理論力學(xué)第8章 虛位移原理與能量法

第8章虛位移原理分析力學(xué)兩個(gè)基本原理之一既是分析靜力學(xué)基礎(chǔ)，也是分析動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).2023/4/191整理ppt#虛位移及其計(jì)算#虛位移原理及應(yīng)用#

勢(shì)力場(chǎng)中的虛功方程及穩(wěn)定性#廣義坐標(biāo)與自由度#

約束及其分類(lèi)

#用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件2023/4/192整理ppt

虛位移原理研究受約束的質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體、剛體系統(tǒng)在力系作用下的平衡規(guī)律。是研究非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡問(wèn)題的最一般的原理，又稱(chēng)分析靜力學(xué)。

在第一篇靜力學(xué)中，我們從靜力學(xué)公理出發(fā)，通過(guò)力系的簡(jiǎn)化，得出剛體的平衡條件，由此用來(lái)研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題，稱(chēng)為幾何靜力學(xué)。2023/4/193整理pptBACDL4EW4MWFL3L2L1W3W2W1baαβγ幾何靜力學(xué)存在的缺陷：2023/4/194整理ppt2023/4/195整理ppt2023/4/196整理ppt電力機(jī)車(chē)從接觸網(wǎng)受取電能的電氣設(shè)備，安裝在車(chē)頂上。構(gòu)造:受電弓可分單臂弓和雙臂弓兩種，均由集電頭、上框架、下臂桿（雙臂弓用下框架）、底架、升弓彈簧、傳動(dòng)氣缸、支持絕緣子等部件組成。近來(lái)多采用單臂弓（見(jiàn)圖）動(dòng)作原理:升弓：壓縮空氣經(jīng)受電弓閥均勻進(jìn)入傳動(dòng)氣缸，氣缸活塞壓縮氣缸內(nèi)的降弓彈簧，此時(shí)升弓彈簧使下臂桿轉(zhuǎn)動(dòng)，抬起上框架和集電頭，受電弓均勻上升，并同接觸網(wǎng)接觸。降弓：傳動(dòng)氣缸內(nèi)壓縮空氣經(jīng)受電弓緩沖閥迅…

2023/4/197整理ppt幾何靜力學(xué)存在的缺陷：1.對(duì)可變系，必要非充分2.拆開(kāi)研究，未知力多2023/4/198整理pptoF2F1ab虛位移原理的基本思想：幾何靜力學(xué)的平衡方程2023/4/199整理pptoF2F1ab功能原理的方程利用動(dòng)能定理可以得到與幾何靜力學(xué)完全相同的平衡條件。2023/4/1910整理ppt§

8.1約束及其分類(lèi)一.位形空間與約束質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的3n個(gè)坐標(biāo)的集合，定義為質(zhì)點(diǎn)系的位形。

建立抽象的3n維正交歐氏空間（x1,x2,…x3n),稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的位形空間。

質(zhì)點(diǎn)系所受到的約束，可用聯(lián)系位形與時(shí)間的約束方程來(lái)表示。約束－物體運(yùn)動(dòng)所受到的限制。2023/4/1911整理ppt1定常約束與非定常約束定常約束－約束方程中不顯含時(shí)間的約束：非定常約束－約束方程中顯含時(shí)間的約束：二.約束的分類(lèi)2023/4/1912整理ppt定常約束的例子——單擺x2+y2=l2約束方程中不顯含時(shí)間t.2023/4/1913整理ppt非定常約束的例子——偏心轉(zhuǎn)子的周期運(yùn)動(dòng)

如果已知轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律(例如以等角速度旋轉(zhuǎn))，這種轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律就是對(duì)系統(tǒng)的約束，約束方程為：這種約束即為非定常約束。2023/4/1914整理ppt2雙側(cè)約束與單側(cè)約束雙側(cè)約束

——

約束方程可以寫(xiě)成等式的約束。

單側(cè)約束

——

約束方程寫(xiě)成不等式的約束。2023/4/1915整理pptByxO

只能限制質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系單一方向運(yùn)動(dòng)的約束即為單側(cè)約束，否則為雙側(cè)約束。雙側(cè)約束與單側(cè)約束的例子ByxO2023/4/1916整理pptyxOAA0lyxOAA0l2023/4/1917整理ppt3完整約束與非完整約束

完整約束

——

約束方程不包含質(zhì)點(diǎn)速度，或者包含質(zhì)點(diǎn)速度但約束方程是可以積分的約束。

非完整約束

——

約束方程包含質(zhì)點(diǎn)速度、且約束方程不可以積分的約束。2023/4/1918整理ppt完整約束的例子——圓輪在平面上純滾動(dòng)說(shuō)明圓輪所受約束為完整約束。COyxC*2023/4/1919整理ppt非完整約束的例子——追蹤系統(tǒng)OyxvAABxAyAxByB

此約束方程不可以積分，所以導(dǎo)彈所受的約束為非完整約束。2023/4/1920整理ppt2023/4/1921整理ppt§8.2廣義坐標(biāo)與自由度lA(x,y)yxOA(x1,y1)B(x2,y2)ab一、廣義坐標(biāo)

——

確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參變量。yxOφ2023/4/1922整理ppt二、自由度

——

確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參變量的數(shù)目.k=3n-s

1.對(duì)于完整約束系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目，等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。2.對(duì)于穩(wěn)定的完整約束，各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)可以寫(xiě)成廣義坐標(biāo)的函數(shù)形式：對(duì)于非完整約束系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目大于自由度數(shù)。這時(shí)，系統(tǒng)的自由度數(shù)等于獨(dú)立的虛位移數(shù)目。2023/4/1923整理ppt利用廣義坐標(biāo)描述質(zhì)系運(yùn)動(dòng)幾何約束自然滿(mǎn)足n=2S=1k=3OxyrlABn=2S=3k=1OxyABl思考：確定下列平面系統(tǒng)的自由度并選擇廣義坐標(biāo)2023/4/1924整理ppt§8.3虛位移及其計(jì)算在約束允許條件下，各質(zhì)點(diǎn)實(shí)際發(fā)生的位移稱(chēng)為實(shí)位移。在約束允許條件下，各質(zhì)點(diǎn)可能發(fā)生，而實(shí)際未發(fā)生的任何微小位移，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的虛位移。一.虛位移的概念2023/4/1925整理ppt

為了區(qū)分虛位移與微小的實(shí)位移，通常用變分符號(hào)表示虛位移，用d表示微小的實(shí)位移。

虛位移只是可能的位移，具有任意性和方向的不確定性；實(shí)位移則有確定的指向。

虛位移是與作用力和時(shí)間無(wú)關(guān)，實(shí)際未發(fā)生的位移；實(shí)位移是在力作用下經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間完成的真實(shí)位移。

虛位移只能是微小的位移；實(shí)位移既可以是微小的也可以是有限的位移。

在定常約束情況下，微小的實(shí)位移只是虛位移中的一種。2023/4/1926整理ppt二.虛位移的計(jì)算1幾何法

類(lèi)似于運(yùn)動(dòng)學(xué)中求剛體內(nèi)各點(diǎn)速度的方法求各點(diǎn)虛位移之間的關(guān)系，稱(chēng)為幾何法。

例如要求圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中點(diǎn)B和點(diǎn)C的虛位移之間的關(guān)系可用基點(diǎn)法，投影法或瞬心法求得為2023/4/1927整理ppt2解析法

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)關(guān)于廣義坐標(biāo)做類(lèi)似于微分運(yùn)算的變分運(yùn)算，可求得該質(zhì)點(diǎn)的虛位移在直角坐標(biāo)軸上的投影，這種方法稱(chēng)為解析法。例如要求圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中點(diǎn)B和點(diǎn)C的虛位移之間的關(guān)系2023/4/1928整理pptxy于是2023/4/1929整理ppt

凡約束力對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移所作的虛功之和為零的約束，稱(chēng)為理想約束。

質(zhì)點(diǎn)系受有理想約束的條件：§8.4虛位移原理及應(yīng)用一.理想約束理想約束的例子：1、光滑面約束2023/4/1930整理ppt2、鉸鏈約束3、圓輪在平面上作純滾動(dòng)

受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某位置平衡的必要與充分條件是：二.虛位移原理上式又稱(chēng)為虛功方程。2023/4/1931整理ppt點(diǎn)積形式：自然坐標(biāo)形式：直角坐標(biāo)形式：2023/4/1932整理ppt

三.虛位移原理的應(yīng)用1系統(tǒng)在給定位置平衡時(shí)，求主動(dòng)力之間的關(guān)系；2求系統(tǒng)在已知主動(dòng)力作用下的平衡位置；3求平衡系統(tǒng)的約束外力；4求平衡系統(tǒng)的約束內(nèi)力。2023/4/1933整理ppt例1

圖示橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)，連桿AB長(zhǎng)l，桿重和滑道摩擦不計(jì)，在主動(dòng)力F1和F2作用下于圖示位置平衡.求主動(dòng)力之間的關(guān)系。答：2023/4/1934整理ppt2023/4/1935整理pptOABCDPQ例2

圖示操縱汽門(mén)的杠桿系統(tǒng)，已知OA/OB=1/3，求此系統(tǒng)平衡時(shí)主動(dòng)力P和Q

間的關(guān)系。答：2023/4/1936整理ppt例3

圖示系統(tǒng)中除連接H點(diǎn)的兩桿長(zhǎng)度為l外,其余各桿長(zhǎng)度均為2l,

彈簧的彈性系數(shù)為k,當(dāng)未加水平力

P

時(shí)彈簧不受力，

=0

。求平衡位置θ。答：2023/4/1937整理ppt惰鉗機(jī)構(gòu)由六根長(zhǎng)桿和兩根短桿組成，長(zhǎng)桿長(zhǎng)2a，短桿長(zhǎng)a，各桿之間用鉸鏈相連。它在頂部受力F的作用，問(wèn)下部力FQ的大小為多少才能使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。圖中為已知角。2023/4/1938整理ppt圖示機(jī)構(gòu)在W及彈簧約束下處于平衡，桿長(zhǎng)L，彈簧系數(shù)為

k，原長(zhǎng)為b。不計(jì)桿重。求平衡位置θ。課堂練習(xí)題2023/4/1939整理ppt例4

多跨靜定梁，求支座A處的反力。答：2023/4/1940整理ppt螺旋壓榨機(jī)的例子2023/4/1941整理ppt幾何靜力學(xué)存在的缺陷：1.對(duì)可變系，必要非充分2.拆開(kāi)研究，未知力多2023/4/1942整理ppt例5

平面平衡結(jié)構(gòu).已知力F，平面力偶矩m，AB＝L，BC＝2L，BD水平，不計(jì)桿重及摩擦。求：（1）BD桿的內(nèi)力；（2）鉸鏈E處的水平約束力。答：2023/4/1943整理ppt？①圖示為三鉸拱，已知FO，為求支座

B的約束力，問(wèn)應(yīng)如何解除約束思考2023/4/1944整理ppt2023/4/1945整理ppt2023/4/1946整理ppt？②圖示為桁架結(jié)構(gòu)，已知P和各桿長(zhǎng)度，為求桿1，2和3的內(nèi)力，問(wèn)應(yīng)如何解除約束2023/4/1947整理ppt2023/4/1948整理ppt2023/4/1949整理ppt？③圖示為多跨梁，已知P，q和各桿幾何尺寸，為求支座A，B的約束反力，問(wèn)應(yīng)如何解除約束2023/4/1950整理ppt

以不解除約束的理想約束系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)至少有一個(gè)自由度。若系統(tǒng)存在非理想約束，如彈簧力、摩擦力等，可把它們計(jì)入主動(dòng)力，則系統(tǒng)又是理想約束系統(tǒng)，可選為研究對(duì)象。應(yīng)用虛位移原理求解的要點(diǎn)和步驟：1）正確選取研究對(duì)象：

若要求解約束反力，需解除相應(yīng)的約束，代之以相應(yīng)的約束反力，并計(jì)入主動(dòng)力。應(yīng)逐步解除約束，每一次研究對(duì)象只解除一個(gè)約束，將一個(gè)約束反力計(jì)入主動(dòng)力，增加一個(gè)自由度。2023/4/1951整理ppt

2）正確進(jìn)行受力分析：

畫(huà)出主動(dòng)力的受力圖，包括計(jì)入主動(dòng)力的彈簧力、摩擦力和待求的約束反力。3）正確進(jìn)行虛位移分析，確定虛位移之間的關(guān)系。4）應(yīng)用虛位移原理建立虛功方程。5）解虛功方程由已知量求出需求量。2023/4/1952整理ppt解題步驟：給定系統(tǒng)虛位移或受力狀態(tài)。

首要條件：不可動(dòng)時(shí)，解除部分約束，代以相應(yīng)的約束力，并視約束力為主動(dòng)力，進(jìn)行求解。

系統(tǒng)須可動(dòng)（至少1個(gè)自由度）3)列虛功方程求解。2)求各力作用點(diǎn)虛位移關(guān)系。2023/4/1953整理ppt§8.5用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義坐標(biāo)

第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑

選擇

k個(gè)廣義坐標(biāo)q1，q2，···，qk

以確定系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置。

第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的虛位移2023/4/1954整理ppt主動(dòng)力的虛功用廣義坐標(biāo)表示為FQj

稱(chēng)為與第j個(gè)廣義坐標(biāo)qj對(duì)應(yīng)的廣義力。2023/4/1955整理ppt虛位移原理的另一種表達(dá)形式用廣義力表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件為

受定常理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡充分必要條件為：所有與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力均等于零。2023/4/1956整理ppt（1）公式法廣義力計(jì)算的兩種方法：（2）虛功法2023/4/1957整理pptACEDBM3M2M160°60°例6已知：AC=CD=DE，M1求：平衡時(shí)M2

、M3。答：2023/4/1958整理ppt例7求平衡時(shí)1

、2與FA、

FB、

F

間的關(guān)系。2xOA(x1,y1)B(x2,y2)ab1FAFFB答：2023/4/1959整理ppt？思考圖示為三自由度機(jī)構(gòu)，若取桿DE，CD以及AB的位置角為廣義坐標(biāo)，問(wèn)它們的各自虛位移是如何發(fā)生的，第三個(gè)虛位移對(duì)嗎2023/4/1960整理ppt§8.6勢(shì)力場(chǎng)中的虛功方程及穩(wěn)定性

如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力都是有勢(shì)力，其勢(shì)能函數(shù)可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)將有勢(shì)力的表達(dá)式寫(xiě)成分量的形式1.勢(shì)力場(chǎng)中的虛功方程2023/4/1961整理ppt有即—?jiǎng)萘?chǎng)中的虛功方程。代入虛功方程對(duì)于保守系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)系平衡于勢(shì)能取駐值狀態(tài)。2023/4/1962整理ppt勢(shì)力場(chǎng)中，對(duì)應(yīng)于第

j個(gè)廣義坐標(biāo)qj的廣義力等于系統(tǒng)勢(shì)能對(duì)這一廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)冠以負(fù)號(hào)?；虼霃V義力表達(dá)式2023/4/1963整理ppt得勢(shì)力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)系平衡的充要條件質(zhì)點(diǎn)系在平衡位置處勢(shì)能取駐定值。2023/4/1964整理ppt

例1

圖示結(jié)構(gòu)中，4桿及彈簧原長(zhǎng)均為l，彈簧

剛度為k,求平衡時(shí)力F大小與之關(guān)系。

解:取不受力時(shí)，滑塊A位置為力F零勢(shì)能位置；取彈簧原長(zhǎng)l為彈性勢(shì)能零位置。則圖示位置時(shí)由得2023/4/1965整理ppt

由，有

勢(shì)力場(chǎng)問(wèn)題由求解，可避免求各虛位移關(guān)系，

更為簡(jiǎn)便。思考:將彈簧力視為內(nèi)力，用一般形式虛功方程

如何求解?計(jì)入彈簧內(nèi)力虛功，2023/4/1966整理ppt例2

圖示機(jī)構(gòu)在W及彈簧約束下處于平衡，桿長(zhǎng)L，彈簧系數(shù)為

k，原長(zhǎng)為b。不計(jì)桿重，求平衡條件。2023/4/1967整理ppt解：有勢(shì)系統(tǒng)取x軸為重力勢(shì)能零點(diǎn)，原長(zhǎng)位置為彈性勢(shì)能零點(diǎn)。2023/4/1968整理ppt2.平衡的穩(wěn)定性

若質(zhì)點(diǎn)系在某個(gè)平衡位置處受到微小擾動(dòng)（微小的偏離或微小的沖擊）后，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)只在它的平衡位置附近運(yùn)動(dòng)而不產(chǎn)生顯著的偏離，則稱(chēng)該平衡位置是穩(wěn)定的。反之，稱(chēng)為不穩(wěn)定。拉格朗日定理

若質(zhì)點(diǎn)系在某個(gè)平衡位置上的勢(shì)能具有極小值，則該平衡位置是穩(wěn)定的。2023/4/1969整理ppt對(duì)于單自由度質(zhì)點(diǎn)系

若V的不等于零的最低階導(dǎo)數(shù)是偶數(shù)階且為正，則勢(shì)能V有極小值，則該平衡位置是穩(wěn)定的。（a）穩(wěn)定平衡（b）非穩(wěn)定平衡（c）隨遇平衡2023/4/1970整理ppt例1

如圖所示，均質(zhì)桿AB長(zhǎng)，質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)，當(dāng)桿與鉛直方向夾角時(shí)，彈簧正好為原長(zhǎng),試求桿的平衡位置，并判斷其穩(wěn)定性。.2023/4/1971整理ppt取彈簧原長(zhǎng)為零勢(shì)能狀態(tài)，過(guò)B的水平面為重力勢(shì)能零勢(shì)面，則任意位置時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能:由，有2023/4/1972整理ppt

虛功方程應(yīng)用于變形體系時(shí)，內(nèi)力虛功一般不為零.一、虛功方程用于變形體的形式

即外力虛功等于質(zhì)點(diǎn)系的虛變形能。

這就是用于變形體的虛功方程形式。

則有令為變形體的虛變形能。

質(zhì)點(diǎn)系的虛功方程可寫(xiě)為

8-7虛功方程應(yīng)用于變形體系統(tǒng)2023/4/1973整理ppt二、虛變形能的計(jì)算圖示變形體受約束無(wú)剛體位移，在力系作用下，各力作用點(diǎn)位移為，在緩慢加載下，外力系作功轉(zhuǎn)化為變形體的變形能。彈性變形能V

可表示為各外力的函數(shù)。彈性