中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題07 與三角形有關(guān)常用幾何模型（教師版）

1/196專題七與三角形有關(guān)常用幾何模型一、角平分線模型例題1如圖，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，連接CF，交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）線段BE與線段AD有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（2）判斷BEG的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE＝AD，見解析；（2）BEG是等腰直角三角形，見解析【解析】【分析】（1）延長BE、AC交于點(diǎn)H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BE＝AD；（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．【詳解】證：（1）BE＝AD，理由如下：如圖，延長BE、AC交于點(diǎn)H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，理解等腰直角三角形的基本性質(zhì)，并且掌握全等三角形中常見輔助線的作法是解題關(guān)鍵．練習(xí)題1．已知：是的角平分線，且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，點(diǎn)E在上，連接并延長交于點(diǎn)，交CA的延長線于點(diǎn)，且，連接．①求證：；②若，且，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【解析】【分析】（1）用證明，即得AB＝AC；（2）①證明可得，再用證明△FAG≌△FAE，即得；②過作于，由，可得，，而，故，即得，根據(jù)，可求．【詳解】解：（1）證明：是的角平分線，，，，在和中，，，；（2）①，，，，，在和中，，，，在和中，，，；②過作于，如圖：由①知：，，，，由①知：，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的相關(guān)知識.2．在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）已知．①如圖1，若，，求CE的長；②如圖2，若，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線得出的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，（2）在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，構(gòu)造（SAS），再證明，即可得，由此求出答案；（3）延長BA到P，使AP=FC，構(gòu)造（SAS），得PC=BC，，再由三角形內(nèi)角和可求，，進(jìn)而可得．【詳解】解：（1）、分別是與的角平分線，，，，（2）如解（2）圖，在BC上取一點(diǎn)G使BG=BD，由（1）得，，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，∴，∴，∴在與中，，，，，；∵，，∴（3）如解（3）圖，延長BA到P，使AP=FC，，∴，在與中，，∴（SAS）∴，，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．【答案】見解析【解析】【分析】分別延長BE、CA交于點(diǎn)F，首先結(jié)合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點(diǎn)F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，理解角平分線的基本定義，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，并且準(zhǔn)確判定全等三角形是解題關(guān)鍵．4．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，構(gòu)造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)E的位置分四種情況，當(dāng)點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設(shè)，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設(shè)，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內(nèi)角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點(diǎn)M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點(diǎn)E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當(dāng)點(diǎn)E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當(dāng)點(diǎn)E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設(shè)，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)、全等三角形判定和性質(zhì)，角平分線，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)換線段和角的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求線段BE的長．【答案】（1）見解析；（2）3【解析】【分析】（1）證明△ACD≌△AED（AAS），即可得出結(jié)論；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，證△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再證Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠DEA=90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE；（2）在AB上截取AM=AF，連接MD，在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD=MD，∠ADF=∠ADM，∵BD=DF，∴BD=MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），∴ME=BE，∵AF=AM，且AF=1.4，∴AM=1.4，∵AB=7.4，∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6，∴BE＝BM＝3，即BE的長為3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義、直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識；證明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解題的關(guān)鍵．6．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）AE=13【解析】【分析】（1）由題意易得∠AOD=∠BOD，然后易證△AOD≌△BOD，進(jìn)而問題可求證；（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，由題意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，則有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，則根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，進(jìn)而問題可求證；（3）在AE上分別截取AF=AB，EG=ED，連接CF、CG，同理（2）可證△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，則有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，進(jìn)而可得△CFG是等邊三角形，最后問題可求解．【詳解】證明：（1）∵射線OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD，∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，連接DE，如圖所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE，∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD．（3）在AE上分別截取AF=AB=9，EG=ED=1，連接CF、CG，如圖所示：同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∵C為BD邊中點(diǎn)，∴BC=CD=CF=CG=3，∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)與判定及等邊三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線證明三角形全等．7．已知：如圖，，，分別平分和，點(diǎn)E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】AB=AC+BD，證明見詳解．【解析】【分析】延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，先證明AB=BF，進(jìn)而證明△ACE≌△FDE，得到AC=DF，問題得證．【詳解】解：延長AE，交BD的延長線于點(diǎn)F，∵，∴∠F=∠CAF，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB=BF，∵平分，∴AE=EF，∵∠F=∠CAF，∠AEC=∠FED，∴△ACE≌△FDE，∴AC=DF，∴AB=BF=BD+DF=BD+AC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造等腰三角形和全等三角形是解題關(guān)鍵．8．如圖，在中，，，是的平分線，延長至點(diǎn)，，試求的度數(shù)．【答案】40°【解析】【分析】在上截取，連接，通過證明，可得，再通過證明，即可求得【詳解】解：如圖，在上截取，連接，是的平分線，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)A作交y軸于點(diǎn)E．（1）如圖，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），試求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如圖，若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，且，其它條件不變，連接DO，求證：OD平分（3）若點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動，當(dāng)時，試探索線段AD、OC、DC的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）（0，3）；（2）詳見解析；（3）AD=OC+CD【解析】【分析】（1）先根據(jù)AAS判定△AOE≌△BOC，得出OE=OC，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），得到OC=2=OE，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）先過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，根據(jù)△AOE≌△BOC，得到S△AOE=S△BOC，且AE=BC，再根據(jù)OM⊥AE，ON⊥BC，得出OM=ON，進(jìn)而得到OD平分∠ADC；（3）在DA上截取DP=DC，連接OP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠PAO=30°，進(jìn)而得到∠OCB=60°，根據(jù)SAS判定△OPD≌△OCD，得OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得PA=PO=OC，故AD=PA+PD=OC+CD．【詳解】（1）如圖①，∵AD⊥BC，BO⊥AO，∴∠AOE=∠BDE，又∵∠AEO=∠BED，∴∠OAE=∠OBC，∵A（-5，0），B（0，5），∴OA=OB=5，∴△AOE≌△BOC，∴OE=OC，又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），∴OC=3=OE，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）；（2）如圖②，過點(diǎn)O作OM⊥AD于點(diǎn)M，作ON⊥BC于點(diǎn)N，∵△AOE≌△BOC，∴S△AOE=S△BOC，且AE=BC，∵OM⊥AE，ON⊥BC，∴OM=ON，∴OD平分∠ADC；（3）如所示，在DA上截取DP=DC，連接OP，∵，∠ADC=90°∴∠PAO+∠OCD=90°，∴∠DAC==30°，∠DCA==60°∵∠PDO=∠CDO，OD=OD，∴△OPD≌△OCD，∴OC=OP，∠OPD=∠OCD=60°，∴∠POA=∠PAO=30°∴PA=PO=OC∴AD=PA+PD=OC+CD即：AD=OC+CD．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．10．四邊形中，，連接．（1）如圖1，若平分，求證：．（2）如圖2，若，，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，作于點(diǎn)，連接，若，，求的長度．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件HL證明，繼而可得，根據(jù)平角的定義以及等量代換即可證明；（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)三線合一，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)角平分線的判定定理可推出，進(jìn)而即可證明；（3）先證明四邊形是矩形，證明，進(jìn)而證明四邊形是正方形，設(shè)，根據(jù)（2）的結(jié)論以及三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得，進(jìn)而在中，勾股定理即可求得的長．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，平分，，在與中（HL）即（2）如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，，即（3）如圖，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，四邊形是矩形在與中，四邊形是正方形設(shè)在中在中，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．二、一線三等角模型例題2（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長”，請直接寫出此題答案：的長為________．（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)，在的邊、上，，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．（直接填寫結(jié)果，不需要寫解答過程）【答案】（1）0.8cm；（2）見解析（3）5【解析】【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；（3）先證明△ABE≌△CAF，得到與的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)故可求解．【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．∵DC＝CE?DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5?1.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴∴與的面積之和等于與的面積之和，即為△ABD的面積，∵，△ABD與△ACD的高相同則=5故與的面積之和為5故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．練習(xí)題1．如圖，點(diǎn)P，D分別是∠ABC邊BA，BC上的點(diǎn)，且，．連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)作等邊△DPE，連結(jié)BE，則△BDE的面積為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】要求的面積，想到過點(diǎn)作，垂足為，因為題目已知，想到把放在直角三角形中，所以過點(diǎn)作，垂足為，利用勾股定理求出的長，最后證明即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，在中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，的面積，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形、勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．2．課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間(如圖)，∠ACB＝90°，AC＝BC，從三角板的刻度可知AB＝20cm，小聰想知道砌墻磚塊的厚度(每塊磚的厚度相等)，下面為砌墻磚塊厚度的平方是（

）．A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】A【解析】【分析】設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，然后證明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)每塊磚的厚度為xcm，則AD=3xcm，BE=2xcm，由題意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=CB，∴△DAC≌△ECB（AAS），∴CD=BE=2xcm，∵，，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定條件．3．【問題解決】（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；【類比探究】（2）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)0°<∠BAC<180°時，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），請求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的數(shù)量關(guān)系不變，理由見解析；（3）（﹣4，3）【解析】【分析】（1）證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CE，BD＝AE，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABD＝∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（3）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，根據(jù)（1）的結(jié)論得到△ACM≌△BCN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，由（1）可知，△ACM≌△CBN，∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，∴OM＝OC+CM＝4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論△ABD≌△CAE是否成立？如成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖3，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】（1）見詳解；（2）成立，理由見詳解；（3）見詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)直線，直線得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷；（2）利用，則，得出，然后問題可求證；（3）由題意易得，由（1）（2）易證，則有，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可得證．【詳解】（1）證明：直線，直線，，，，，，在和中，，；解：（2）成立，理由如下：，，，在和中，，；（3）證明：∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴，∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∴，∴△DFE是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．BE、AD分別與過點(diǎn)C的直線垂直，且垂足分別為D，E．學(xué)習(xí)完第十二章后，張老師首先讓同學(xué)們完成問題1：如圖1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的長；然后，張老師又提出問題2：將圖1中的直線CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部，BE、AD與直線CE的垂直關(guān)系不變，如圖2，猜想AD、DE、BE三者的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】BE的長為0.8cm；DE=AD+BE．【解析】【分析】如圖1，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由線段的和差關(guān)系可求解；如圖2，由“AAS”可證△ACD≌△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【詳解】解：如圖1，∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，∵DE=1.7cm，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm，∴BE的長為0.8cm；如圖2，DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠CAD，∴∠BCE=∠CAD，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，∴DE=AD+BE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．6．感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，，由，，可得；又因為，可得，進(jìn)而得到______．我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯牵鐖D2，在中，，，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個動點(diǎn)，且．①求證：；②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．【答案】感知：（1）；應(yīng)用：（2）①見解析；②3.6；拓展：（3）2或【解析】【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠BAP=∠CPD，即可求證；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案為：；應(yīng)用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）當(dāng)PA=PD時，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；當(dāng)AP=AD時，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合題意，∴AP≠AD；當(dāng)DA=DP時，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴，即，解得：，∴，綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，BP的長為2或．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形相似的判定定理和性質(zhì)定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不寫證明過程）；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不寫證明過程）．【答案】(1)證明見詳解(2)DE+BE=AD．理由見詳解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由見詳解.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根據(jù)AAS可以證明△ADC≌△CEB，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）由題意根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等、圖形中線段間的和差關(guān)系以及等量代換證得DE+BE=AD；（3）由題意可知DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．證明的方法與（2）相同．(1)證明：如圖1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；∴DC=BE，AD=EC，∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如圖2，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．又∵AD⊥MN于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．(3)解：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由如下：如圖3，易證得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論．8．如圖，在中，．（1）如圖①所示，直線過點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且．求證：．（2）如圖②所示，直線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，則是否成立？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）仍然成立，理由見解析【解析】【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后證明，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，，然后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得到，最后通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可證明．【詳解】證明：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴；（2）仍然成立，理由如下：∵，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，同角的與相等，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同角的余角相等或三角形內(nèi)角和定理得到．9．問題背景：（1）如圖①，已知中，，，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E，易證：______+______．（2）拓展延伸：如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，請求出DE，BD，CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖③，在中，，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，請直接寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）BD；CE；證明見詳解；（2）DE=BD+CE；證明見詳解；（3）點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形解答即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，結(jié)合圖形解答即可；（3）根據(jù)，得到，，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，即：，故答案為：BD；CE；（2）解：數(shù)量關(guān)系：，證明：在中，，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∴；（3）解：如圖，作軸于E，軸于F，由（1）可知，，∴，，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．10．探究：（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．請直接寫出線段BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系是．拓展：（2）如圖（2），將探究中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問探究中的結(jié)論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．應(yīng)用：（3）如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，請直接寫出△DEF的形狀是．【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，見解析；應(yīng)用：（3）△DEF是等邊三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA，則AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進(jìn)而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論；（3）由等邊三角形的性質(zhì)，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，進(jìn)而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF為等邊三角形．【詳解】（1）解：如圖1，∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；故答案為：DE＝BD+CE（2）解：如圖2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）證明：如圖3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠FAE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，∴△DEF為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三、手拉手模型例題3如圖，在、中，，，設(shè)．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當(dāng)、分別與、重合時（圖1），易得．當(dāng)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時，請直接寫出線段、的數(shù)量關(guān)系________；(2)若，當(dāng)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時，試判斷線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若為任意角度，，，，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)或【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型可證，（SAS），結(jié)合已知平行四邊形性質(zhì)可證：，，根據(jù)，可得是等邊三角形即可解題；（2）同理第一問，根據(jù)，可得是等腰直角三角形即可解題；（3）根據(jù)第一問可證：，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，、、三點(diǎn)共線，繼而解三角形，求出BD長，由相似三角形性質(zhì)求出EF，由分兩種情況，分別畫圖求解即可．(1)解：如圖2，連接EC，∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵，，∴（SAS），∴，，∴，∵四邊形BDFC是平行四邊形，∴BC∥DF，BD=CF∴，，∴，又∵，∴，當(dāng)時，，∴是等邊三角形，∴EF=CF；(2)解：同理（1）可得：，，當(dāng)時，，∴是等腰直角三角形，；(3)解：分兩種情況進(jìn)行討論：如圖3-1：AF=AE+EF，同理1可得：，，又∵，，．∴，∴，∴，，∵，，，∴，，由（1）得：（SAS），∴，∴∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，、、三點(diǎn)共線，如圖4-1，過A點(diǎn)作AH⊥DE，∵AD=AE，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，如圖4-2，AF=EF-AE，同理可得：，，∴∵，∴，∴，綜上所述：AF長為或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何壓軸題，綜合性比較強(qiáng)，體會其中蘊(yùn)含的從特殊到一般的思想是解題的關(guān)鍵．解題關(guān)鍵是關(guān)鍵旋轉(zhuǎn)全等模型證明是等腰三角形，，從而可得，再結(jié)合解三角形求線段長．練習(xí)題1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長線交AB'于點(diǎn)D，則BD的長為_____．【答案】【解析】【分析】連接BB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB＝BB′，然后利用“邊邊邊”證明△ABC′和△B′BC′全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD．【詳解】解：如圖，連接BB′，∵△ABC繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′，∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，∴△ABB′是等邊三角形，∴AB＝BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′＝∠B′BC′，延長BC′交AB′于D，則BD⊥AB′，∵∠C＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝2=AB’，∴AD=∴BD＝，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．2．已知，如圖，等腰?ABC中，∠A＝30°，AB＝AC＝8，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝6，E為AC邊上一動點(diǎn)，以DE為邊向右側(cè)作等邊三角形DEF．（1）當(dāng)F在AC邊上時，AF長為______；（2）連結(jié)BF，則BF的取值范圍為______．【答案】

【解析】【分析】（1）當(dāng)F在AC邊上時，由直角三角形的性質(zhì)可得AF的長度．（2）連接BF之后，根據(jù)題意與手拉手模型作出圖形討論出BF在什么時候最短，什么時候最長即可得出BF的范圍，詳見解析．【詳解】解：（1）如圖所示：當(dāng)F在AC邊上時，,EFD是等邊三角形，在RtADF中，（2）如圖所示：在AB上方作等邊ADG，作射線GF．與均為等邊三角形AD=GD，ED=FD，即點(diǎn)F在射線GF上運(yùn)動．當(dāng)E與A重合時，F(xiàn)與G重合時，此時BF最長．連接BG，作GHAO于H，則又當(dāng)BFGF時，BF最短，如圖所示：又而綜上所述：BF的范圍是【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形，重點(diǎn)考查了手拉手模型這一知識點(diǎn)，是歷年來中考常考的一種幾何壓軸題型之一．3．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)求證：FA平分∠BFE．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明結(jié)論即可；（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解決問題．(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；(2)證明：如圖，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，∵，∴AM＝AN，∴點(diǎn)A在∠BFE平分線上，∴FA平分∠BFE．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，巧用等積法進(jìn)行證明．4．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【答案】（1）見解析；（2）132°；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)∠BAC＝∠DAE，推出∠BAD=∠CAE，從而結(jié)合“SAS”證明△BAD≌△CAE，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)外角定理推出∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)推出∠COD=∠ABC+∠BCA，最后在△ABC中利用內(nèi)角和定理求解即可；（3）連接AO，根據(jù)題意確定△ADO≌△AEG，得到∠OAD=∠GAE，AO=AG，再結(jié)合題干條件推出△AOC為等腰三角形，以及∠BOA=∠BOC，從而根據(jù)“三線合一”證明即可．【詳解】（1）證：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）證：如圖所示，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO=∠AEG，在△ADO和△AEG中，∴△ADO≌△AEG(SAS)，∴∠OAD=∠GAE，AO=AG，∴∠AOG=∠AGO，∴∠OAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG，即：∠OAG=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC=∠OAG，在△ABF和△COF中，∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，∠BOC=180°-∠ACE-∠CFO，由（2）知∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠CFO，∴∠BAC=∠BOC，∴∠BOC=∠OAG，∵AG∥BD，∴∠BOA=∠OAG，∴∠BOA=∠BOC，∵AO=AG，AG=CO，∴AO=CO，即：△AOC為等腰三角形，∵∠BOA=∠BOC，∴OF⊥AC，∴BD⊥AC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉“手拉手”模型的證明是解題關(guān)鍵．5．【理解概念】當(dāng)一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中有一個三角形是等腰直角三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“等腰直角線”，把這個四邊形叫做“等腰直角四邊形”，當(dāng)一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分成兩個三角形．若其中一個三角形是等腰直角三角形，另一個三角形是等腰三角形，則把這條對角線叫做這個四邊形的“真等腰直角線”，把這個四邊形叫做“真等腰直角四邊形”．(1)【鞏固新知】如圖①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，則四邊形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四邊形．(2)【深度理解】在圖①中，如果四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，對角線BD是這個四邊形的真等腰直角線，當(dāng)AD=4，AB=3時，則邊BC的長是______．(3)如圖②，四邊形ABCD與四邊形ABDE都是等腰直角四邊形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，對角線BD、AD分別是這兩個四邊形的等腰直角線．求證：AC=BE．(4)【拓展提高】在圖3中，已知：四邊形ABCD是等腰直角四邊形，對角線BD是這個四邊形的等腰直角線．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一條直角邊，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的長．【答案】(1)是(2)4或3(3)見解析(4)AC=或．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理證明∠BDC=90°，從而△BDC是等腰直角三角形，又因為△ABD是等腰三角形，即可得出結(jié)論；（2）由題意知△ABD是等腰三角形，當(dāng)AD=BD=4時，由勾股定理得：BC=4，當(dāng)BD=AB=3時，由勾股定理得：BC=3；（3）利用SAS證明△ADC≌△EDB，得AC=BE；（4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分別構(gòu)造等腰直角三角形，利用（3）中全等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而解決問題．(1)解：∵AD=3，AD=DB=DC，∴BD=CD=3，∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18，∴BD2+CD2=BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∵△ABD是等腰三角形，∴四邊形ABCD是真等腰直角四邊形，故答案為：是；(2)解：∵對角線BD是這個四邊形的真等腰直角線，∴△ABD是等腰三角形，當(dāng)AD=BD=4時，由勾股定理得：BC==4，當(dāng)BD=AB=3時，由勾股定理得：BC==3，綜上：BC=4或3，故答案為：4或3；(3)解：由題意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°，∴∠ADC=∠EDB，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE；(4)解：由題意知：△BDC是等腰直角三角形，當(dāng)∠BDC=90°時，如圖，作DE⊥AD，取DE=AD，連接AE，BE，由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE，∵AD=3，△ADE是等腰直角三角形，∴AE=3，∠EAD=45°，∵∠DAB=45°，∴∠EAB=90°，由勾股定理得BE=，∴AC=；當(dāng)∠DBC=90°時，如圖，同理可得AE=4，DE=AC=，綜上：AC=或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，讀懂題意，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意問題設(shè)置的層次性．6．如圖，已知點(diǎn)P在矩形ABCD外，∠APB＝90°，PA＝PB，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上運(yùn)動，且∠EPF＝45°，連接EF．(1)求證：△APE∽△BFP；(2)若△PEF是等腰直角三角形，求的值；(3)試探究線段AE、BF、EF之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)或2(3)線段AE，BF，EF之間滿足的等量關(guān)系是AE2+BF2=EF2．證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定得出△APE∽△BFP即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例關(guān)系，分兩種情況進(jìn)行討論解答即可；（3）利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°．∵∠APB=90°，PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=45°．∴∠PAE=∠PAB+∠BAD=45°+90°=135°，∠FBP=∠PBA+∠ABC=45°+90°=135°，∴∠PAE=∠PBF．∴∠APE+∠AEP=45°．∵∠EPF=45°，∠APB=90°，∴∠APE+∠BPF=45°．∴∠AEP=∠BPF．∴△APE∽△BFP．(2)∵△APE∽△BFP，∴．∵△PEF是等腰直角三角形，∠EPF=45°，∴可分為兩種情況討論：①當(dāng)∠PEF=90°，PE=EF時，則．∴．∴，．∵AP=BP，∴．②當(dāng)∠PFE=90°，PF=EF時，則．∴．∴，．∵AP=BP，∴．綜上所述，的值為或2．(3)線段AE，BF，EF之間滿足的等量關(guān)系是AE2+BF2=EF2．證明：延長AB到G，使得BG=AE，連接PG，F(xiàn)G，∵∠PBA=45°，∴∠PBG=135°．∵∠PAE=135°，∴∠PBG=∠PAE．∵PA=PB，BG=AE，∴△PBG≌△PAE（SAS）．∴BG=AE，PG=PE，∠BPG=∠APE．∵∠APE+∠BPF=∠EPF=45°，∴∠BPG+∠BPF=∠EPF．即∠GPF=∠EPF．又∵PF=PF，PG=PE，∴△PGF≌△PEF（SAS）．∴GF=EF．∵∠ABC=90°，∴∠GBF=90°．∴由勾股定理得，BG2+BF2=GF2．∴AE2+BF2=EF2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，連接BD，點(diǎn)M、N分別是BD，BC的中點(diǎn)，連接MN．（1）如圖1，當(dāng)頂點(diǎn)D在邊AC上時，請直接寫出線段BE與線段MN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時，連接BE，上述結(jié)論是否依然成立，若成立，請就圖2情況給出證明；若不成立，請說明理由．（3）當(dāng)AC＝8時，在△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，以D，E，M，N為頂點(diǎn)可以組成平行四邊形，請直接寫出AD的長．【答案】（1）MN=BE；MN⊥BE；（2）成立，理由見解析；（3）或【解析】【分析】（1）延長交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理證明，，再由平行線的性質(zhì)證明，則；（2）（1）中的結(jié)論依然成立，連接，由等腰直角三角形的性質(zhì)推出相應(yīng)的線段相等和角相等，證明，先證明，再證明；由三角形的中位線定理證明；（3）以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形分兩種情況，即在的內(nèi)部、、都在的外部，此時、、三點(diǎn)在同一條直線上，且，再根據(jù)，得到直角三角形，由勾股定理列方程求的長．【詳解】解：（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，，且，，．，，，；故答案為：，（2）成立，理由如下：如圖2，連接并延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，，，，，，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，，；，，，；．（3）如圖3，在內(nèi)部，在的外部，且四邊形是平行四邊形，由（2）得，，，，∵四邊形是平行四邊形，，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，，，，，，，由得，，解得；如圖4，、都在的外部，且四邊形是平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)在上，，，，，、分別是、的中點(diǎn)，，，，，由得，，解得，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線、勾股定理及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線、勾股定理及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．8．在中，，D為BC延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC，CD的垂直平分線的交點(diǎn)，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當(dāng)時，則_______°；（2）當(dāng)時，①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點(diǎn)F，滿足．P為直線CF上一動點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為_______，并證明．【答案】（1）80；（2）是等邊三角形；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得，，利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得，由此求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出即可證明是等邊三角形；（3）根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)?shù)闹底畲髸r的P點(diǎn)位置，再證明對稱點(diǎn)與AD兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明，從而可知，再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)E為線段AC，CD的垂直平分線的交點(diǎn)，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案為：．（2）①結(jié)論：是等邊三角形．證明：∵在中，，，∴，由（1）得：，，∴是等邊三角形．②結(jié)論：．證明：如解圖1，取D點(diǎn)關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)，連接、；∴，∵，等號僅P、E、三點(diǎn)在一條直線上成立，如解圖2，P、E、三點(diǎn)在一條直線上，由（1）得：，又∵，∴，又∵，，∴，∵點(diǎn)D、點(diǎn)是關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴（SAS）∴，∵，∴，在中，，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是利用對稱將轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到P的位置，并證明對稱點(diǎn)與AD兩點(diǎn)構(gòu)成三角形為等邊三角形．9．如圖，為等邊三角形，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，M為BD的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖1，若AB＝2+2，∠ABD＝45°，求的面積；(2)如圖2，過點(diǎn)M作與AC交于點(diǎn)E，與BC的延長線交于點(diǎn)N，求證：AD＝CN；(3)如圖3，在（2）的條件下，將沿AM翻折得，連接B'N，當(dāng)B'N取得最小值時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)【解析】【分析】（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB，根據(jù)∠ABD＝45°，∠BAC＝60°解三角形求出，可得再結(jié)合三角形中學(xué)性質(zhì)即可解得；（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，連接MG，又中位線性質(zhì)和，得，再通過四點(diǎn)共圓證明，進(jìn)而可得，從而可證明為等邊三角形，延長AM到P，使MP=AM，連接PN，構(gòu)造，得AD=BP，繼而證明（SAS），從而可得，由此即可得出結(jié)論；（3）取AC的中點(diǎn)Q，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)K，連接KM，通過構(gòu)造，得出即D為AC的中點(diǎn)時，取最小值，再結(jié)合題目條件解三角形即可求解．(1)解：如解圖1，過點(diǎn)D作DH⊥AB，∵∠ABD＝45°，∴，∵在△ABC為等邊三角形中，∠BAC＝60°，∴，∴，∴，

又∵AB＝2+2，∴，∴，∴，∴，∵M(jìn)為BD的中點(diǎn)，∴；(2)如解圖2，過點(diǎn)A作，垂足為G，連接MG，∵△ABC為等邊三角形，∴BG=GC，∵BM=DM，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴A、M、G、N四點(diǎn)共圓，∴，∴，又∵M(jìn)P=AM，，∴，又∵，∴為等邊三角形，，∵，∴，∴，如解圖2，延長AM到P，使MP=AM，連接PN，∵BM=DM，，∴（SAS）∴AD=BP，在和中，，∴（SAS）∴，∴；(3)取AC的中點(diǎn)Q，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)K，連接KM，∵將△ABM沿AM翻折得△AB'M，，∴，，又∵，∴，∴，即：，又∵，，∴，∴，∴，又∵BM=MD，BK=KQ，∴，又∵AB=BC，∴，∴，∴，當(dāng)M點(diǎn)與K點(diǎn)重合時，取最小值，此時取最小值，∴D點(diǎn)與Q點(diǎn)重合，即D為AC的中點(diǎn)時，取最小值，如解圖3-2；設(shè)AD=a，∵是等邊三角形，D點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形綜合，涉及了等邊三角形、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)和判定以及解三角形等知識點(diǎn)，難度大，綜合性強(qiáng)，需要平時積累和訓(xùn)練．解題關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件添加輔助線構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切无D(zhuǎn)化線段和角的關(guān)系．10．【學(xué)習(xí)概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線．【理解運(yùn)用】(1)如圖1，對余四邊形中，AB=5，BC=6，CD=4，連接AC，若AC=AB，則cos∠ABC=___________，sin∠CAD=__________．(2)如圖2，凸四邊形中，AD=BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2=CA2時，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形，證明你的結(jié)論．【拓展提升】(3)在平面直角坐標(biāo)中，A（－1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點(diǎn)E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC=90°+∠ABC．設(shè)=u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請在下方橫線上直接寫出u與t的函數(shù)表達(dá)，并注明t的取值范圍____________________________．【答案】(1)，；(2)四邊形ABCD是對余四邊形；(3)【解析】【分析】（1）先構(gòu)造直角三角形，然后利用對余四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出cos∠ABC和sin∠CAD的值．（2）通過構(gòu)造手拉手模型，即構(gòu)造等腰直角三角形，通過證明三角形全等，利用勾股定理來證明四邊形ABCD為對余四邊形．（3）過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，先證明△ABE∽△DBA，得出u與AD的關(guān)系，設(shè)D（x，t），再利用（2）中結(jié)論，求出AD與t的關(guān)系即可解決問題．(1)解：過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥AD于F∵AB=AC，AE⊥BC∴BE=CE=BC=3，∴cos∠ABC=∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠B+∠D=90°又∵∠B+∠BAE=90°∴∠D=∠BAE又∵∠CFD=∠AEB=90°∴△ABE∽△DCF∴∴∴CF=∴sin∠CAD＝=故答案為：，；(2)如圖②中，結(jié)論：四邊形ABCD是對余四邊形．理由：過點(diǎn)D作DM⊥DC，使得DM＝DC，連接CM．∵四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∴∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形．(3)如圖③中，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴，∴，∴u＝，設(shè)D（x，t），∵四邊形ABCD是對余四邊形，可得BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝＝2，∴u＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4）【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了對余四邊形的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．四、旋轉(zhuǎn)模型例題4【課題研究】旋轉(zhuǎn)圖形中對應(yīng)線段所在直線的夾角（小于等于90°的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．【問題初探】線段AB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)D對應(yīng)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為α，且0°＜α＜180°．（1）如圖①，當(dāng)α＝60°時，線段AB、CD所在直線夾角（銳角）為；（2）如圖②，當(dāng)90°＜α＜180°時，直線AB與直線CD所夾銳角與旋轉(zhuǎn)角α存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；【形成結(jié)論】旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角．【運(yùn)用拓廣】運(yùn)用所形成的結(jié)論解決問題：（3）如圖③，四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AB＝BC，CD＝3，BD＝，求AD的長．【答案】（1）60°；（2）互補(bǔ)，理由見解析；【形成結(jié)論】相等或互補(bǔ)；（3）【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可證，可得，由三角形內(nèi)角和定理可求解；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可證，可得，由平角的定義和四邊形內(nèi)角和定理可求解；【形成結(jié)論】由（1）（2）可知對應(yīng)線段所在直線的所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角：相等或互補(bǔ)；【運(yùn)用拓廣】（3）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由三角形內(nèi)角和定理可求，由勾股定理可求解．【詳解】解：（1）如圖1，延長交于，交于，，，線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，，，故答案為：；（2）直線與直線所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ)，理由如下：如圖2，延長，交于點(diǎn)，線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得線段，，，，，，，，，，直線與直線所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ)．形成結(jié)論由（1）（2）（3）可知：旋轉(zhuǎn)圖形中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應(yīng)線段所在直線的所夾銳角角與旋轉(zhuǎn)角：相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．運(yùn)用拓廣（3）如圖3，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，延長，交于點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角，，，，，，，又，，是等邊三角形，，在中，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．練習(xí)題1．如圖，等邊中，分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：是等邊三角形；（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（），設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)．①如圖，當(dāng)時，判斷的度數(shù)是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；②若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①的度數(shù)是定值，為60°；②或8．【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得，再由，可得到，，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)題意，可證得，從而得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，即可求解；（3）分兩種情況討論：當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC上方時，當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC下方時，即可求解．【詳解】證明：（1）是等邊三角形，∴，∵，∴，，，∴是等邊三角形；（2）解：①的度數(shù)是定值，理由如下：是等邊三角形，∴BC=AC，CD=CE，，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，即的度數(shù)是定值，為60°；②當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC上方時，過點(diǎn)作，∵是等邊三角形，，∴，在中，由勾股定理得：，在中，，；當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在BC下方時.，綜上所述，或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）探究證明：把繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．【答案】（1）、；（2）等腰直角三角形，證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進(jìn)而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出結(jié)論；（3）先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P，N是BC，CD的中點(diǎn)，∴PN∥BD，PN=BD，∵點(diǎn)P，M是CD，DE的中點(diǎn)，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點(diǎn)D在BA的延長線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×49=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).3．在ABC和CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，如圖1將CDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°）．（1）連接AD，BE．求證：AD＝BE，AD⊥BE；（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，點(diǎn)A，D，E在一條直線上，連接BD，BE，若AD＝2，CD＝1，則BD=；（3）當(dāng)α＝90°時，如圖3，連接AD，BE，延長AD交BE于點(diǎn)F，連接CF，若DF＝1．EF＝．則CF＝