中值定理證明題-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦中值定理證明題中值定理證實題

1.設)(xf在[0，2a]上延續(xù)，)2()0(aff=，證實在[0,a]上存在ξ使得)()(ξξfaf=+.

【分析】)(xf在[0,2a]上延續(xù)，條件中沒有涉及導數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證實。輔助函數(shù)可如下得到

0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+xfxaffaffafξξξξ

【證實】令)()()(xfxafxG-+=，],0[ax∈．)(xG在[0,a]上延續(xù)，且)()0()()2()(affafafaG-=-=

)0()()0(fafG-=

當)0()(faf=時，取0=ξ，即有)()(ξξfaf=+；

當)0()(faf=時，0)()0(0)(=ξG，即)()(ξξfaf=+．

2.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)2

1sin

0()0

0ttftt

t?≠?=??=?在[0,]x上應用拉格朗日中值定理得：

21

sin0

()(0)111sin()2sincos00xfxfxxfxxxξξξξ

--'====(0)xξ>==試證實)(/xf在

)(a,b內(nèi)至少有兩個零點。

學問點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。

思路：要證實在某個區(qū)間)(a,b內(nèi)導函數(shù)至少存在兩個零點，只要證該函數(shù)在][a,b上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。

證實：∵()()

()lim0xafxfafaxa

++→-'=>-，由極限的保號性知，

)(1a,δ+?（不妨設21b-aδ--axafxf，

特殊地，)(11a,δx+∈?，使得

0)

()(11>--a

xafxf，∴得Aafxf=>)()(1；

同理，由()0fb,-'>得)(22b,δx-∈?（2

2b-a

δ--bxbfxf，從而得Abfxf=<)()(2；

又∵)(xf在][21,xx上延續(xù)，∴由介值定理知，至少有一點)(21,xxξ∈使得

Aξf=)(；

∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上延續(xù)，在)(a,ξ、)(ξ,b內(nèi)可導，且Abfξfaf===)()()(，∴由羅爾中值定理知，至少有一點)(1a,ξξ∈、)(2ξ,bξ∈，使得12()()0fξfξ''==，結(jié)論成立。

4.設函數(shù))(xfy=在0=x的某個鄰域內(nèi)具有n階導數(shù)，且

(1)(0)(0)(0)0nfff,-'====試用柯西中值定理證實：

)10()

()()(<<=θn!θxfx

xfnn

。學問點：柯西中值定理。

思路：對)(xf、nxxg=)(在]0[,x上延續(xù)使用n次柯西中值定理便可得結(jié)論。證實：∵)(xf、nxxg=)(及其各階導數(shù)在]0[,x上延續(xù)，在)0(,x上可導，且在)0(,x每一點處，(1)()!0ngxnx-=≠，又(1)(0)(0)(0)0nfff,-'====，∴延續(xù)使用n次柯西中值定理得，

(1)(1)11111(1)111()(0)()()(0)

()()(0)(0)(0)(0)

nnnnnnnnnfξfffξffxfxfxxgnnξgn!ξgξ