diǎn)。在。上，c在。處的切線與直線/：)，二百1十2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定。的坐標(biāo).解：(1)?:p=2cos0，p2=2pcos。把《十),2二x二pcosd代入上式得/十)2二2x???C的普通方程為(x-1)2+)，2二i(oqwi)?,?半圓c的圓心為(L0),半徑為1%——］cost可得c的參數(shù)方程為［y二Sint (f為參數(shù),0<r<7T)(II)ixD(1+cost,sint)由(I)知C是以G(l,0)為圓心，1為半徑的上半圓???C在點(diǎn)D處的切線與1垂直???直線GD???直線GD與1的斜率相同.tan仁t二三【題型3】極坐標(biāo)方程=參數(shù)方程.7.(2016全國(guó)I卷，文/理23：10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為.：cos： ”為參數(shù)，“0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)?x軸正半軸為極軸的y=l+asmt極坐標(biāo)系中?曲線。2：p=4cos6.(1)說(shuō)明a是哪一種曲線：并將a的方程化為極坐標(biāo)方程；6

(II)直線。3的極坐標(biāo)方程為。=go,其中g(shù)o滿足tanao=2,若曲線Ci與C2的公共點(diǎn)都在。3上，求a.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)解法一：G是圓的方程 1分由廠二：cosf消去參數(shù),得 2分?""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""■(此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略)?""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""■(此處為消參的計(jì)算過(guò)程，可省略)3鼠=CICOSt移項(xiàng)，得'..[y-1=6/sinr兩邊平方，得廠=S8Sf『、nrIfx2=a2cos21 ①即(y-1)2=a2sin2t②①+②，得/+(y-1)2=a2cos2Z+crsirrt■+(y-1)2=a2(cos2r4-siii2/)x2+(y—l)2=a2x2+(y-l)2=a2①TOC\o"1-5"\h\z整理得/+y2-2y+l-a2=0 3分:,把犬+y2=P2，y=psm<9代入上式得 4分p~-2psm0+l-a2=0**-G的極坐標(biāo)方程為2Psl118+1-"=0 5分（II）由。2：P=4cOS。得兩邊同乘P得p2=4/JCOS0V/72=X2+/,pcosd-xX2+y2=4x 6 分即（1-2『+）尸=4② 7分。3:化為普通方程為y=2x 8分由題意：G和G的公共方程所在直線即為G①一②得：而-2），+1-"=0,即為G 9分l-a2=0.**4=1 10分8.（2013全國(guó)I卷，文/理23：10分）已知曲線G的參數(shù)方程為“=：+ 為[y=5+5sin/參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系I曲線。2的極坐標(biāo)方程為p=2sin。.（I）把G的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（II）求G與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)SK）,0q<2兀）.解：（I）將廣：+：8sf消去參數(shù)[得[y=5+bsmtCl的普通方程為（X-4）2+。，-5）2二25即Ci：/十y2—8x—10y+16=0梏卜=pcos。梏卜=pcos。\y=psin0代入上式得p1-8pcos6-1Opsin。+16=0/.Ci的極坐標(biāo)方程為p2-SpcosO-10/?siii0+16=0,.?C2的極坐標(biāo)方程為p-2sin<9???。2的普通方程為/十;/-2)，=0,k-+.y--8x-10y+16=0①x2+yz-2y=0 ②提取工，得X(X—D=0...x=0或x—1=0解得x=0或x=l提取工，得X(X—D=0...x=0或x—1=0解得x=0或x=l把x=0代入③，得y=2把x=l代入③，得y=l②一①，得81+8)-16=0整理，得y=2一痣)把③代入②，得%2+(2—x)2—2(2—a)=0整理，得/一工=0(特別注意，x是未知數(shù)，不能約去的)x=1)=1解得“x=x=1)=1解得“r或1[y=2G與。2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2),(1,1)對(duì)于點(diǎn)(。12)有：p=y/x2+yz—J。，+2,=2, =y對(duì)于點(diǎn)(L1)有：2二Jn+y=Jr+r二啦,tan。二上二L8二三.l ’I???G與。2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(2,^),(V212)【題型4】其它題型：.求交點(diǎn)坐標(biāo)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，求軌跡方程等.9.(2015全國(guó)I［卷，文/理23，10分)在直角坐標(biāo)系X。)，中，曲線G：產(chǎn)"osa?為參數(shù)字”其中0女＜兀.在以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的y=tsma極坐標(biāo)系中，曲線C2：p=2sinaC3：p=26cos9.(I)求。2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(II)若G與C2相交于點(diǎn)4,G與。3相交于點(diǎn)用求內(nèi)目的最大值.解：(1)VC2:p=2sin。，p2=2psin。把p2二f十優(yōu)》二psin。代入上式得曲線。2的直角坐標(biāo)方程為/十)，2一2)，二0①…■:C3：P=2?與COS。，p2=2、'3pcos。把22二/十代X二pcos。代入上式得曲線。3的直角坐標(biāo)方程為/十)2一2百1二0②聯(lián)立①②得Ej；。?x-+y--2V3x=0②(此處為解方程的過(guò)程，可省略)提取x,(此處為解方程的過(guò)程，可省略)提取x,得x(2x—白)=0①—②，得—2丁+2括1=0整理，得③把③代入①，得/+3/—2月工=①—②，得—2丁+2括1=0整理，得③把③代入①，得/+3/—2月工=0整理，得改一百尸。（特別注意，x是未知數(shù)，不能約去的）.,.x=0或lx—73=0解得x=0或尸—2把x=0代入③，得y=0把工=近代入③，得＞=』2 , 2l正解得(二:或［'； 4分v=—L2???。2與。3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0,0）和住a 5分（11）曲線G的極坐標(biāo)方程為。二aS金凡P豐6、其中OS”兀因此A的極坐標(biāo)為（2sina,a）,5的極坐標(biāo)為（2依cosa,a）：.\AB\=|2sina-24cosa|二4區(qū)小一副5n當(dāng)a二不時(shí)，性陰取得最大值，最大值為410.（2013全國(guó)II卷,文/理23,10分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,。都在曲線C：[二*%y=2sm/為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為，”與，=2。（0＜。＜2兀），M為P。的中點(diǎn).（I）求〃的軌跡的參數(shù)方程；（H）將〃到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).%=2cos￡解：（1）??,動(dòng)點(diǎn)P,Q都在曲線C:iy=2sinta為參數(shù)）上/.P(2cosa;2siiia),Q(2cos2a,2siii2a)???M為PQ的中點(diǎn)?2cosc+2cos2a??XM= =cosa十cos2a2sino+2sin2ayM =sina+sin2aAA/(cosa+cos2a,since十sin2a).'^cosacos2a.二M的軌跡的參數(shù)方程為y=sina+sin2a(a為參數(shù)?0<a<2it).(H)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=^/?+/=^/2+2cosa(0<a<27T).當(dāng)a=兀時(shí)，d=0,故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)11.（2012全國(guó)卷，文/理23,10分）已知曲線G的參數(shù)方程是為參[y=3sm^數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)

方程是p=2.正方形A5CQ的頂點(diǎn)都在C2上?且4B,C,。依逆時(shí)針次序排列?點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（21 .（1）求點(diǎn)4B,C,。的直角坐標(biāo)；（II）設(shè)P為G上任意一點(diǎn)?求EF十|尸砰十|PC|2十|PQ|2的取值范圍.解：（1）??,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,?）??點(diǎn)B的極坐標(biāo)為（2,點(diǎn)C的極坐標(biāo)為Q：+n）點(diǎn)D的極坐標(biāo)為（2,扛劣??必=28瑞=1，班=2sinxc=2cos(e+兀)=xc=2cos(e+兀)=-1,yc=2sin(e+兀)=一3 3初二2cos佃+》二有)力二2sin(f+?二—1即A(l,g)「B(-g，1),C(-l,D(g,-1)(II)設(shè)P(2cosp,3sing),令S二|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2貝ljS-16cos2?+36siir^+16=32+20sin2^.*0<sin2^<l???S的取值范圍是