群論在固體物理中應(yīng)用市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

第四章群論在固體物理中應(yīng)用

在固體物理中，對晶體研究占據(jù)了相稱大比重。晶體：“三維空間中一個規(guī)則排列無限重復(fù)原子、分子、離子或原子集團(tuán)集合”。晶體含有高度對稱性，從而形成了一系列對稱群、對稱群對晶體能級分裂，能帶形成等起主導(dǎo)作用。第1頁第1頁§4.1點(diǎn)群晶體對稱性能夠用三種形式幾何變換或操作描述：其中，反演+（真）轉(zhuǎn)動非真轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)反軸）第2頁第2頁例：①n重旋轉(zhuǎn)軸——，n為一些整數(shù)n=4對稱性階等于4=h（即對稱群階）②對稱面

ODCABC4

h=2第3頁第3頁③對稱中心④旋轉(zhuǎn)反演軸（轉(zhuǎn)反軸）——旋轉(zhuǎn)和反演復(fù)合操作A'是A轉(zhuǎn)反像以上四種對稱要素相應(yīng)操作中，空間中至少有一個點(diǎn)保持不動。

對稱中心OABA'第4頁第4頁定義：由真轉(zhuǎn)動和非真轉(zhuǎn)動各種組合都可保持一個點(diǎn)（原點(diǎn)）位置不動，稱之點(diǎn)群操作，它們集合稱為點(diǎn)群。定義：由平移操作和點(diǎn)群操作各種組合叫作空間群操作，它們集合稱為空間群。注意：嚴(yán)格講：空間群操作，空間每一點(diǎn)都要動，因此，空間對稱操作只有對無限延伸物體才干進(jìn)行。普通采用周期性邊界條件處理這類問題。

第5頁第5頁4.1.1晶體點(diǎn)群對稱操作晶體含有平移對稱性，因此，晶體中點(diǎn)群操作受到嚴(yán)格限制。晶體中真轉(zhuǎn)動是繞某一軸正向（逆時針）轉(zhuǎn)動某一角度。

即=360o，180o，120o，90o，60o以及它們組合：240o，270o，300o。

證實(shí)n=1,2,3,4,6A和B是（晶格常數(shù)）方向上兩點(diǎn)陣設(shè)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動角，則B點(diǎn)轉(zhuǎn)到B'點(diǎn)設(shè)繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動角，則A點(diǎn)轉(zhuǎn)到A'點(diǎn)AA'B'B第6頁第6頁∵轉(zhuǎn)動后原子點(diǎn)陣應(yīng)重疊，故是一點(diǎn)陣矢量即：，m——整數(shù)由圖可知：

∴∴∴，n=1,2,3,4,6在非真轉(zhuǎn)動中角度轉(zhuǎn)動部分也是如此。

第7頁第7頁4.1.2立方晶系群（CubicCrystalSystem）立方晶系群T群（T，Td，Th）O群（O，Oh）1、O群（OctahedronGroup)正八面體群對稱元素：3個四度軸：x,y,z軸4個三度軸：oA1，oA2，oA3，oA4軸6個二度軸：oa，ob，oc，od，oe，of不變操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第8頁第8頁總操作數(shù)為:3×3（四度軸有三個操作）=94×2（三度軸有二個操作）=86×1（二度軸有一個操作）=6不變操作=1共有24個真轉(zhuǎn)動操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不動，群元E第9頁第9頁6C2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第10頁第10頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第11頁第11頁8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o和240o（3-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第12頁第12頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第13頁第13頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第14頁第14頁6C4，繞xyz軸轉(zhuǎn)動90o（4-度對稱）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第15頁第15頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第16頁第16頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第17頁第17頁xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）第18頁第18頁O群有5類，24個群元，有5個不可約表示O群有兩個1-維表示，一個2-維表示，兩個3-維表示。上述表示是O群個3-維表示第19頁第19頁2、Oh群8個全同原子位于立方體8個頂點(diǎn)O群24個真轉(zhuǎn)動，加上中心反演，又有24個非真轉(zhuǎn)動，因此共有48個操作。共分為10個類。1C1，不動，群元E6C2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o和240o（3-度對稱）6C4，繞xyz軸轉(zhuǎn)動90o（4-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）i，關(guān)于中心反演6iC2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動180o，接著中心反演8iC3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o和240o，接著中心反演6iC4，繞xyz軸轉(zhuǎn)動90o，接著中心反演3iC2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o，接著中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第20頁第20頁3、T群（TetrahedtonGroup，正四周體群)

A2A1A3A4與O群比，少6C4，6C2兩種對稱性1C1，不動，群元E4C3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o（3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）4C23，繞對角線轉(zhuǎn)動240o（3-度對稱）T群有4類，12個群元，有4個不可約表示T群有三個1-維表示，一個3-維表示。第21頁第21頁4、Th群

T群12個真轉(zhuǎn)動，加上中心反演，又有12個非真轉(zhuǎn)動，因此共有24個操作。共分為8個類。1C1，不動，群元E4C3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o（3-度對稱）3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）4C23，繞對角線轉(zhuǎn)動240o（3-度對稱）i，關(guān)于中心反演4iC3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o，接著中心反演3iC2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o，接著中心反演4iC23，繞對角線轉(zhuǎn)動240o，接著中心反演Th群有6個1-維表示，2個3-維表示。第22頁第22頁4、Td群(兩種原子構(gòu)成四方晶體)除T群12個操作外。尚有12個操作：6iC2和6iC4。共24個操作，分為5個類。1C1，不動，群元E8C3，繞對角線轉(zhuǎn)動120o和240o（3-度對稱）T群中4C3和4C23合并成一類3C2，繞xyz軸轉(zhuǎn)動180o（2-度對稱）6iC2，繞對邊中點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動180o，接著中心反演將T群中4C3和4C23合并成一類6iC4，繞對角線轉(zhuǎn)動90o和270o，接著中心反演Td群有2個1-維表示，1個2-維表示，2個3-維表示。第23頁第23頁5個立方體群互相關(guān)系第24頁第24頁4.1.3點(diǎn)群符號和圖示

點(diǎn)群符號有兩種：IS制（也叫Hermann-Mauguin）符號：簡寫IS符號，H.M符號Schoenflies（熊夫利斯符號）符號，簡寫Sch符號

第25頁第25頁注意：四度反軸不等于四度軸加反演中心C3h六重轉(zhuǎn)反軸≡六重軸加垂直于它對稱面

S4四重轉(zhuǎn)反軸

C3i三重轉(zhuǎn)反軸≡三重軸加對稱中心

S2

=CS同對稱面

二重轉(zhuǎn)反軸≡垂直于軸對稱面

Ci=S11無

一重轉(zhuǎn)反軸≡對稱中心

C66六重旋轉(zhuǎn)軸

C44■

四重旋轉(zhuǎn)軸

C33▲

三重旋轉(zhuǎn)軸

C22

二重旋轉(zhuǎn)軸

C11無

一重旋轉(zhuǎn)軸

CS=S2

m直線或圓圈

對稱面

Ci=S1

1無

對稱中心

Sch.I.S圖示（標(biāo)識）

對稱要素

第26頁第26頁晶體含有對稱操作：Cn：繞晶體主軸作角度轉(zhuǎn)動，n＝1，2，3，4，6Dn：含有Cn對稱晶體，同時存在n根與主軸垂直2-度軸，n＝2，3，4，6Cnh：含有Cn對稱晶體，同時含有一個與主軸垂直水平面作為反射鏡面，n＝1，2，3，4，6，n為偶數(shù)時，Cnh還含有反演操作Cnv：含有Cn對稱晶體，同時含有包括主軸豎直平面作為反射鏡面，n＝2，3，4，6Sn：含有n重非合法轉(zhuǎn)動對稱晶體，n＝2，3，6n＝3時，S3＝C3h第27頁第27頁晶體含有對稱操作：Dnh：含有Dn對稱晶體，同時含有一個水平面反射鏡面，n＝2，3，4，6Cnv：含有Dn對稱晶體，同時含有包括主軸豎直平面作為反射鏡面，n＝2，3立方晶系5種點(diǎn)群：T，Td，Th，O，Oh第28頁第28頁立方系晶體和六方系晶體等也許含有最多操作能夠查表。普通，對稱性較低晶體含有對稱操作要少一些。晶體也許含有點(diǎn)群操作可構(gòu)成一個群——晶體點(diǎn)群，它決定晶體宏觀對稱性。

能夠證實(shí)：獨(dú)立點(diǎn)操作對稱要素有：（IS）1，2，3，4，6，I，m，

這8個點(diǎn)對稱要素共有32種組合（見書）。相應(yīng)地，每種組合操作構(gòu)成一個點(diǎn)群，因此，共有32個點(diǎn)群。比如：不也許有垂直于三重軸或六重軸四垂軸（由于垂直于四重軸三重軸或六重軸都將“破壞”四重軸對稱性）

第29頁第29頁32個晶體點(diǎn)群第30頁第30頁第31頁第31頁32個晶體點(diǎn)群不可約表示特性標(biāo)表三斜晶系：單斜晶系：第32頁第32頁正交晶系：第33頁第33頁四角晶系：第34頁第34頁第35頁第35頁第36頁第36頁第37頁第37頁六角晶系：第38頁第38頁第39頁第39頁第40頁第40頁立方晶系：第41頁第41頁第42頁第42頁第43頁第43頁4.1.4晶格對稱性對固體性質(zhì)影響各向同性物體中：物理性質(zhì)與空間方向無關(guān)，可用一標(biāo)量來描述，如電導(dǎo)率，介電常數(shù)，極化系數(shù)等晶體中：物理性質(zhì)量通常是各向異性，普通用二階張量來描述，如電導(dǎo)率張量不同固體電導(dǎo)率相差很大，其原因是與晶格對稱