第7章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器

第7章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器第一頁，共108頁。前向預(yù)測概念預(yù)測器格型表示前向預(yù)測中的正規(guī)方程的解法維納濾波器理論及其設(shè)計方法

重點和要求第二頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第三頁，共108頁。7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點信號之間的關(guān)聯(lián)性系統(tǒng)的慣性隨機信號預(yù)測特點第四頁，共108頁。7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點信號之間的關(guān)聯(lián)性信號之所以能夠預(yù)測，在于數(shù)據(jù)間存在不同程度的關(guān)聯(lián)性。預(yù)測就是利用數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)其中一部分推知其余部分。顯然數(shù)據(jù)間關(guān)聯(lián)越密切，預(yù)測越準確；完全不關(guān)聯(lián)，則無法預(yù)測。第五頁，共108頁。7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點1.信號之間的關(guān)聯(lián)性周期信號：只要知道一個周期，則以后的信號就可以按照第一個周期完全無誤地預(yù)測出來。

白噪聲信號：由于其前后毫無關(guān)聯(lián)，使預(yù)測無所依據(jù)而無法預(yù)測。平穩(wěn)隨機信號：均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，可以進行預(yù)測。第六頁，共108頁。7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點2.系統(tǒng)慣性

是有慣性的系統(tǒng)，因而是有色的。第七頁，共108頁。7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點3.隨機信號預(yù)測特點只能利用隨機信號的統(tǒng)計規(guī)律作為預(yù)測的依據(jù)，也就是說隨機信號之所以能夠預(yù)測在于其存在某些統(tǒng)計上的規(guī)律。不能精確使預(yù)測誤差為零，而只能從統(tǒng)計意義上做到最優(yōu)預(yù)測，使預(yù)測誤差的均方值最小。實際獲得的信號是帶噪聲干擾的，這使得預(yù)測和濾波緊密相連，稱為帶濾波的預(yù)測或預(yù)測濾波。不考慮噪聲干擾時的預(yù)測或不帶濾波的預(yù)測為純預(yù)測。第八頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第九頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測前向線性預(yù)測后向線性預(yù)測格形濾波器第十頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測

已知n時刻以前的p個信號數(shù)據(jù)，用這p個數(shù)據(jù)來線性預(yù)測n時刻信號的值，如圖所示，預(yù)測值為第十一頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測其預(yù)測誤差為

(a)

——稱此預(yù)測器為p階前向線性預(yù)測器。

令誤差的均方值最小，即求由此解得將式(a)代入上式，得

第十二頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測

(b)由最小均方誤差的表達式及正交性原理可求得最小的均方誤差為

(c)聯(lián)立式(b)與式(c)得

第十三頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測

(d)

——前向線性預(yù)測的Wiener-Hopf方程

解此方程則得p階線性預(yù)測器的最佳參數(shù)及。矩陣形式第十四頁，共108頁。前向預(yù)測濾波器性質(zhì)：

白化性質(zhì)

預(yù)測濾波器是最小相位系統(tǒng)首先我們闡述白化性質(zhì)，回憶AR過程的Yule-Walker方程：

7.2

前向線性預(yù)測第十五頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測（d）式與AR模型參數(shù)的正則方程式極其相似，有，成立。這說明，對于同一個p階的AR隨機信號，其AR模型和同階的最佳線性預(yù)測器模型是等價的。所以有

(f)即p階線性預(yù)測器的輸出是一個白噪聲序列。第十六頁，共108頁。7.2

前向線性預(yù)測結(jié)論：對于給定的隨機信號，若其最佳前向線性預(yù)測器的階次等于的AR模型階次時，其前向線性預(yù)測誤差為白噪聲序列。所以階次等于AR模型階次的最佳前向預(yù)測誤差濾波器實際上是AR模型的逆系統(tǒng)，即白化濾波器。

圖aAR(p)模型圖b預(yù)測誤差模型第十七頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第十八頁，共108頁。7.3

后向線性預(yù)測用同一組數(shù)據(jù)來同時實現(xiàn)前向和后向預(yù)測，則后向預(yù)測器表示為預(yù)測誤差第十九頁，共108頁。7.3后向線性預(yù)測后向預(yù)測器也可用直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)或格型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，其對應(yīng)系數(shù)和前向濾波器的關(guān)系如下：預(yù)測誤差可以表示為

第二十頁，共108頁。7.3

后向線性預(yù)測對應(yīng)的均方誤差為仿照前向預(yù)測器的推導(dǎo)方法，最小化均方誤差可導(dǎo)出：對應(yīng)的最小均方誤差和前向預(yù)測器相同。第二十一頁，共108頁。7.3

后向線性預(yù)測后向預(yù)測濾波器性質(zhì)：

最大相位系統(tǒng)性質(zhì)

具有最小相位

后向預(yù)測誤差的正交性

前后向預(yù)測濾波器的其他性質(zhì)，教材633頁第二十二頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第二十三頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系預(yù)測誤差可以表示成直接型FIR濾波器第二十四頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系前后向預(yù)測誤差濾波器系數(shù)之間關(guān)系的z域表示：第二十五頁，共108頁。直接型FIR濾波器的全零點格型濾波器等效：其中為反射系數(shù)，為后向預(yù)測誤差。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系第二十六頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系全零點格型濾波器和前后向預(yù)測器誤差的關(guān)系：第二十七頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系3.格型濾波器的Z域表示相應(yīng)的z變換的表達式為格型濾波器的時域表達式為第二十八頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系3.格型濾波器的Z域表示它們z變換的表達式為把它們都除以X(z)得到其對應(yīng)的矩陣形式為第二十九頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系4.預(yù)測系數(shù)遞推公式從上式可以推出：第三十頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系4.預(yù)測系數(shù)遞推公式遞推關(guān)系：具體如下：第三十一頁，共108頁。

7.4預(yù)測器與格形濾波器關(guān)系5.反射系數(shù)遞推公式遞推公式為：詳細公式為：第三十二頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第三十三頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法1.正規(guī)方程前向預(yù)測誤差均方值最小化得到的預(yù)測器系數(shù)為正規(guī)方程，即其對應(yīng)的緊湊形式為其MMSE為第三十四頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法二者結(jié)合得到擴展正規(guī)方程為：2.Levinson-Durbin算法正規(guī)方程的緊湊形式為第三十五頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法其對應(yīng)的自相關(guān)矩陣為由于Toeplitz矩陣Hermitian矩陣2.Levinson-Durbin算法第三十六頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法算法思路為利用矩陣Toeplitz性質(zhì)，遞推處理得到最后的解。先從階數(shù)1的預(yù)測器開始，再遞推地增加階數(shù)，使用低階的解得到下一個高階解。通過求解如下方程一階預(yù)測器的解為第三十七頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法對應(yīng)的一階MMSE為：對于二階通過求解如下方程得到兩個方程為第三十八頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法結(jié)合一階方程的解，得到二階預(yù)測器系數(shù)：第三十九頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法按照此規(guī)律即可利用前一階得到后一階的系數(shù)，將系數(shù)向量寫成向量和的形式，如下是第m-1階預(yù)測器的系數(shù)向量，向量，標量待定。2.Levinson-Durbin算法第四十頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法首先處理自相關(guān)矩陣，公式如下：其中，星號表示共軛，t表示轉(zhuǎn)置，上標b表示向量的元素按照倒序排列。2.Levinson-Durbin算法第四十一頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法求解如下方程：，得到如下解2.Levinson-Durbin算法通過上式得到如下兩個方程第四十二頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法由于，得到第一個方程的解為2.Levinson-Durbin算法結(jié)合，利用第二個方程求解第四十三頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法2.Levinson-Durbin算法2.Levinson-Durbin算法得到的表達式為：結(jié)合和的解，得到算法的表達式第四十四頁，共108頁。7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法算法對應(yīng)的MMSE表達式為2.Levinson-Durbin算法第四十五頁，共108頁。7.2前向線性預(yù)測第七章線性預(yù)測和最優(yōu)線性濾波器7.3后向線性預(yù)測7.5最優(yōu)化正規(guī)方程解法7.6用于濾波和預(yù)測維納濾波器7.1線性預(yù)測的依據(jù)和特點7.4預(yù)測器與格型濾波器關(guān)系第四十六頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器在生產(chǎn)實踐中，信號都會受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號分離出來？濾波器：當信號與噪聲同時輸入時，在輸出端能將信號盡可能精確地重現(xiàn)，而噪聲受到最大抑制。維納過濾與卡爾曼過濾就是一類從噪聲中提取信號的方法。1.引言第四十七頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器20世紀著名數(shù)學(xué)家諾伯特·維納，從小就智力超常，三歲時就能讀寫，十四歲時就大學(xué)畢業(yè)了。幾年后，他又通過了博士論文答辯，成為美國哈佛大學(xué)的科學(xué)博士。維納維納在其50年的科學(xué)生涯中，先后涉足哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)，最后轉(zhuǎn)向生物學(xué)，在各個領(lǐng)域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚過的、本世紀多才多藝和學(xué)識淵博的科學(xué)巨人。他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。他的主要成果有如下幾個方面：建立維納測度引進巴拿赫—維納空間闡述位勢理論發(fā)展調(diào)和分析發(fā)現(xiàn)維納—霍普夫方法創(chuàng)立控制論第四十八頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器提出維納濾波理論：在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達噪聲濾波問題，維納綜合運用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時間序列的過去數(shù)據(jù)推知未來的維納濾波公式，建立了在最小均方誤差準則下利用時間序列進行預(yù)測的維納濾波理論。第四十九頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器維納在問題中引進統(tǒng)計因素并使用了自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，事實證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時間區(qū)間內(nèi)進行觀測的平穩(wěn)過程以及某些特殊的外平穩(wěn)過程，其應(yīng)用范圍也擴充到更多的領(lǐng)域，至今它仍是處理各種動態(tài)數(shù)據(jù)(如氣象、水文、地震勘探等)及預(yù)測未來的有力工具之一?？柭?960年提出了另一種適合于數(shù)字計算機計算的遞推濾波法，即所謂的卡爾曼濾波。這種濾波方法不需要求解積分方程，既適用于平穩(wěn)隨機過程，也適用于非平穩(wěn)隨機過程，是一種有廣泛應(yīng)用價值的工程方法?？柭谖迨?，共108頁。(1)維納濾波根據(jù)估計信號的當前值，它的解以系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)或單位脈沖響應(yīng)形式給出。這種系統(tǒng)常稱為最佳線性濾波器?？柭鼮V波用前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號當前值，它用狀態(tài)方程和遞推的方法進行估計，它的解以估計值（常是狀態(tài)變量值）形式給出。系統(tǒng)常稱為線性最優(yōu)估計器。共同點：都解決最佳線性濾波和預(yù)測問題，都以均方誤差最小為最優(yōu)準則，平穩(wěn)條件下它們得到的穩(wěn)態(tài)結(jié)果一致。維納濾波和卡爾曼濾波比較：不同點：第五十一頁，共108頁。(2)維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程，卡爾曼濾波適用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機過程。(3)維納濾波設(shè)計時要已知信號與噪聲的統(tǒng)計分布規(guī)律。卡爾曼濾波設(shè)計時要求已知狀態(tài)方程和量測方程。(4)卡爾曼濾波比維納濾波優(yōu)越，計算方便，可用于平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機過程、時變和非時變系統(tǒng)。(5)卡爾曼濾波是在維納濾波基礎(chǔ)上發(fā)展的，是對最佳線性過濾問題的一種新的算法。維納濾波的物理概念更清楚。第五十二頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器維納濾波器輸入－輸出關(guān)系第五十三頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器希望x(n)通過線性系統(tǒng)h(n)后得到的y(n)盡量接近s(n)，稱y(n)為s(n)的估計值,用表示。這種線性系統(tǒng)h(.)稱為對于s(n)的一種估計器。第五十四頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器

從當前和過去的觀測值x(n),x(n-1),x(n-2),…x(n-m)估計當前的信號值稱為濾波。

從過去的觀測值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估計當前的或?qū)淼男盘栔捣Q為預(yù)測或外推。

從過去的觀測值x(n－1),x(n-2),…x(n-m)估計過去的信號值，稱為平滑或內(nèi)插。第五十五頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器假設(shè)s(n),w(n),d(n)是零均值廣義平穩(wěn)過程，線性濾波器是FIR或IIR濾波器。最優(yōu)化濾波器沖激響應(yīng)的準則為均方誤差最小。所謂維納濾波是指最小均方誤差（MMSE）意義上的最優(yōu)線性濾波器。均方誤差是以估計結(jié)果與信號真值之間的誤差的均方值。第五十六頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器2.維納濾波的應(yīng)用在通信系統(tǒng)中，為了在接收端補償信道傳輸引入的各種畸變，在對接收信號進行檢測之前，通過一個濾波器對信道失真進行校正，這個濾波器稱為信道均衡器。信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意通信的信道均衡器第五十七頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器2.維納濾波的應(yīng)用

發(fā)送端發(fā)送序列

經(jīng)信道傳輸后，接收端的濾波器輸入信號，可能包含畸變，加性噪聲，多徑效應(yīng)。

期望信號，

盡量確定維納濾波器系數(shù)，使盡可能逼近即，也就是使估計誤差的均方值最小，（均方誤差最小準則）通信的信道均衡器第五十八頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器系統(tǒng)辨識2.維納濾波的應(yīng)用有一個系統(tǒng)是未知的，設(shè)計一個線性濾波器盡可能精確的逼近這個未知系統(tǒng)，維納濾波器實現(xiàn)一個統(tǒng)計意義上最優(yōu)（估計誤差的均方值最?。┑膶ξ粗到y(tǒng)的逼近。第五十九頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器2.維納濾波的應(yīng)用最優(yōu)線性預(yù)測通過一個隨機信號已存在的數(shù)據(jù)來預(yù)測一個新值，這是一步前向線性預(yù)測問題。由的線性組合得到對的最優(yōu)估計，相當于設(shè)計一個FIR濾波器對 ，進行線性運算，來估計期望響應(yīng)，維納濾波器可以用于設(shè)計均方誤差最小的最優(yōu)預(yù)測器。第六十頁，共108頁。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器3.

維納濾波器的時域解假設(shè)濾波系統(tǒng)是一個線性時不變系統(tǒng)，它的和輸入信號都是復(fù)函數(shù)，設(shè)維納濾波器設(shè)計的任務(wù)就是選擇,使其輸出信號與期望信號誤差的均方值最小，實質(zhì)是解維納－霍夫方程。3.1維納濾波器時域求解的方法第六十一頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法考慮系統(tǒng)的因果性，可得到濾波器的輸出設(shè)期望信號，誤差信號及其均方誤差分別為第六十二頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法要使均方誤差為最小，需滿足：這里，表示，用，表示，。由于是一標量，因此上式是一個標量對復(fù)函數(shù)求導(dǎo)的問題，等價于第六十三頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法記則式可寫為第六十四頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法得將上式展開由于第六十五頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法將如上各項代入表達式，整理得：因此等價于上式說明，均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是正交性原理。第六十六頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.1維納濾波器時域求解的方法下面計算輸出信號與誤差信號的互相關(guān)函數(shù)假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出與期望信號的誤差為，則可見，在濾波器工作于最佳狀態(tài)時，輸出和誤差信號也是正交的。第六十七頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.2維納-霍夫方程將展開，得整理得對兩邊取共軛，并利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì),得第六十八頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.2維納-霍夫方程此式稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程。解此方程可得到最優(yōu)權(quán)系數(shù)，此式是維納濾波器的一般方程，根據(jù)權(quán)系數(shù)是有限個還是無限個可以分別設(shè)計IIR型和FIR型維納濾波器。第六十九頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器FIR濾波器是一個長度為M的因果序列(即是一個長度為M的FIR濾波器)時，維納-霍夫方程表述為把的取值代入上式，得

時

時

時第七十頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器則維納-霍夫方程可寫成矩陣形式定義對上式求逆，得第七十一頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器維納-霍夫方程矩陣形式

此式表明，已知期望信號與觀測數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)及觀測數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法，當較大時，計算量很大，并需計算，從而要求存儲量也很大。另外，具體實現(xiàn)時，濾波器的長度由實驗確定，增加，需在新基礎(chǔ)上重新計算。第七十二頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器FIR型維納濾波器的最小均方誤差

設(shè)所研究的信號是零均值的，濾波器為FIR型，長度等于M，則第七十三頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器第七十四頁，共108頁。3.維納濾波器的時域解3.3FIR型維納濾波器將代入得:

第七十五頁，共108頁。7.5用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解時域求解維納濾波器很困難，用Z域求解。又因為實際的系統(tǒng)是因果的，維納-霍夫方程有個的約束條件，所以不能直接轉(zhuǎn)入Z域求解它的。這是因為輸入信號與期望信號的互是一個因果序列。這里我們利用將加以白化的方法來求維納-霍夫方程的Z域解(由波德(Bode)和香農(nóng)(Shannon)首先提出的方法)。第七十六頁，共108頁。7.5用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解

是一個因果(物理可實現(xiàn))的最小相位系統(tǒng)。把信號轉(zhuǎn)化為白噪聲的過程稱為白化。白化濾波器第七十七頁，共108頁。白噪聲功率譜密度為：s(n)的信號模型x(n)的信號模型7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第七十八頁，共108頁。B(z)是x(n)的形成網(wǎng)絡(luò)的傳函維納濾波器輸入－輸出的信號模型x(n)的信號模型7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第七十九頁，共108頁。如果是在單位圓內(nèi)()的一對共軛極點（零點），則必是單位圓外一對相應(yīng)的極點（零點）。令B(z)是由圓內(nèi)的零極點組成，則B(z-1)是由相應(yīng)的圓外的零極點組成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)，其收斂域為，即H(z)的全部極點應(yīng)落在單位圓內(nèi)。因此B(z)是因果且最小相位系統(tǒng)，1/B(z)也是因果最小相位系統(tǒng)。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十頁，共108頁。利用白化x(n)的方法來求解維納－霍夫方程7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十一頁，共108頁。求解步驟：對觀測信號的自相關(guān)函數(shù)求z變換得。利用等式，找到最小相位系統(tǒng)B(z)。利用均方誤差最小原則求解G(z)。

H(z)=G(z)/B(z)，得到維納－霍夫方程的系統(tǒng)函數(shù)解。7.6用于濾波和預(yù)測的維納濾波器4.離散維納濾波的Z域解第八十二頁，共108頁。4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解該信號為實信號，是的逆Z變換。第八十三頁，共108頁。要使均方誤差最小，當且僅當因此的最佳值為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十四頁，共108頁。兩邊取Z變換非因果維納濾波器的最佳解為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十五頁，共108頁。因為，且根據(jù)相關(guān)卷積定理，得兩邊取Z變換代入得到4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十六頁，共108頁。假定信號與噪聲不相關(guān)，即，有兩邊取Z變換，得代入表達式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十七頁，共108頁。代入式，非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解非因果維納濾波器的頻率響應(yīng)為4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第八十八頁，共108頁。決定于信號與噪聲的功率譜密度。(信號不失真，因為沒有噪聲)有誤差，誤差是由于信號譜和噪聲譜交叉造成。信噪比越小，越小噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波器有濾除噪聲的能力幅頻特性第八十九頁，共108頁。為什么維納濾波器比一般線性濾波器性能更好？第九十頁，共108頁。推導(dǎo)濾波器的最小均方誤差根據(jù)圍線積分求逆Z變換的公式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十一頁，共108頁。同理由帕塞伐爾定理取有4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十二頁，共108頁。把，代入公式，得將代入上式，得4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十三頁，共108頁。因為實信號的自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即，因此假定信號與噪聲不相關(guān)，即，則可見，維納濾波的最小均方誤差不僅與輸入信號的功率譜有關(guān)，而且與信號和噪聲的功率譜的乘積有關(guān)。也就是說，最小均方誤差與信號和噪聲功率譜的重疊部分的大小有關(guān)。4.離散維納濾波的Z域解4.1非因果維納濾波器的求解第九十四頁，共108頁。若維納濾波器是一個因果濾波器，要求則濾波器輸出估計誤差的均方值類似于前面的推導(dǎo)，得4.離散維納濾波的Z域解4.2因果維納濾波器的求解第九十五頁，共108頁。令要使均方誤差最小，當且僅當4.離散維納濾波的Z域解4.2因果維納濾波器的求解第九十六頁，共108頁。又由于得所以因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解為4.離散維納濾波的Z域解4.2因果維納濾波器的求解第九十七頁，共108頁。維納濾波的最小