中檔解答題特訓(xùn)之-專題篇（5）專題五 概率與統(tǒng)計（一）理科

中檔解答題特訓(xùn)之——專題篇專題五概率與統(tǒng)計（一）理科類型一：離散型變量分布列1．某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家進(jìn)場試銷10天．兩個廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返利70元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元；乙廠家無固定返利，賣出40件以內(nèi)（含40件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．經(jīng)統(tǒng)計，兩個廠家的試銷情況莖葉圖如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）現(xiàn)從甲廠家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大于40的概率；（Ⅱ）若將頻率視作概率，回答以下問題：（?。┯浺覐S家的日返利額為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為商場作出選擇，并說明理由．類型二：頻率分布直方圖2．根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：組別PM2.5濃度（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組（0，25]30.15第二組（25，50]120.6第三組（50，75]30.15第四組（75，100]20.1（1）將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．①求頻率分布直方圖中a的值；②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列．類型三：莖葉圖3．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某市環(huán)保局從市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)，求ξ的分布列；（Ⅲ）以這15天的PM2.5的日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，（一年按360天來計算），則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級．類型四：柱狀圖4．以下是新兵訓(xùn)練時，某炮兵連8周中炮彈對同一目標(biāo)的命中情況的柱狀圖：（1）計算該炮兵連這8周中總的命中頻率p0，并確定第幾周的命中頻率最高；（2）以（1）中的p0作為該炮兵連炮兵甲對同一目標(biāo)的命中率，若每次發(fā)射相互獨立，且炮兵甲發(fā)射3次，記命中的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（3）以（1）中的p0作為該炮兵連炮兵對同一目標(biāo)的命中率，試問至少要用多少枚這樣的炮彈同時對該目標(biāo)發(fā)射一次，才能使目標(biāo)被擊中的概率超過0.99？（取lg0.4=﹣0.398）專題五概率與統(tǒng)計（一）理科1．（2017?永州二模）某商場計劃銷售某種產(chǎn)品，現(xiàn)邀請生產(chǎn)該產(chǎn)品的甲、乙兩個廠家進(jìn)場試銷10天．兩個廠家提供的返利方案如下：甲廠家每天固定返利70元，且每賣出一件產(chǎn)品廠家再返利2元；乙廠家無固定返利，賣出40件以內(nèi)（含40件）的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品廠家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．經(jīng)統(tǒng)計，兩個廠家的試銷情況莖葉圖如下：甲乙8998993899201042111010（Ⅰ）現(xiàn)從甲廠家試銷的10天中抽取兩天，求這兩天的銷售量都大于40的概率；（Ⅱ）若將頻率視作概率，回答以下問題：（?。┯浺覐S家的日返利額為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）商場擬在甲、乙兩個廠家中選擇一家長期銷售，如果僅從日返利額的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為商場作出選擇，并說明理由．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）記“抽取的兩天銷售量都大于40”為事件A，利用等可能事件概率計算公式能求出這兩天的銷售量都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為a，推導(dǎo)出X的所有可能取值為：152，156，160，166，172，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（ⅱ）求出甲廠家的日平均銷售量，從而得到甲廠家的日平均返利，由（?。┑靡覐S家的日平均返利額，由此推薦該商場選擇乙廠家長期銷售．【解答】（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）記“抽取的兩天銷售量都大于40”為事件A，則．…（4分）（Ⅱ）（?。┰O(shè)乙產(chǎn)品的日銷售量為a，則當(dāng)a=38時，X=38×4=152；當(dāng)a=39時，X=39×4=156；當(dāng)a=40時，X=40×4=160；當(dāng)a=41時，X=40×4+1×6=166；當(dāng)a=42時，X=40×4+2×6=172；∴X的所有可能取值為：152，156，160，166，172，∴X的分布列為X152156160166172p∴．…（9分）（ⅱ）依題意，甲廠家的日平均銷售量為：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，∴甲廠家的日平均返利額為：70+39.5×2=149元，由（?。┑靡覐S家的日平均返利額為162元（＞149元），∴推薦該商場選擇乙廠家長期銷售．…（12分）【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用．2．（2017?雁峰區(qū)校級二模）根據(jù)國家環(huán)保部新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定：居民區(qū)PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．我市環(huán)保局隨機抽取了一居民區(qū)2016年20天PM2.5的24小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：組別PM2.5濃度（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組（0，25]30.15第二組（25，50]120.6第三組（50，75]30.15第四組（75，100]20.1（1）將這20天的測量結(jié)果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖．①求頻率分布直方圖中a的值；②求樣本平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境質(zhì)量是否需要改善？并說明理由．（2）將頻率視為概率，對于2016年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為X，求X的分布列．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；B8：頻率分布直方圖．【分析】（1）（1）①估計頻率和為1求出a的值；②利用頻率分布直方圖求出年平均濃度，與35比較即可得出結(jié)論；（2）由題意得PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3；計算P（X=k）=?0.13﹣k?0.9k，寫出分布列．【解答】解：（1）①由第四組的頻率為1﹣（0.006+0.024+0.006）×25=0.1，得25a=0.1，解得a=0.004；②去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5（微克/立方米）；因為42.5＞35，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)；（2）由題意可得：PM2.5的24小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的概率為0.9，X的可能取值為0，1，2，3；P（X=k）=?（1﹣0.9）3﹣k?0.9k，可得P（X=0）=0.001，P（X=1）=0.027，P（X=2）=0.243，P（X=3）=0.729；X的分布列為：X0123P0.0010.0270.2430.729【點評】本題考查了頻率分布直方圖與二項分布列的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（2017?和平區(qū)校級模擬）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．某市環(huán)保局從市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）（Ⅰ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，求這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率；（Ⅱ）從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù)，記ξ表示其中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)，求ξ的分布列；（Ⅲ）以這15天的PM2.5的日均值來估計一年的空氣質(zhì)量情況，（一年按360天來計算），則一年中大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級．【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；BA：莖葉圖；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（Ⅰ）用頻率估計概率，求出“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”的概率；（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，ξ的可能值為0，1，2，3，且P（ξ=k）=，寫出分布列；（Ⅲ）依題意知一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率P，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)η，η～B（360，），計算Eη即可．【解答】解：（Ⅰ）記“從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天，這天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A，則P（A）==；（Ⅱ）依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值為0，1，2，3，其分布列為：P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；ξ0123P…（8分）（Ⅲ）依題意可知，一年中每天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率為P==，一年中空氣質(zhì)量達(dá)到一級的天數(shù)為η，則η～B（360，）；∴Eη=360×=120（天），∴一年中平均有120天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級．【點評】本題考查了等可能事件概率的求法，以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)題．4．（2017?江西模擬）以下是新兵訓(xùn)練時，某炮兵連8周中炮彈對同一目標(biāo)的命中情況的柱狀圖：（1）計算該炮兵連這8周中總的命中頻率p0，并確定第幾周的命中頻率最高；（2）以（1）中的p0作為該炮兵連炮兵甲對同一目標(biāo)的命中率，若每次發(fā)射相互獨立，且炮兵甲發(fā)射3次，記命中的次數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（3）以（1）中的p0作為該炮兵連炮兵對同一目標(biāo)的命中率，試問至少要用多少枚這樣的炮彈同時對該目標(biāo)發(fā)射一次，才能使目標(biāo)被擊中的概率超過0.99？（取lg0.4=﹣0.398）【考點】C9：相互獨立事件的概率乘法公式；CA：n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【分析】（1）先求出這8周總總命中炮數(shù)和總未命中炮數(shù)，由此能求出該炮兵連這8周中總的命中頻率，從而根據(jù)表中數(shù)據(jù)能求出第8周的命中率最高．（2）由題意知X～B（3，0.6），由此能求出X的數(shù)學(xué)期望．（3）由1﹣（1﹣P0）n＞0.99，得0.4n＜0.01，由此能求出至少要用6枚這樣的炮彈同時對該目標(biāo)發(fā)射一次，才能使目標(biāo)被擊中的概率超過0.99．【解答】解：（1）這8周總總命中炮數(shù)為：40+45+46+49+47+49+53+52=381，總未命中炮數(shù)為32+34+30+32