自動(dòng)控制原理第七章2

7-4脈沖傳遞函數(shù)一、脈沖傳遞函數(shù)的定義脈沖傳遞函數(shù)：零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的z變換與輸入采樣信號(hào)的z變換之比(Z傳遞函數(shù))。虛擬采樣開關(guān)4/19/20231自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是1頁\一共有49頁\編輯于星期三2．單個(gè)環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)當(dāng)輸入信號(hào)為如下的脈沖序列時(shí)根據(jù)疊加原理，輸出信號(hào)為一系列脈沖響應(yīng)之和，即在t=kT時(shí)刻，輸出的脈沖值為根據(jù)卷積定理，可得上式的z變換4/19/20232自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是2頁\一共有49頁\編輯于星期三注意：經(jīng)虛設(shè)采樣開關(guān)得到的脈沖序列反映的是連續(xù)輸出在采樣時(shí)刻的瞬時(shí)值。脈沖傳函給出了兩個(gè)離散信號(hào)之間的傳遞關(guān)系。可見：(1)脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)經(jīng)采樣后離散信號(hào)g*(t)的z變換。（連續(xù)系統(tǒng)）(2)系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，g(t)衰減越快，G(z)展開式中包含項(xiàng)越少。(3)如果已知R(z)和G(z)，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為：4/19/20233自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是3頁\一共有49頁\編輯于星期三脈沖傳遞函數(shù)定義為輸出采樣信號(hào)的z變換與輸入采樣信號(hào)的z變換之比（因此也稱Z傳遞函數(shù)）系統(tǒng)輸出的采樣信號(hào)為4/19/20234自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是4頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-10：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為求該開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。解：連續(xù)部分的脈沖響應(yīng)函數(shù)為

4/19/20235自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是5頁\一共有49頁\編輯于星期三或由

查表得脈沖傳遞函數(shù)為4/19/20236自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是6頁\一共有49頁\編輯于星期三3.串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣開關(guān)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)4/19/20237自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是7頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-11：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如上圖所示，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，其中解：4/19/20238自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是8頁\一共有49頁\編輯于星期三(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開關(guān)且同步時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)此時(shí)，脈沖傳遞函數(shù)為各個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)z變換的乘積。取z變換4/19/20239自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是9頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-12：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-12(b)所示，求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，其中解：所以由于4/19/202310自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是10頁\一共有49頁\編輯于星期三（3）有零階保持器時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)（中間無采樣開關(guān)）開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

圖7-13帶零階保持器的開環(huán)采樣系統(tǒng)4/19/202311自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是11頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-13：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-13所示，其中采樣周期T=1秒，求其開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。解：4/19/202312自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是12頁\一共有49頁\編輯于星期三4.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)4/19/202313自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是13頁\一共有49頁\編輯于星期三于是閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為取z變換4/19/202314自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是14頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-14：閉環(huán)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖7-14所示，采樣周期T=1秒，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。其中若r(t)=1(t)，求c*(t)。解：4/19/202315自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是15頁\一共有49頁\編輯于星期三則輸出信號(hào)的z變換為對(duì)于階躍輸入函數(shù)有4/19/202316自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是16頁\一共有49頁\編輯于星期三幾點(diǎn)說明：不是所有的閉環(huán)系統(tǒng)都能寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。由于系統(tǒng)中采樣開關(guān)數(shù)目和位置的不同，有的系統(tǒng)只能給出輸出的z變換。如果在E(s)處存在采樣開關(guān)，一般可以寫出閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。對(duì)于一個(gè)等式中含有的離散信號(hào)取z變換時(shí)，可以單獨(dú)取。4/19/202317自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是17頁\一共有49頁\編輯于星期三(2)數(shù)字控制系統(tǒng)圖7-15數(shù)字控制系統(tǒng)采樣開關(guān)的輸入和系統(tǒng)的輸出分別為4/19/202318自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是18頁\一共有49頁\編輯于星期三可得于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為整理得

4/19/202319自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是19頁\一共有49頁\編輯于星期三

7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差7.5.1穩(wěn)定性1.從s平面到z平面的映射關(guān)系由Z變換的定義若令則有4/19/202320自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是20頁\一共有49頁\編輯于星期三虛軸映射為單位圓(σ=0時(shí)，|z|=1)左半平面映射為單位圓內(nèi)(σ<0時(shí)，|z|<1)；右半平面映射為單位圓外(σ>0時(shí)，|z|>1)4/19/202321自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是21頁\一共有49頁\編輯于星期三系統(tǒng)的特征根為即為閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)2.Z域的穩(wěn)定條件和穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)于下圖所示的采樣控制系統(tǒng)，其特征方程式為結(jié)論：閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內(nèi)，或者所有根的模均小于1，即4/19/202322自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是22頁\一共有49頁\編輯于星期三在分析連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，曾經(jīng)應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的特征根位于s右半平面的個(gè)數(shù)，并依此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于采樣系統(tǒng)，也可用Routh判據(jù)分析其穩(wěn)定性，但由于在z域中穩(wěn)定區(qū)域是單位圓內(nèi)，而不是左半平面，因此不能直接應(yīng)用Routh判據(jù)。必須采用一種變換方法，使z平面上的單位圓映射為新坐標(biāo)系的虛軸。雙線性變換可建立z平面單位圓與變換后坐標(biāo)系虛軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。4/19/202323自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是23頁\一共有49頁\編輯于星期三則令復(fù)變量z=x+jy,w=u+jv

代入右上式得對(duì)于w平面上的虛軸，實(shí)部u=0，即x2+y2＝1這就是z平面上以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。單位圓內(nèi)x2+y2＜1，對(duì)應(yīng)于w平面上u為負(fù)數(shù)的虛軸左半部；單位圓外x2+y2＞1，對(duì)應(yīng)于w平面上u為正數(shù)的虛軸右半部。引入雙線性變換4/19/202324自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是24頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-15設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-18所示，采樣周期T=0.25s，求能使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。4/19/202325自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是25頁\一共有49頁\編輯于星期三解開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

閉環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+G(z)=0令，T=0.25s代入上式得4/19/202326自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是26頁\一共有49頁\編輯于星期三整理后可得列勞斯表為w20.158K 2.736－0.158Kw11.264w02.736－0.158K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列各項(xiàng)大于零，即0.158K＞0 和2.736－0.158K＞0所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0＜K＜17.3。4/19/202327自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是27頁\一共有49頁\編輯于星期三由特征方程T=0.25s代入上式得由特征根公式令|z1,2|<1，可得使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍是0＜K＜17.3。除了應(yīng)用勞斯方法，還有沒有其他方法？|z|<14/19/202328自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是28頁\一共有49頁\編輯于星期三說明：對(duì)于本例的二階系統(tǒng)，如果沒有采樣作用，則不論K取何值，系統(tǒng)都是穩(wěn)定的；但引入采樣以后，系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。采樣周期越長(zhǎng)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差(因?yàn)椴蓸印鷣G失了部分信息→穩(wěn)定性變差)。4/19/202329自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是29頁\一共有49頁\編輯于星期三7.5.2數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)單位反饋采樣控制系統(tǒng)如圖7-19所示

與連續(xù)系統(tǒng)類似，系統(tǒng)的誤差4/19/202330自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是30頁\一共有49頁\編輯于星期三設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，根據(jù)終值定理可以求出在輸入信號(hào)作用下采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值在連續(xù)系統(tǒng)中，如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)具有ν個(gè)s=0的極點(diǎn)，則由z=eTs可知相應(yīng)G(z)必有ν個(gè)z=1的極點(diǎn)。同樣，在離散系統(tǒng)中，也可把開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)具有z=1的極點(diǎn)數(shù)，作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)。把G(z)中ν=0，1，2…的系統(tǒng)稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型（離散）系統(tǒng)等。4/19/202331自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是31頁\一共有49頁\編輯于星期三當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)1(t)時(shí)，代入esr的表達(dá)式得當(dāng)輸入為單位斜坡信號(hào)t時(shí)，4/19/202332自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是32頁\一共有49頁\編輯于星期三穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)

4/19/202333自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是33頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-15：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，其中采樣周期T=0.2s，

求在輸入信號(hào)r(t)=1+t+0.5t2(t>0)的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。4/19/202334自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是34頁\一共有49頁\編輯于星期三解：采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為雙線性變換：系統(tǒng)穩(wěn)定。4/19/202335自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是35頁\一共有49頁\編輯于星期三II型系統(tǒng)，在階躍和斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零，靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為因此，在輸入r(t)=1+t+0.5t2作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為4/19/202336自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是36頁\一共有49頁\編輯于星期三7.6離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析若可以求出離散系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G(z)=C(z)/R(z)，其中輸入R(z)通常為單位階躍函數(shù)，即R(z)=z/(z-1)，則系統(tǒng)輸出量的z變換函數(shù)將上式展成冪級(jí)數(shù)，通過z反變換，可以求出輸出信號(hào)的脈沖序列c(k)或c*(t)。由于離散系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據(jù)單位階躍響應(yīng)曲線c(k)可以方便地分析離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。4/19/202337自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是37頁\一共有49頁\編輯于星期三例7-16設(shè)采樣系統(tǒng)如圖7-19所示，采樣周期T=0.1s，求系統(tǒng)指標(biāo)和的近似值，其中

解：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

4/19/202338自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是38頁\一共有49頁\編輯于星期三系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為用長(zhǎng)除法得

輸出信號(hào)的脈沖序列將c*(t)在各采樣時(shí)刻的值用“*”標(biāo)于圖7-20中，光滑地連接圖中各點(diǎn)，便得到了系統(tǒng)輸出相應(yīng)曲線c(t)的大致波形。4/19/202339自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是39頁\一共有49頁\編輯于星期三由該波形曲線可得，4/19/202340自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是40頁\一共有49頁\編輯于星期三Z平面ImRe01閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式4/19/202341自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是41頁\一共有49頁\編輯于星期三ImRe1–1閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式4/19/202342自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是42頁\一共有49頁\編輯于星期三7.7采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正如圖所示的閉環(huán)采樣系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖7-21含數(shù)字校正裝置的采樣系統(tǒng)4/19/202343自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是43頁\一共有49頁\編輯于星期三最少拍系統(tǒng)：在典型輸入作用下，能以有限拍結(jié)束響應(yīng)過程，并且采樣點(diǎn)上沒有穩(wěn)態(tài)誤差。設(shè)計(jì)原則：由最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則，應(yīng)有e

(∞)=04/19/202344自動(dòng)控制原理》第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)第七章離散系統(tǒng)現(xiàn)在是44頁\一共有49頁\編輯于星期三系統(tǒng)的誤差為其中A(z)為