高等代數課后輔導材料

第一篇高等代數部分

第一章多項式

1.數域：

(1)定義：0,1e尸,對任意凡6€尸,有4±瓦。6,且(6=0)。尸,「稱為數域.

b

(2)任給數域尸，尸二Q,Q與R之間又無窮多個數域.如｛a+6j萬｝(p為素數,a,b

為有理數)在

Q與R之間.R與C之間不存在任何數域(有理數域是最小的數域).

2.一元多項式運算：

(1)概念：次數，系數，首項系數，零次多項式,0多項式.

(2)加減運算律:結合律，交換律.

(3)乘法定義：設f(x)=4〃X〃+…+4o，g(x)…則

tn+n

/(x)g(x)=Z(Z勾勺)p,其中Z%bj=44+a?_a+…+%b、7+anbx.

s=0i+j=si+j—s

運算律:fg=gf；(龍)h=f(gh)；f(g+h)=fg+fh；^fg=fh(/*0)，則g=h.

(4)/(f+g)<max@Qg),d(/g)=df+dg.

3.多項式整除性：

(1)帶余除法：/,g€P[x],gw0,則存在唯?的％reP[x],使得/=qg+r,其中

r=0或切<Hg.稱q為商式，尸為余式.

(2)令/,geP[x]，若存在heP[x]，使得f=gh，則稱g整除九記為g",g為了的

因式.

(3)gHO,gl/Qg除/余式r=0.

(4)/If-/IO;取常數aeP,則“"；0"Q/=0.

(5)f與cf(c彳0)可有相同因式，/與cf等價，可互相整除.

(6)整除關系不因為數域擴大而改變.

⑺整除性質：1).2).3).f\g,g\fM

/與g等價.

(8)帶余除法計算.(9)綜合除法計算.

4.最大公因式：

(1)/,g的最大公因式定義：⑴d",dig,(ii)若8",81g廁有1Id則d,就稱d

為/,g的最大公因式.記(/,g)為首1的最大公因式.

(2)算法:輾轉相除法.

(3)性質：1)f=qg+r.WJ(/,g)=(g,r).

2)”為/,g的最大公因式，則存在”,v,使得d=^'+vg.若d="+ng,且

d",41g,則目為/,g的最大公因式.

3)最大公因式不因系數域的擴大而改變.

5.互素多項式：

(1)(7,g)=l=>./',g互素?(2)/,g互素當且僅當存在〃，丫使得

uf+vg=\.

⑶(/,g)=l,且/1g〃，則(4)(7,g)=l,(/,?=l,則

(/，g%)=L

6.不可約多項式：

(1)定義:p(x)不能表示為兩個次數比它低的多項式的乘積，稱p(x)為不可約多項式.

注：1.次數最低的不可約多項式為一次多項式，一次多項式一定為不可約多項式.0

多項式以及數不定義不可約與可約.

2.可約性與數域有關，有理數域有任意次數的不可約多項式，實數域上的不可約

多項式是一次的和某些二次的(判別式小于0),復數域上的不可約多項式是一次

多項式.

(2)性質：

1)p(x)是數域尸上的不可約多項式,cH0,則cp也不可約.

2)對P上的任意多項式/(x),或者或者(p(x),.f(x))=l.

3)p"…則存在i,使得plf.

7.唯一分解定理：

(1)/e尸[x],0f>O,則/可唯一分解為不可約多項式的乘積.意思是若/有兩種分解

/=Pr?P,=4…0，其中P,,0為不可約多項式，則s=/且，適當排列分解因式次序,

2

有一=陰.

(2)標準分解式：/eP[x],PieP[x]為首.1的不可約多項式，兩兩不同，則

f=ap”-p，。為/的首項系數為自然數.

(3)若已知f,g的標準分解式，可求出(/,g),

8.重因式：

⑴定義:p"",但是pk+'不整除了,p為不可約多項式，稱2是/的左重因式，左=1,

為單因式2,為重因式.

(2)有關結論：

1)若不可約多項式p是/的左重因式，則p是/'的人-1重因式.

2)p是/的比重因式，則p是…的因式，不是/④的因式.

3)p是/的重因式.則“(/,/').4)/沒有重因式當且僅當

(")=1?

5)沒有重因式，與/有相同的不可約因式.

(/，/)

9.多項式的根:

(1)/eP[x],aeP,若/(a)=0,稱。是/(x)的根.若x-a是/的左重因式,a稱為

/(%)的k重根，左=1為單根，左＞2為重根.

⑵余數定理：/(x)=(x-a)g(x)+/(a).

⑶因式定理：(x-a)"(x)=/(a)=0.

(4)/e=〃，/在尸上根的個數

(5)f,geP[x],df<n,dg<n，若對于。an+i，有/(/)=g(aj,i=1,2,…〃+1,則

/(x)=g(x).

10.復數域上多項式的因式分解及根的性質：

(1)代數基本定理：若歹21,/在C上至少有一根.

(2)"在C上恰有〃個根.

3

(3)復多項式分解定理：復數域上〃(〃21)次多項式/可唯一分解為一次因式的乘積.

注：若"22,則可約.

(4)標準分解式：復數域上，寸=〃21,則/(x)=%(x—a)4…(工一見尸，4為/的

首項系數，%％是/的不同根，「是at的重數，且q+…+r,=〃.

n

⑸韋達定理:設a”是/(x)=anx+a“_]X"T+…+qx+%(a“H0)的”個根,

那么

an,

H-----an-------,

a?

ao

++…+an_xan=

%

a?,…a,.1+…+a,%…a'=(一)1",

a“

/a,…a,=(一)””

I%

11,實數域上多項式因式分解及根的性質：

(1)若。是實系數多項式/(x)的一個復根，則次也是/(x)的根，顯然a,次有同一重

數，若f(x)為奇數次,則必有實根.

(2)因式分解定理:/eR[x],&'=〃21,則/可唯一分解為一次或二次不可約多項式

的乘積(只有一次式，某些二次式是不可約多項式).

z,s2

(3)標準分解式:f=an{x-a1)???(%-as)'(x+川+/盧…，+p/+.

其中A=p；-旬＜0,5號為自然數.a,,巧,%.為實數，且立2號=〃.

/=!j=\

12.有理數域上多項式因式分解及根的性質：

(1)本原多項式定義:非0整系數多項式/系數互素，稱/為本原多項式.

(2)/是有理系數多項式，則存在有理數廠及本原多項式〃(x),使得/(x)=M(x),且若

f=泌=58，其中//名是本原多項式,則尸=±5,。=±8.

(3)Gauss引理：兩個本原多項式的乘積是本原多項式.

(4)若非零整系數多項式分解為兩個次數較低的有理系數多項式的乘積,則一定可以分

解為兩個次

4

數較低的整系數多項式的乘積.

(5)Ensenstain判別法：/(x)=a”x"+qTx"一'

1H-------\-axx+a0為整系數多項式,若存在

素數p使得⑴p\an,(ii)…Mi，/,(iii)p?I4,則/在有理數域上不

可約.

(6)f=gh，若/是整系數,g為本原多項式，則h是整系數多項式.

nn

(7)/(x)=anx+an_yx~'+---+aAx+a0,-是它的一個有理根，(尸,s)=1,則

s

r\an,sIa“,若a?=1,則f的有理根都是整根且整除%.

(8)在有理數域上有任意次數的不可約多項式，如x"-3(〃>1).

(9)有理系數多項式/(%)在有理數域上不可約當且僅當f(ax+b)ga,bwQ,aW0),

在有理數域上不可約.

5

第二章行列式

排列:

1.定義：排列，逆序，逆序數，對換，奇偶排列,正序.

2.n級排列共有〃!個，奇偶排列各-個.

2

3.…，)=，其中叫為h前面比人大的數的個數.

4.對換改變排列的奇偶性.

5.一個〃級排列的逆序數與正序數之和為Q=個.

6.jd…/“與12…〃經過一系列對換可以互變，對換個數與排列jj…，有相同的奇

偶性.

7.排列生成有兩種方法:字典排序法，插入法.

級行列式定義：

1.定義.

%”

a

2n￡(-1)<7，/-'"跖％…%”5

其中…，取遍12…〃的所有排列?

注:(1)它是"!個乘積項的代數和.

(2)每個乘積項是取自不同行不同列的n個數的乘積項.

(3)將乘積項的〃個因子的行指標按自然順序排好,列指標構成的排列為偶排列

時帶正號,為奇排列時帶負號.

2.定義.

D=工(一1戶也F其中科…乙取遍12…〃的所有排列.

3.幾種用定義可直接計算的特殊行列式.

(2)上三角行列式：："=4。2…凡"，(%=°?>/))

6

00

%a220

(3)下三角行列式:=6必22…=0（i</））

a,.…a,.0迪心

(4)反上三角形行列式：：'7n.=(-1)2即樂t?

%°…0

注：反下三角形行列式有類似結論.

三.行列式的性質：

1.性質1：。=?！?(。=[4〃=(%)”,|聞=|圖，為。的轉置行列式.

性質2：c七,…/“|=。也,…,七,…,M|.

性質3：…必+月,…,闔=四,…,如…,a,|+|a，…，4,…,a,J.

性質4.5：|a，…,名,…,%，…,a,J=O.其中％=%或者%=c%.

性質6：防…必，…,+劭…,％|=同,…,七,…,q,…,a,J.

性質7：防a,J=-也,…,q,…,％…,a,J.

注:(1)/表示行列式第i列.(2)性質267為初等變換性質.

2.范德蒙行列式：

qa2%a”

3.對稱，反對稱行列式：

D=,1“,若為=町，稱為對稱行列式，若為=-%,稱為反對稱行列式.

性質：(1)反對稱行列式主對角線元素為0,即4=0,i=1,2,3,.

(2)奇數階反對稱行列式為0.

證明:令。=|耳，,其中%=%.令D'為D的轉置行列式，則D'=D，又a..=

故D的每列乘一1可得到,即D'=(-1)"￡>=-D，從而D=Q.

四.矩陣及其初等變換:

7

1.矩陣.

4.、

a

A=in

asn)

s=〃時為方陣,可記為Z=（%）“=（%）”"=（囹）"“，矩陣A的行列式記為Ml或

det/.

2.數域P卜.矩陣力的初等變換.

設

A=(<7..)sxn,ayeP,i,j=1,2,3,

（1）以P中某非0數乘矩陣的某行（列）.

⑵把矩陣的某行（列）的左￡尸）倍加到另一行（列）.

（3）互換兩行（列）的位置.

注：對于H而言，變換⑴使得|/|變?yōu)槿,變換⑵使得閡變?yōu)?M，變換⑶保持網

不變化.以上⑴,（2）,⑶稱為A的初等行（列）變換.

3.對/實施初等變換.可以將/變?yōu)殡A梯形矩陣.

五.行列式按行（列）展開:

1.按列展開.

⑴。=也中元素他的代數余子式為4稱為陽的余子式,

Mg為在。中去掉第i行悌j列所得到的〃-1階行列式.

D,k=l

⑵定理：對任意左,/=1,2,3,…,〃，有工秋/“=<

/=!0,k/l

注：（1）本定理在理論上經常使用.

（2）在計算行列式時，運用行列式性質將某行（列）化出很多0后,再應用此定理，即

為降階法.

0a

h0a

例1：已知￡）=

，求41+A2i+4]+4].

bb0a

bbb0

Ia1000

10aI—a00

解：原式=

1b0a1b-a0

1bb01b-a

2.Laplace定理.

8

（1）幾個定義：。=同“次階子式的余子式的代數余子式.

（2）Laplace定理：任取〃階行列式。=鬲|“的某人行（列）（1<左<〃），由這左行（列）

元素所成的一切k階子式（共有C：個）與它們的代數余子式的乘積等于D.

注：k=l時,即為五.1中的定理（2）,且共有“項.

（3）由上面定理可得分塊三角行列式.

D.。2

0=0=2。-，2為￡>的左階子式?

例2：計算2〃階行列式.

ayb、

D=a"b"

"e?d?

G4

解：由Laplace定理，按第1行與第2〃行展開，得

q仇

D.=G4=（卬4—4G）￡>?_,，對于2（〃-1）階,類似去做，得

〃

D?=（。圈一羽）（。2d2-62。2）。,-2，依次類推，得°"=11mH一40）?

i=\

例2:計算

a0b0

0c0(7

D=

x0y0

0w0v

解對換2,3行，再時換2,3列，得

abQ0

xy00abcd

D==(ay—bx)(cv—du).

00cdxyuv

00wv

六.行列式的計算：

下面是常見計算行列式得方法:

1,化三角形行列式.通過三種初等變換降行列式化為三角形行列式.例如書中73頁例.

2.降階.使用按行（列）展開定理行列式性質.

9

(1)化出盡量多的0.

ahhh

bab

例1.D—

aaba

bbba

解:

0

bbb0

h

=(b-a)a=(b-a)0

bbbba-b

=(b-a)(a—b)b=(b-a)(a—bXa?！猘b)=a(a-b)3.

a

⑵逐行(列)處理.

x4

Tx%

例3,求。=-1an_2

???xa2

-1x+a}

解：第2行的x倍加到第1行，第3行的x2倍加到第1行,…，第n行的xw+1倍加到第1行,

于是

0+Q—i'+…+Q]X〃+xn

一1X%

D=,

xa2

—1x+q

-1x

=(_])"+1(q+a_x-\---------Fqx"?+x")

n{x

-1

n

=an+an_xx4----Fqx"-4-x.

(3)把一行(列)變成全相等的元.

xa???a

,ax???a

例4,求〃階行列式。=

aa???x

io

1X

解：把后〃—1列加到第1列，提取公因子，得。=（X+（〃—1）"）

1ax

由第二行開始，逐行減去第一行,得

1a?a

0x-a?0

D—(工+(〃-1)夕)=(x+(〃―1)Q)(X-Q)"-

00?x-a

3遞推法：

再a…a

bx2…a

例5.計算Q,=,a手b.

bh???X"

解：把第一行寫成兩個和（國一a,0,…,0）+（。,則.

x}-a0…0aa???a

???

bx2?-?abx2a

D=+

n????????????????????????

bb…x?bb…xn

第一項為（占—a）D“_i，第二項從最后一列開始，后洌減去前一列，至第2列減第1歹ij.得

a00…0

bx2-ba-b???0

故。-+。口(否

b0x「b…0=aY[(xi-b)DH=(X1-a)-b)

??.??...???i=2i=2

b00???x,「b

(1)

類似把第一列寫成（不一。,0,…,0）'+（a,a,…，可得

D?=（苞-b）D“_1+6n（x,-。），⑵

i=2

(x「b)-6n(X-a)

由(1),(2),分別乘(再-b)和(x,-a)，再相減可得D?=--------------聲)--------

a-b

4,升階法.

11

X]a2

?ix????a

例6.計算。=n

????????????

qa2???x.

解：山于每列除天外都是相同的數,添加一行一列.得

1a}a2???an1a]a2???an

0Xja2???an.1X]-q0???0

D=04x2???an=-10x2-a2???0

0qa2???xn-00…x”~an

a

1[十,,n

H-----r%a2…an

%一勾xn-an

0X1一四0???0

=(1+EJ

=00X[—Q?,??0

z=iXj-aij=]

00...............xn-an

5,拆行(列).見書中例.

6,利用多項式性質.

主要使用以下結論：

(1)a(/)<〃，有多于〃個不同數4,使/(4)=0,則/(x)=0.

(2)若q,…是/的兩兩互不相同的根，則/(x)=(x—q>7x-4)g(x),其中

a(g(x))=a(/)—h

例7.關于范德蒙行列式計算有

=(乙一西)…(將X"看為未知數).Dn=/(%?),當X"=4…,％

時,/(X,)=o,j=1,2,…，〃一1,故，,=(x"一%)…區(qū)一x,T)g(x.),又/(x“)的次數為

〃一1.故令g(x“)=a,故?！?/(x“)=a(x,-王)…(怎一招_]),比較首項系數得

D“=(覆-%)…(x“-

1111

qxa3%

例8.計算。=,a”外,生兩兩不等.

qa2xa4

a2X

12

解：當時,。=0,又/（。）=3.故。=。（工一“|）（'一生）（8一43），而；由D自

身可得4=1.

7.利用行列式乘法.

2=同"，2=%|,，則DtD2=C=,其中%=￡生鳳.

k=\

sin2asin(a+4)sin(a+力

例9.計算sin(/?+a)sin24sin(4+7)

sin(7+a)sin(7+0)sin27

解：把元素用三角公式展開，可得

sinacosa

行列式=sin[3cosB

sin/cos/

8.利用范德蒙行列式.

1111

…、，…abed

例W計算0762c2]

/A4c4d"

解：構造范德蒙行列式:

11111

1111

abcdx

abcd

/(x)=a2b2c2d~x1=。/4一63+…，其中2=

a2b2c1d1

33

a/c3d，x

/b3c3d3

a4b&c4d4x4

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-Q)

=D4(X-Q)(X-b)(x-c)(x-t/)

故/(x)的/系數為-(a+b+c+d)Dj,故

D-(a+b+c+d)D4-(a+b+c+d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a).

9.特殊行列式的計算.三對角，次三對角.

行列式計算是非常靈活的,每道題爭取多種解法，培養(yǎng)自己的解題能力.

例H.計算

1+王v1+XM?-?1+XJ,,

1+xy,1+xy…i+xy

U=2222n.

1+x,必1+居必???1+XJ"

13

解--:〃>2時，將x,視為未知量，則。=/（x,）,且有以'W1.若玉=/，有兩行相同，則

0=0.

若的H,由./■(%,)=,/-(x2)=0,/(x?)有兩個不同根，又。/,<1,故。=/(5)=0.

〃=1時,。=1+xiyt.

1+再弘1+"21

〃=2時,。==。2一七）（內一乂）.

1+%2%14-x2y2

解二：原式

1占0???0111???1

x0…0'0,Z7>2

12乂%%…K

=1x300000???0=<1+不乂，77=1

*2-乂），H=2

1X”0?■-00000

11+須必???1+七”石1+卬2--1+MX,

11+,■-1+3“X1+xy?-1+%2%

222

解三：D=+M

1l+xy-■'1+3”X

n2?l+x“力--1+七以

第一項將第一列的-1倍加到其余各列，提取公因子，第二項將第一列的-力倍加到第j

列，得:

n>2.0

D=y2---77=1,1+再必

n=2,。2一拓)(％—%)

解四：由第二列開始，每一列減去第一列，得:

l+Q玉(%-乂)???-乂)1+x}y]x}???x]

1+&乂》2（丁2一乂）…》2（乂,一乂）1+x2y[x2???x2

D==(%一凹)…(”-乂)

????????????????????????

1+XJ|乙（%-弘）…X“（無一凹）1+X”MX,…Xn

其余同上.

四種解法分別為:利用多項式性質，行列式乘法，拆項法和利用行列式性質.

14

第三章線性方程組

線性方程組的消元解法：

1.線性方程組的形式.

a

i^+a]2x2+---+ainxn=bt

“2內+。22%2+'，，+。2"招=”2

<

asXxx+as2x2+---+asnxn=bs

(*)

可以寫為：a,lX,+ai2x2+???+ajnxn=bt,i=1,2,---,s

(*1)

進一步可以寫為：為%為=。,i=1,2,…,s

J=I

(*2)

令/=(%)sx”，b=(可也，…也了，X=(須,々「一,馬尸，則(1)又可以寫為找=6,

(*3)

A稱為(*)的系數矩陣,(4與=彳稱為/的增廣矩陣，即

aa

4i2\n"

彳_02Ia22a2nbI

、4i《24“b”

(**)

令才前”列為列向量片,為…，篇則(*)可以寫為：(注意：Bj,b是s維列向量.)

x^+x2p2+---+x?/3n^b

(*4)

2.線性方程組的初等變換與矩陣、行列式的初等變換相似,且把原方程組變?yōu)橥夥匠?/p>

組,這是消元法的依據.

3.消元法實質上是把增廣矩陣利用行初等變換化為階梯型矩陣.得到的新的線性方程組

與原來的方程組是同解方程組.不妨設得到的階梯型矩陣的形式如下(一個特例)

15

’3?%Cln小

0C22.?cr，2"4

00?,JCn,d,

00??0o九

00??000

、00??000晨時

(**1)

則i）當4+i，o時,方程組（*）無解.

2）當<+1=0時,方程組（*）有解.且r=n時，解唯一；r<〃時，有無窮多個解.

注：(**1)中,j-<n,r<s，即r<min(s,〃).

向量空間.

/\

a\

1.qeP,1=1,2,(或a=「)稱為P上〃維行(列)向量,

0=(0,0,…,0)稱為零向量.

2.設a=(4,。2,…，*)，夕=3*2,…，4)，女€尸,規(guī)定.

1)a=B(i—1,2,-??,?).

2)加法：a+4=(a1+4，/+。2,…,凡+?！?,

3)數乘：ka-{kax,ka2,---,kanY

3.加法和數乘滿足如下8條性質.

1)對于加法滿足：

(Vl)a+-=^+a,(交換律)(V2)(a+0+7=a+(7?+7),(結合律)

(V3)a+0=a,(V4)a+(-a)=a,

2)加法與數乘滿足：

(V5)(k+l)a=ka+la,(V6)k(a+仍=ka+k/3,

(V7)\a=a,(V8)kQa)=(kl)a,

16

4.性質：0a=0,(-l)a=-a.

5.數域P上〃維向量空間定義：憶是數域P上〃維向量的非空集合，對任意

0(,(3&V及keP,有

a+/3&V,ka&P,稱P為尸上〃維向量空間.

三.線性相關性.

1.線性組合：令憶為尸上的一個〃維向量空間，1,口2,…,a,eK,若存在

P,使得&=左0+左2a2+…+&q,稱a是…，4的線性組合,

或稱a可以由向量組%,&2,…,a,線性表出.

(1).向量線性表出與線性方程組的關系：

a

a=4烏+A2a2+…+KsQ方程組入烏+x2a2+???+xsas=a有解.

(2).任意〃維向量可由eve2,線性表出.其中

￡,=(0,…0,1,0,…,0),1=1,2,…,〃，即若a=(“I，/,…,%),則

(X—。[與+ag[+…+.

(3).設向量組⑴:4,a,與(n)：",42,…?若向量組(D中任一向量a可由

向量組(II)線性表出，稱向量組⑴可由向量組(II)線性表出.若向量組⑴與向量組

(H)可以互相線性表出，則稱向量組(I)與向量組(H)等價.

(4).向量組的等價是一個等價關系(自反性,對稱性，傳遞性).

(5).…,4中任意向量可被這個向量組本身線性表出.

(6).零向量可被任意向量組線性表出.

2.向量組的線性相關性.

(I).定義：*若存在數域P中不全為零的數左左，…人，使得

a=&必+A2a2+,-?+&a,,則稱向量組ax,a2,---,as線性相關.

*若對任意線性組合左0+k2a2J---Fk.sas=0,有左=&=…=%=0,

則稱向量組《,，…,4線性無關.

(等價定義)：*在向量組a?，…22)中,若存在某個向量可以由其余向量線

性表此則稱向量組0,4,…4線性相關.

17

*若向量組%,a2,4(s22)中任意向量都不能由其余向量線性表出,

則稱向量組a[,a2,---,as線性無關.

*若對任意不全為零的數左，右,向量匕《++…+k&都不是

零向量，則稱

向量組%,火,…,a.線性無關.

(2).線性方程組與線性相關性的關系.

向量組/.a2,…,a,線性相關o+x2a2+???+xsas=0有非零解.

向量組％,。2,…,。，線性無關=+x2a2+…+x、q=0只有零解.

(3).簡單結論：

1).一個向量a線性相關oa=0(一個向量a線性無關aawO).

2).兩個向量a,4線性相關o〃=左eP.

3).〃+1個〃維向量線性相關.

4).向量組整體線性無關，則任意部分組線性無關(若向量組的部分組線性相關,

則這個向量組整體線性相關).

5).取s個〃維列向量4,口2,…,a,及s個唐維列向量￡|,42,…，氏，可得s個

a八

n+m維列向量%=…，Z

*若向量組1,口2,…,名線性無關，則向量組%%/線性無關.

*若向量組%,%/線性相關，則向量組0,a2,…，圓線性相關.

(4).定理結論：

1).若向量組a，4，…,a,線性無關,向量組藥，修，…,小，夕線性相關，則夕可

由向量組％,%,…4線性表出，且表出系數唯一.

2).若向量組6,4,…,4可由向量組四,邑,…，丹線性表出，且s>/,則

。1，口2,…,a,線性相關.

3).若向量組1,生，…,見線性無關，且可由向量組片,△，…，力線性表此則

s<t.

4).等價的線性無關的向量組含有的向量的個數相同.

18

3.極大線性無關組.

(1).定義：對一個向量組的部分組，若此部分組線性無關,且從向量組中任意選取一個

向量添加到這個部分組中所得向量組線性相關，則稱這個部分組是這個向量組的

?個極大線性無關組(極大無關組).

關于極大無關組的結論：

1).向量組的極大無關組不一定唯一.

2).極大無關組與向量組本身等價.

3).向量組的任意兩個極大無關組等價.

4).向量組的極大無關組雖然不唯一，但是任意一個極大無關組所含向量的個數

是一個定值，這個值稱為這個向量組的秩.

5).等價的向量組有相同的秩.

6).向量組(I)可以由向量組(H)線性表出，則秩(D去秩(口).

(2).與線性方程組的關系：

設方程組⑴的增廣矩陣為：

a\\a\2a\n4

A=“22…％”“，第,?行的行向量記為小j=l,2,…,s,

gas2…a“3d"

另一方程組⑴)的增廣矩陣為：

4加…狐

B=與b-b-n02悌，行的行向量記為以,i=1,2,…J,

4%…br?C)

若力=/0++…+La產0,至少有一個ljH0，不妨設/尸0,才相當于對彳

的第行作數乘變換,然后作s-1次第二初等行變換，故A對應的方程的解一定是四對

應方程的解.若用，月，…，月可被囚,。2,4線性表出,⑴的解一定是(II)的解，若兩向量

組等價，則⑴與(II)同解.

四.矩陣的秩.

1.行秩：矩陣行向量組成的向量的秩.

列秩：矩陣列向量組成的向量的秩.

可證矩陣A的行秩與列秩相等，稱為矩陣A的秩，記為秩(4)或者r(A)，由定義可知:

若力是一根義〃矩陣，則r(A)<min(m,〃),即矩陣的秩一定不超過矩陣的行數與列數.

2.矩陣的秩與線性方程組的聯(lián)系.

19

⑴.令力=(%)sx”，x=：，若/的秩r<〃，則4x=0有非零解.若4x=0只

、x”,

有零解，則r?〃.

(2).令4=(%)“x“，x=:，則4r=0有非零解當且僅當M=O./x=O只有

零解當且僅當同。0.

3.矩陣的秩與行列式的聯(lián)系：

(1).A=(%)〃x"，則N')<"=閡=0?(或者尸(〃)=〃<=>MH0).

(2).?/)=，,=Z中有一個r階子式不等于0,所有r+1階子式全為0.

注：1.若4=(%)*”,由書中定義，它的r階子式共有C：C；個.

2.此定理包含兩個結論：

(i).r(/)?r=有一個r階子式不等于0.

(ii).?/)W尸=的所有大于廠階的子式全為0.

4.初等變換不改變矩陣的秩.

注:可用等價向量組有相同的秩解釋,也可用3(2)解釋,此結論給出求矩陣的秩的方

法.

5.求向量組及矩陣的秩和向量組的極大無關組的方法：

(1).消元法:以向量組的向量為行構成矩陣,再對矩陣實行行初等變換.

(2).初等變換法:以向量組的向量為列構成矩陣,再對矩陣實行行初等變換.

(3).擴充法:山向量組中任一非零向量開始，逐個增加向量組的向量，直到擴充為

一個極大無關組.

例：設

.=(1-1,2,4),a2=(3,0,7,14),a3=(0,3,l,2),a4=(1-1,2,0),%=(2(5,6),

求此向量組的極大無關組及秩.

解：解一.

1-124)1-124

307140312

令A=0312T---->0000

1-120000-4

3156)、0000

20

故r(Z)=3,?為.個極大無關組,其秩為3.

解二,

'13012、'13012、

-103-1101101

B=T---->

2712500011

、414206,、00000,

秩為3,4為一個極大無關組?

解三,

'1-124、Q-124、Q-124)G

30714以20312a2-3a0312a2