人教版高中數(shù)學(xué)必修四重點知識點歸納總結(jié)-2023修改整理

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1.1．1隨意角

1．角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．

②角的名稱：

③角的分類：

④注重：

⑴在不引起混淆的狀況下，“角α”或“∠α”可以簡化成“α”；

⑵零角的終邊與始邊重合，假如α是零角α=0°；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角．

2．象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)

在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．

1.1.2弧度制（一）

1．定義

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫

做弧度制．在弧度制下,1弧度記做1rad．在實際運算中，經(jīng)常將rad單位省略．

弧度制的性質(zhì)：

①半圓所對的圓心角為②整圓所對的圓心角為

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)．④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)．

⑤零角的弧度數(shù)是零．⑥角α的弧度數(shù)的肯定值|α|=

4．角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

；；；．

②將弧度化為角度：

；；；．

5．常規(guī)寫法：

①用弧度數(shù)表示角時,經(jīng)常把弧度數(shù)寫成多少π的形式,不必寫成小數(shù)．②弧度與角度不能混用．

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

頂點

AO

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的肯定值與半徑的積．

4-1.2.1隨意角的三角函數(shù)（三）

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

當角的終邊上一點的坐標滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。

1．有向線段：

坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標軸方向全都時為正，與坐標方向相反時為負。

有向線段：帶有方向的線段。

2．三角函數(shù)線的定義：

設(shè)隨意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點，

長線交與點.

由四個圖看出：

當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有

，，

我們就分離稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。

（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正當，與軸或軸反向的為負值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，盡頭字母在后面。

（Ⅳ）

（Ⅲ）

4-1.2.1隨意角的三角函數(shù)（1）

1．三角函數(shù)定義

在直角坐標系中，設(shè)α是一個隨意角，α終邊上隨意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么

（1）比值叫做α的正弦，記作，即；

（2）比值叫做α的余弦，記作，即；

（3）比值叫做α的正切，記作，即；

（4）比值叫做α的余切，記作，即；

說明：①α的始邊與軸的非負半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置；

②按照相像三角形的學(xué)問，對于確定的角α，四個比值不以點在α的終邊上的位置的

轉(zhuǎn)變而轉(zhuǎn)變大小；

③當初，α的終邊在軸上，終邊上隨意一點的橫坐標都等于，

所以無意義；同理當初，無意義；

④除以上兩種狀況外，對于確定的值α，比值、、、分離是一個確定的實數(shù)，

正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。

2．三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

注重：

(1)在平面直角坐標系內(nèi)討論角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.

(2)α是隨意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否故意義）與ox轉(zhuǎn)了幾

圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).

(3)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣.

(4)隨意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)分:

銳角三角函數(shù)是隨意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相像（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正當.所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，隨意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到隨意角的三角函數(shù)的定義是由特別到普通的熟悉和討論過程.

(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的全都性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，向來角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們認識的銳角三角函數(shù)類比記憶.

3．例題分析

例1．求下列各角的四個三角函數(shù)值：（通過本例總結(jié)特別角的三角函數(shù)值）（1）；