條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性課件

第二章作業(yè)題第二章條件概率與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性§2.1條件概率，全概率公式，貝葉斯公式問(wèn)題的提出：

1)10張彩票有3張中彩，10個(gè)人摸彩.

問(wèn)：第1個(gè)人中彩的概率為多少？第2個(gè)人中彩的概率為多少？

2)10張彩票有3張中彩，10個(gè)人摸彩.

問(wèn)：已知第l個(gè)人沒(méi)摸中，第2個(gè)人中彩的概率為多少？一、條件概率例：在肝癌普查中發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)的自然人群中，每十萬(wàn)人平均有40人患原發(fā)性肝癌，有34人甲胎球蛋白高含量，有32人既患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎球蛋白高含量，從這個(gè)地區(qū)的居民中任抽一人，用A表示他患原發(fā)性肝癌，用B表示他甲胎球蛋白高含量,已知P(A)=0.0004,P(B)=0.00034,P(AB)=0.00032,由條件概率定義可得P(B|A)=P(AB)/P(A)=0.00032/0.0004=0.8,P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.00032/0.00034=0.9412.條件概率P(A|B)滿足概率的三條公理.由此得：

P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)P(AB|C)；

若A與B互不相容，則P(AB|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).條件概率是概率P(|B)=1;P(B|)1;P(A|)=P(A);P(A|A)=1.注意點(diǎn)(1)

設(shè)P(B)＞0，且AB，則下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(AB)=0.84,P(B|A)=0.4,

則P(B)=().課堂練習(xí)(1)若

P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，則

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)

乘法公式解:

罐中有b個(gè)是黑球,r個(gè)是紅球.每次從罐中任取一球,觀其顏色后放回,并再放入同顏色的小球c個(gè)，放入異色球d個(gè).若A={第一,第三次取到紅球,第二次取到黑球}.求:P(A).設(shè)Bi={第i次取到黑球},i=1,2,3,則:伯利亞罐模型例：送檢的兩批燈管在運(yùn)輸中各打碎一支。若每批十支，而且第一批中有1支次品，第二批中有2支次品?，F(xiàn)從剩下的燈管中任取一支，問(wèn)抽得次品（記為B）的概率是多少？解法一：用A表示從剩下的燈管中任取一支出自第一批解法二：用A1，A2,A3,A4分別表示兩批燈管所打碎的燈管情況是（次，次），（次，正），（正，次），（正，正）例、某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，30%，35%，這四條流水線的次品率分別為0.05,0.04,0.03,0.02.出廠產(chǎn)品是這四條流水線產(chǎn)品的均勻混合?，F(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任取一件，試求該件產(chǎn)品為次品的概率。解：設(shè)B為“任取一件為次品”Ai為“任取一件為第i條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品”，i=1,2,3,4要調(diào)查“敏感性”問(wèn)題中某種比例p；兩個(gè)問(wèn)題：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考試作弊？拋硬幣回答A或B.答題紙上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”問(wèn)題.敏感性問(wèn)題的調(diào)查由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果全概率公式用于求復(fù)雜事件的概率.使用全概率公式關(guān)鍵在于尋找另一組事件來(lái)“分割”樣本空間.全概率公式最簡(jiǎn)單的形式：注意點(diǎn)乘法公式是求“幾個(gè)事件同時(shí)發(fā)生”的概率；全概率公式是求“最后結(jié)果”的概率；貝葉斯公式是已知“最后結(jié)果”，求“原因”的概率.三

貝葉斯公式若事件A1,A2,

······,An是樣本空間的一組分割，且P(B)>0,P(Ai)>0，則貝葉斯（Bayes）公式

托馬斯·貝葉斯(ThomasBayes，1702-1761)

例8

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性}，求P(C|A).現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得:

P(C｜A)=0.10662.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？2.檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥?

試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.1066即使你檢出陽(yáng)性，尚可不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來(lái)說(shuō)，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過(guò)再試驗(yàn)來(lái)確認(rèn).

貝葉斯公式在貝葉斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒(méi)有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道B發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Ai|B)有了新的認(rèn)識(shí).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性

事件的獨(dú)立性

直觀說(shuō)法：對(duì)于兩事件，若其中任何一個(gè)事件的發(fā)生不影響另一個(gè)事件的發(fā)生，則這兩事件是獨(dú)立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)=P(A)P(B)例

袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，隨機(jī)取球兩次，（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣，設(shè)A為“第一次取到白球”；B為第二次取到白球”；問(wèn)A與B是否獨(dú)立？注意區(qū)別：“A與B相互獨(dú)立”VS“A與B互不相容”例，從一副52張撲克牌中任取一張，A=取到為黑桃，B=取到為K試問(wèn)A與B是否相互獨(dú)立？結(jié)論：若P(A)>0,P(B)>0則“A與B相互獨(dú)立”與“A與B互不相容”不能同時(shí)成立二

多個(gè)事件的獨(dú)立性對(duì)于A、B、C三個(gè)事件，稱滿足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

為A、B、C兩兩獨(dú)立.稱滿足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

為A、B、C三三獨(dú)立.定義

若事件A1,A2,……,An滿足：兩兩獨(dú)立、三三獨(dú)立、……、n

n獨(dú)立則稱A1,A2,……,An

相互獨(dú)立.性質(zhì):(1)若事件

A1,A2,…,An相互獨(dú)立，則其中任意k(2≤k≤n)個(gè)事件也相互獨(dú)立。

(2)若A1,A2,…,An(n≥2)相互獨(dú)立，則將其中任意多個(gè)事件換成各自的對(duì)立事件，所得n個(gè)事件仍相互獨(dú)立。

若A、B、C相互獨(dú)立，則AB與C獨(dú)立,AB與C獨(dú)立,AB與C獨(dú)立.一些結(jié)論例、若干人獨(dú)立地,向一游動(dòng)目標(biāo)射擊,每人擊中目標(biāo)的概率都是0.6.求:至少需要多少人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)?

解：設(shè)至少需要n個(gè)人,才能以0.99以上的概率擊中目標(biāo).

令A(yù)={目標(biāo)被擊中},Ai={第i人擊中目標(biāo)},(i=1,2,…,n).

則A1,A2,…,An相互獨(dú)立.于是事件:例、有2n個(gè)相同元件獨(dú)立工作，他們的連接方式有兩種方案：先串聯(lián)后并聯(lián)、先并聯(lián)后串聯(lián)。設(shè)每個(gè)元件正常工作的概率都是r，問(wèn)哪一種連接方式更加可靠？12n112221nnn四、

試驗(yàn)的獨(dú)立性定義、設(shè)有兩個(gè)實(shí)驗(yàn)E1和E2，假如試驗(yàn)E1的任一結(jié)果與試驗(yàn)E2的任一結(jié)果都是相互獨(dú)立的事件，則稱這兩個(gè)試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。**重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)§2.3伯努利試驗(yàn)與直線上的隨機(jī)游動(dòng)一、

伯努利概型伯努利試驗(yàn)：只有兩種可能結(jié)果的試驗(yàn)取事件域?yàn)椴⒓僭O(shè)n重伯努利試驗(yàn)：把伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次即：每次試驗(yàn)只可能出現(xiàn)A和兩種結(jié)果之一；且A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p保持不變。二、

伯努利概型中的一些分布1、

伯努利分布只進(jìn)行一次伯努利試驗(yàn)產(chǎn)生的分布2、

二項(xiàng)分布n重伯努利試驗(yàn)中，A出現(xiàn)k次的概率記為b(k;n,p)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布既是伯努利分布

試驗(yàn)次數(shù)為n=4,“A”即取得合格品,A的概率為p=0.8,

所以,b(2;4,0.8)=

例：一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,則取得合格品件數(shù)是2的概率是？3、

幾何分布伯努利試驗(yàn)中，A首次出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)的概率記為g(k;p),則g(k;p)也表示等待A出現(xiàn)共等了k次的概率例：一個(gè)人要開(kāi)門(mén)，他共有n把鑰匙，其中僅有一把能開(kāi)門(mén)，他每次隨機(jī)地選取一把鑰匙開(kāi)門(mén)，這人在第s次試開(kāi)時(shí)才首次成功的概率是多少？4、

巴斯卡分布伯努利試驗(yàn)中，A第r次出現(xiàn)在第k次試驗(yàn)的概率記為f(k;r,p),則r=1時(shí),巴斯卡分布既是幾何分布例：數(shù)學(xué)家的左右口袋各放有一盒裝有N根火柴的火柴盒，每次抽煙時(shí)任取一盒用一根，求發(fā)現(xiàn)一盒用光時(shí)，另一盒有r根的概率？三、

直線上的隨機(jī)游動(dòng)（略）四、

推廣的伯努利試驗(yàn)與多項(xiàng)分布

若每次試驗(yàn)有r

種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r在n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中Ai

出現(xiàn)ni次的概率為例：人類的血型分為O,A,B,AB四型，假定某地區(qū)的居民中這四種血型的人的百分比分別為0.4，0.3，0.25，0.05，若從此地區(qū)居民中隨機(jī)地選出5人，求有兩個(gè)為O型，其他三個(gè)分別是A,B,AB型的概率？§2.4二項(xiàng)分布與泊松分布一、

二項(xiàng)分布的性質(zhì)及計(jì)算例、某出租車公司有400輛出租車，設(shè)每天每輛車正常工作的概率為0.98，試求一天內(nèi)至少有2輛出租車出現(xiàn)故障的概率？解、用X表示該公司一天出現(xiàn)故障的車輛數(shù)，則kP(X=k)00.01210.05820.13730.20540.21850.1756