2020屆高三文理科數(shù)學一輪復習《平面向量基本定理及坐標表示》專題匯編(教師版)

11111122111111112221222111111221111111122212221221112212x1＋xy1＋yx＋xy＋y＋y112231212212121241212《面量本理坐表》題一、相知識點．面量本理(1)定理：如果e是一平面內的兩個不共線向量那么于這一平面內的任意向量a，存在唯一一對實數(shù)λ，，＝e＋.(2)基底：不共線的向量e，e叫做表示這一平面內所有向量的一組基．．面量坐表在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸向相同的兩個單位向量i，j作基底，該平面內的任一向a可表示成＝＋yj，把有序數(shù)對，)做向量a坐標，記作＝，．．面量坐運(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a(x，，b＝(x，)，則＋＝(x＋，＋y，－b＝－x，－，＝λx，)，a＝22(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．→→

②設A(x，)，(x，)則B＝(x－x，－y)，AB|＝x．面量線坐表設＝，y，b＝(x，)其中b≠0.a線xy－＝0.．用論(1)若與b不共線，且＋＝0，＝＝x(2)設＝(x，，b＝(x，)，如果x≠，≠，則∥b?＝1222(3)已知P為段中點，若A，)(x，)則P點標為

，；eq\o\ac(△,知)的頂點A，，B(x，，(x，)eq\o\ac(△,則)ABC的心的標為，題型一

平面向基本定理及應用．設，e是面內一組基底，若λe＋＝，則＋＝________.解析0．下列各組向量中，可以作為基底的()A＝，e＝(1,2)B．e＝－，e＝(5,7)C＝，e＝D．e＝(2，－3)，e＝，1/9

121121212121211211122121121212121211211122解析：選，A選中，零向量與任意向量都共線，故其不可以作為基底B選中，不存在實數(shù)，使得e＝e，故向量不共線，故其可以作為基底選中e＝e，兩向量共線，故其不可作為基底選項中，＝4e，向量共線，故其不可以作為基底．故選B.．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)示出來的()Ae＝，＝Be＝－，e＝(5，－2)C．＝e＝(6,10)D．＝，－，＝(－2,3)解析：與e不線時，可表示當＝－1,2)e＝(5，－2)時，－×(－≠5×，因此e與e不線，故選B．．已知向量，不線，實數(shù)x，y滿足(3－4)＋－y)＝6＋e，則2－＝解析：xy→→→．在平行四邊形中，為DC邊中點，且＝，AD＝bBE等于()11AbaB．＋aC．abDa22→→→→1解析：A，BE＋＋＝－＋ba－a→→→△ABC中分是的等分點AP＝BQ＝BC＝＝PQ()31111A＋bB．－＋b－D．－a－3333→→→→→→→→→→1111解析：A，由題意Q＝＝ABBC＝AB(ACAB)＝＋＝＋b3333→→→．如圖，在ABC，BE邊的中線，O是BE的點，若B＝a，AC，則A＝()111A＋bB．＋aD．＋b2224→→→→→→→→→→→→111解析：D，＝＋BO＝＋BE＝＋(－)＝AB＋＝AB＝＋b24在行四邊形中AC與BD交點OF是線段DC的點若DC＝DF設AC＝aBD＝b則＝)121a＋bB.a＋a＋ba＋2322/9

12212122121212135552→解析：選B如圖所示，平行四邊形ABCD中與BD交點O，是段DC上的點，且DC3DF，11∴DF＝DC＝OCOD)－BD)，AD＝OD－＝.3622＝AD＋DF＝BDAC＋(AC－)＝＋＝a＋b.在直角梯形ABCD中＝2＝DC為BC邊一點，BCF為AE的點則＝)1122－B.－．＋D．AB＋33333解析圖的點G接DGCG知四邊形DCBG為行四邊形以BC＝＝AD－ADAB，∴AE＋BE＝＋BC＝ABAD－AB＝33＋AD于是BF＝＝－＝＋AD－＝＋2AD，選．梯形中∥CD，＝CD，N分別為CD，BC的點．若AB＝＋μAN則λ＋μ等()4C.D.解析：，為AB＋＝AN＋CN＋(CA＋＝AN＋CM＋MA＝－AB－84，所以AB＝－AM，以＝－，＝，以＋＝.→→→．平行四邊形ABCD中，和分別是邊CDBC的點＝AE＋，中，∈R則＋＝→→→→→→1→→→→1→→→解析AD＝＋ADAEAB＋ADAF＝AB＋ADA＝＋＝1，＋＝，

，，

∴＋＝.21△ABC中PAB上一點CP＝CA＋CBQ是的點AQCP的點為CM＝，實數(shù)的值．3/9

AB＋－＝AB＋，CM＝所以CM＝AM－AC＝AQ－AB＋－＝AB＋，CM＝所以CM＝AM－AC＝AQ－λt()＋＝解析：為CP＝CA＋CB，以＝2＋CB，2－CA＝CBCP，以AP＝.即P為的個等分(靠近點，又因為A，，Q三共線，設＝.1λ－222t＝tAP－＝t－＝－t故

λt＝，λ－2＝－t，

，解得.

故t的是在ABC所平面上有三點PQR滿足＋PB＋PC＝，QA＝BC，RA＋RCCA，△的面積與△ABC的積之比()A1∶B∶3．1∶4D1∶5解析：，PA＋＋＝AB，PA＋－＋AB，PA＋＝AB＋BPAP∴＝，P為段的一個三等分點，同理可得R的置．∴△的面積為ABC的積減去個小三角形面積△ABC的內角ABC所對2c11211b的邊分別是a則＝－××b＋×c×sin＋×a×sinPQR3323C＝－×S＝，△與ABC的積比為∶ABC9ABC3已G是△ABC重心過點作線與AC分交于點M且AM＝x，＝AC(，，則＋y的最小值是)753B.C.D.＋22111解析：，圖．＝AN，＝，∵AG＝AB＋AC，∴＝＋AN，y3x3y1又∵M，三共線，∴＋＝∵，y，3x＋＝(3x＋y)·3y

3yx42＋＋＋≥＋當且僅當y＝x時等號．故選3x3→→→→→．ABC中點D滿B＝BC，當點E射線(不含點A)上移動時，＝AB＋AC則＋μ的最小值為________．→解析：圖所示，△ABC，BD＝BC4/9

kkμ4k25→→→kkμ4k25→→→→→→→→→→→→∴AD＝AB＝AB＋BC＝＋(－)＋AC4→→→→k→→→→又點射線AD(含點)上移動＝kADAE＋＝λ＋μ

，∴＋＝＋≥

k423＝，且僅當k＝時取“＝”λ的最值為.μ→．圖，已知△中，點是A為點的點B對稱點D是OB分為∶1的個內分點，→→和OA交點E，設O＝a，OB＝→→→→(1)用和b表示向量O、；(2)若OE＝OA求實數(shù)λ的．→→→→→解析：由題意知，是BC的中點，且O＝OB.平行四邊形法則，OBOCOA→→→→→→25∴＝－OB2－bDC－ODa)b＝2－b→→→→→(2)如題圖，∥.∵＝－＝a)－＝(2－)－b→5－－14DCa，∴＝，＝－題型二

平面向的坐標運算．若a＝(2,3)，b＝－，則a－b＝________.解析：．如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)那么ab＝解析：a－2b＝－＝(－7，－4).．已知平面向量a＝，－1)，b，么＋b等于解析：為＋＝，－1)＋(1,3)，所a＝＋2＝13.．已知的點(，－，B(3，－1)C(5,6)，則頂點D的標_．解析：(，)則由＝DC，得(4,1)＝－y)，即解得→→．已知點A(0,1)，向量A＝(－，－，則向量C＝解析:()C(xy43)5/9

即，5)

13135→→→→AB53→BC(2)(3,2)(4)．若向量a(1,1)＝(1,1)，c＝，則c等于)A3aB3－bC－＋3Da3解析c＝xa＋yb(x，y∈，．已知a＝，b＝(，c＝2－b，則＝解析：∵＝，＝(－1,1)，∴c＝a－b＝(3,3)，∴c＝＋9＝32.．已知，B(－，向量＝，DAC的中點，則BD＝________.解析：C，)則BC＝＋3y－2)＝(2,4)，所以解得由為的點可得點D的坐標(0,5)，所以BD＝＋－＝(3,3)

即C(－．在行四邊中＝－2,3)線AC與BD交點CO的標為()－5B.，5C.－，5D.，5解析：為在平行四邊形中AD＝，＝－，對角線與BD交點，所以CO＝AO＝－(＋AB)－，－.故選→．知點(1,3)，，－1)，則與B同方向的單位向量是)4A，－

B，－

3C．－，D．－，→解析：AB＝OB－＝(4，－1)－(1,3)，－，與AB同方向的單位向量為＝，，故選A．→π．平面直角坐標系xOy中已A，，C為標平面內第一象限內一點且AOC，OC＝2若＝OA＋，＋＝π解析：為＝，∠AOC所以C(2，又OC＝＋OB，以，＝λ(1,0)＋(0,1)＝(，，所以λ＝＝，＋＝．知a＝(5，－，b＝(－4－，若－＋3＝0，則c等4解析：已知c＝－＋2b(－＋－，－＝(－，－4)．所以c＝－，.．知向量a(2,1)＝(1，－．若＋nb，－8)(m，n∈R)則－值為．解析：向量＝，b＝，－，得manb＋n－n)＝，－8)則6/9

m＝m2＝－8，

解得

故m＝－→→→→．面直角坐標系xOy中已知，(0,1)，(－1)，c＞0)，且OC＝2，CλOA＋OB，則實數(shù)＋的為________．→→→→→解析：為OC＝，所以OC2＋c2＝，因為c＞0，所以c＝因O＝＋μ，所以(，3)＝(1,0)μ(0,1)，所以λ＝－1，＝，以＋＝3－題型三

平面向共線的坐標示．已知向量a＝，－1)，則下列向量中與向量a平行同向的()A＝(2，－B．b(－2,2)C．b－D．b＝(2，－1)解析：A，－＝2(1，－，＝2am．已知向量a＝(1,2)，b＝－2,3)，若a－n與a＋b共線(其中nR且n0)，則＝________.解析：a＝，b＝(－，得ma－b＝(m＋22－3，2＋＝，a－n2＋共，m可得7(＋)＝0，則＝－．已知向量a＝(m，b，，且b，則＝________.解析：a＝(4)，＝(3－，ab，∴－m－×＝0.＝－．已知向量＝，b＝(2，－，＝，λ．若∥(2＋b，則＝解析：題意得＋b(4,2)因為∥(2a)，c＝(1，)所以4＝，得＝．設向量a(x,，b＝(4，x)若a，b方相反，則實數(shù)x的值為_．解析：題意得x－14＝，解得x＝當＝2時，a＝(2,1)＝，此時，b方相同，不符合題意，舍去；當x＝－＝(，b(4，－2)，此時a，b方相反，符合題意→→．已知－，－3)，B，(1,4)，D－，)，若A與CD共線，則t＝→→→→解析：AB＝CD(，t－，∥CD4(－＝－32，解得t－知向量a＝，a－b＝(4,5)，c＝x,3)，若a＋b)∥c則x＝解析：∵＝，－＝(4,5)，ba－(a－＝(1,2)－(4,5)＝－3，－3)，∴2＋＝＋(，－＝(－1,1)．又∵c＝(3)，(2a＋b∥，－×3＝，∴x＝－3.．已知向量OA＝(，＝，OC＝－k10)且，B，三共線，則k值是解析：AB－OA＝－，7)，AC＝－＝(2k2)．三共線，∴AB，AC共線，∴－2×－)＝－7×(－2)，解得k＝－.7/9

2若點，－，B，－2)，C－，－共線，則實數(shù)a的為____.→→→→解析：AB(a1,3)(A∥4(1)×(3)4a5a.．量＝，tanα，b(cos，1)，且a，則cos2＝解析：ab，＝，tanα，＝，1)，∴－tanα＝，∴sinα，7∴＝－α＝12×＝.．知向量a－，1)，b，1＋θ，∥，銳角θ＝π解析：為∥b，所以1sinθ×(1＋sinθ)－×＝，sin2＝，所以θ＝，故銳角θ＝．知點A(2,3)，(4,5)C，若AP＝AB＋ACλR)，且點在線x－y＝0，則λ解析設()，則由＝＋AC(x－，y－3)(2,2)λ(5,7)＝(2＋2λ)所以x＝5＋，y＝7又點在直線－2y＝，故λ＋42(7＋5)＝，得＝－.．知平面向量＝，m)，b－且(a)∥b則實數(shù)的值為解析：＋b＝(－m，由題意知－m1)－1解得m－，．知向量a(1,2)＝(，ua＋，＝2－b且u∥，實數(shù)x值為．解析：a(1,2)b(uab2bu(1,2)x,(21,4)2(1,2)(x,x,3)3(21))0105.．知平面直角坐標系內的兩個向量a＝m,3－，b，且平面內的任意向量都以唯一地表示成c＝a＋b(，為數(shù))，則m的取范圍是()A－∞，4)C．－∞，4)∪，＋∞

B．(4，＋∞D．－，＋∞解析：C平面內的任意向量c都可以唯一地表示成c＝a＋b，由平向量基本定理可知，向量ab可作為該平面所有向量的一組基底，即向量a，b是不