第二章23簡(jiǎn)單線性回歸模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

第二章23簡(jiǎn)單線性回歸模型統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)第一頁(yè)，共53頁(yè)。

1、擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)：對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。

度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2

問(wèn)題：采用普通最小二乘估計(jì)方法，已經(jīng)保證了模型最好地?cái)M合了樣本觀測(cè)值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？第二頁(yè)，共53頁(yè)。2、總離差平方和的分解已知由一組樣本觀測(cè)值（Xi,Yi），i=1,2…,n得到如下樣本回歸直線

第三頁(yè)，共53頁(yè)。如果Yi=?i即實(shí)際觀測(cè)值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？梢哉J(rèn)為，“離差”全部來(lái)自回歸線，而與“殘差”無(wú)關(guān)。第四頁(yè)，共53頁(yè)。

對(duì)于所有樣本點(diǎn)，則需考慮這些點(diǎn)與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（TotalSumofSquares）回歸平方和（ExplainedSumofSquares）殘差平方和（ResidualSumofSquares）第五頁(yè)，共53頁(yè)。TSS=ESS+RSS

Y的觀測(cè)值圍繞其均值的總離差(totalvariation)可分解為兩部分：一部分來(lái)自回歸線(ESS)，另一部分則來(lái)自隨機(jī)勢(shì)力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變，如果實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此

擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS第六頁(yè)，共53頁(yè)。3、可決系數(shù)R2統(tǒng)計(jì)量

稱R2為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficientofdetermination)。

可決系數(shù)的取值范圍：[0，1]R2越接近1，說(shuō)明實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高，模型的解釋程度越高。第七頁(yè)，共53頁(yè)。在例2.2收入-消費(fèi)支出例中，

注：可決系數(shù)是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。它也是隨著抽樣的不同而不同。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第3章中進(jìn)行。

第八頁(yè)，共53頁(yè)。

第四節(jié)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)一、OLS估計(jì)的分布性質(zhì)二、回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)第九頁(yè)，共53頁(yè)。是關(guān)于樣本觀測(cè)值Yi的線性函數(shù)因?yàn)槭顷P(guān)于Y的線性函數(shù)，而Y是關(guān)于隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ui的線性函數(shù)，所以也是ui的線性函數(shù)，且服從正態(tài)分布

一、OLS估計(jì)的分布性質(zhì)第十頁(yè)，共53頁(yè)。第十一頁(yè)，共53頁(yè)。第十二頁(yè)，共53頁(yè)。（2）在小樣本情況下，若用無(wú)偏估計(jì)代替去估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，則進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)變化的統(tǒng)計(jì)量不再服從正態(tài)分布，而是服從自由度為n-2的t分布第十三頁(yè)，共53頁(yè)。

假設(shè)檢驗(yàn)可以通過(guò)一次抽樣的結(jié)果檢驗(yàn)總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒(méi)有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。要判斷樣本參數(shù)的估計(jì)值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以樣本參數(shù)的估計(jì)值為中心的“區(qū)間”，來(lái)考察它以多大的可能性（概率）包含著真實(shí)的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗(yàn)的置信區(qū)間估計(jì)。

二、回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)第十四頁(yè)，共53頁(yè)。如果存在這樣一個(gè)區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidenceinterval）；

1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidencecoefficient），

稱為顯著性水平（levelofsignificance）；置信區(qū)間的端點(diǎn)稱為置信限（confidencelimit）或臨界值（criticalvalues）。第十五頁(yè)，共53頁(yè)。t分布假如接受域拒絕域拒絕域0第十六頁(yè)，共53頁(yè)。舉例：一元線性模型中，i(i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗(yàn)中已經(jīng)知道：

意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示為：

即第十七頁(yè)，共53頁(yè)。于是得到:(1-)的置信度下,i的置信區(qū)間是

在上述收入-消費(fèi)支出例中，如果給定=0.05，查表得：

由于于是，1、2的置信區(qū)間分別為：（175.40，528.59)

（0.4803，0.5797)

第十八頁(yè)，共53頁(yè)。XiYi第十九頁(yè)，共53頁(yè)。

得，在顯著性水平下，臨界值為，則的估計(jì)區(qū)間是

回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)：3種情況（1）的方差已知，與的區(qū)間估計(jì)。由第二十頁(yè)，共53頁(yè)。(2)的方差未知，大樣本下與的區(qū)間估計(jì)在大樣本下，用代替，仍可利用正態(tài)分布作區(qū)間估計(jì)，此時(shí)的區(qū)間估計(jì)分別為：

第二十一頁(yè)，共53頁(yè)。(3)的方差未知，在小樣本下，與的區(qū)間估計(jì)。在小樣本下：

在顯著性水平下，臨界值為，則的區(qū)間估計(jì)分別為：

第二十二頁(yè)，共53頁(yè)。三、回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個(gè)顯著性的影響因素。在一元線性模型中，就是要判斷X是否對(duì)Y具有顯著的線性性影響。這就需要進(jìn)行變量的顯著性檢驗(yàn)。

變量的顯著性檢驗(yàn)所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)。

計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。

第二十三頁(yè)，共53頁(yè)。1、什么是假設(shè)檢驗(yàn)

所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是事先對(duì)總體參數(shù)或總體分布形式作出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。

先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，利用適當(dāng)?shù)姆夏撤N概率分布的統(tǒng)計(jì)量和給定的顯著性水平，構(gòu)造一個(gè)小概率事件，如果小概率事件發(fā)生，說(shuō)明原假設(shè)不正確，就拒絕原假設(shè)。第二十四頁(yè)，共53頁(yè)?？傮w假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程

（提出假設(shè)→抽取樣本→作出決策）抽取隨機(jī)樣本均值

X=20我認(rèn)為人口的平均年齡是50歲提出假設(shè)拒絕假設(shè)!別無(wú)選擇.作出決策第二十五頁(yè)，共53頁(yè)。2、變量的顯著性檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)為了解釋回歸模型中解釋變量對(duì)被解釋變量是否有顯著影響，在計(jì)量檢驗(yàn)中通常把回歸系數(shù)作為原假設(shè)，檢驗(yàn)原假設(shè)是否成立。第二十六頁(yè)，共53頁(yè)。

檢驗(yàn)步驟：

（1）對(duì)總體參數(shù)提出假設(shè)H0：1=0，H1：10（2）以原假設(shè)H0構(gòu)造t統(tǒng)計(jì)量，并由樣本計(jì)算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t/2(n-2)（4）比較，判斷若|t|>t/2(n-2)，則拒絕H0，接受H1；若|t|

t/2(n-2)，則拒絕H1，接受H0；第二十七頁(yè)，共53頁(yè)。t分布0接受原假設(shè)H0拒絕原假設(shè)H0假如接受域拒絕域拒絕域臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)小概率事件小概率事件第二十八頁(yè)，共53頁(yè)。第二十九頁(yè)，共53頁(yè)。舉例：對(duì)于回歸方程中的1，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)：在上述例2收入-消費(fèi)支出例中，首先計(jì)算2的估計(jì)值

第三十頁(yè)，共53頁(yè)。t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果分別為：

給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值

t0.05/2(8)=2.306|t1|>2.306，就拒絕原假設(shè)，說(shuō)明家庭可支配收入對(duì)消費(fèi)支出的影響確實(shí)是顯著的；

|t2|>2.306,表明在95%的置信度下，拒絕截距項(xiàng)為零（H0：2=0）的原假設(shè)

第三十一頁(yè)，共53頁(yè)。t統(tǒng)計(jì)量25.52>臨界值2.306，就拒絕原假設(shè),說(shuō)明家庭消費(fèi)支出對(duì)家庭可支配收入的回歸系數(shù)是顯著的

tt0.05/2=2.3063.16t0.01/2=3.25P(t>2.306)=0.0000第三十二頁(yè)，共53頁(yè)。第三十三頁(yè)，共53頁(yè)。案例分析:中國(guó)城市居民消費(fèi)支出第三十四頁(yè)，共53頁(yè)。第三十五頁(yè)，共53頁(yè)。第五節(jié)回歸模型預(yù)測(cè)

第三十六頁(yè)，共53頁(yè)。第五節(jié)回歸模型預(yù)測(cè)1、對(duì)Y0平均值的點(diǎn)預(yù)測(cè)總體回歸函數(shù)當(dāng)人均收入Xi=8000時(shí)，人均消費(fèi)第三十七頁(yè)，共53頁(yè)。2、對(duì)Y0平均值預(yù)測(cè)的置信區(qū)間

由于

于是回歸分析表解釋：其中于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

第三十八頁(yè)，共53頁(yè)。3、對(duì)Y0總體個(gè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間

由Y0=0+1X0+知:

于是

式中:從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

第三十九頁(yè)，共53頁(yè)。在收入-消費(fèi)支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為

則在X0=1000處，?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為：673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000)<673.84+2.30661.05或

（533.05,814.62）

第四十頁(yè)，共53頁(yè)。同樣地，對(duì)于Y在X=1000的個(gè)體值，其95%的置信區(qū)間為：673.84-2.306130.87<Yx=1000<673.84+2.306130.87或(372.03,975.65)總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）個(gè)體的置信帶（域）

第四十一頁(yè)，共53頁(yè)。對(duì)于Y的總體均值E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測(cè)精度越高，反之預(yù)測(cè)精度越低；（2）樣本容量一定時(shí)，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進(jìn)行預(yù)測(cè)（插值預(yù)測(cè)）精度越大；X越遠(yuǎn)離其均值，置信帶越寬，預(yù)測(cè)可信度下降。第四十二頁(yè)，共53頁(yè)。eviews應(yīng)用軟件中的廣義差分法

在Eview/TSP軟件包下，廣義差分采用了科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法估計(jì)。在解釋變量中引入AR(1)、AR(2)、…，即可得到參數(shù)和ρ1、ρ2、…的估計(jì)值。

其中AR(m)表示隨機(jī)誤差項(xiàng)的m階自回歸。在估計(jì)過(guò)程中自動(dòng)完成了ρ1、ρ2、…的迭代。第四十三頁(yè)，共53頁(yè)。案例2：用回歸模型預(yù)測(cè)木材剩余物

伊春林區(qū)位于黑龍江省東北部。全區(qū)有森林面積218.9732萬(wàn)公頃，木材蓄積量為2.324602億m3。森林覆蓋率為62.5%，是我國(guó)主要的木材工業(yè)基地之一。1999年伊春林區(qū)木材采伐量為532萬(wàn)m3。按此速度44年之后，1999年的蓄積量將被采伐一空。所以目前亟待調(diào)整木材采伐規(guī)劃與方式，保護(hù)森林生態(tài)環(huán)