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莫興德廣西大學(xué)數(shù)信學(xué)院Email:moxingde@微積分第1頁(yè)第1頁(yè)鏈接目錄第一章函數(shù)第二章極限與連續(xù)第三章導(dǎo)數(shù)與微分第四章中值定理,導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五章不定積分第六章定積分第七章
無(wú)窮級(jí)數(shù)(不要求)第八章多元函數(shù)第九章微分方程復(fù)習(xí)第2頁(yè)第2頁(yè)參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國(guó)人民出版社[2]同濟(jì)大學(xué).高等數(shù)學(xué).高等教育出版社第3頁(yè)第3頁(yè)第三章導(dǎo)數(shù)與微分引例導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)基本公式與運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)微分第4頁(yè)第4頁(yè)3-3導(dǎo)數(shù)基本公式
(續(xù))
取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法
隱函數(shù)微分法
參數(shù)函數(shù)微分法第5頁(yè)第5頁(yè)隱函數(shù)求導(dǎo)法則第6頁(yè)第6頁(yè)隱函數(shù)求導(dǎo)法則F(x,f(x))0對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)(把當(dāng)作是中間變量):然后,從這個(gè)式子中解出y,就得到隱函數(shù)導(dǎo)數(shù).辦法:則將y=f(x)代入方程中,得到假如由方程F(x,y)=0擬定隱函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),第7頁(yè)第7頁(yè)解兩邊對(duì)x尋求導(dǎo)第8頁(yè)第8頁(yè)求由方程(x0)所擬定隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)y,并求方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo):故由原方程可得:F(0,y)=0ye0+
ey=0從而解例故第9頁(yè)第9頁(yè)求橢圓對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:故所求切線方程為:解整理后,切線方程為:例第10頁(yè)第10頁(yè)參數(shù)方程求導(dǎo)法則第11頁(yè)第11頁(yè)選擇一個(gè)適當(dāng)參數(shù)t后,形式,此式稱為函數(shù)y=f(x)參數(shù)方程.y=f(x)可表示為1.參數(shù)方程概念參數(shù)方程求導(dǎo)法則第12頁(yè)第12頁(yè)參數(shù)方程求導(dǎo)法則:設(shè)利用反函數(shù)求導(dǎo)法則可證實(shí)該法則第13頁(yè)第13頁(yè)橢圓上任意一點(diǎn)x處切線斜率為故從而,所求切線方程為:y=b.解例又第14頁(yè)第14頁(yè)星形線是一個(gè)圓內(nèi)擺線例第15頁(yè)第15頁(yè)解第16頁(yè)第16頁(yè)取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法第17頁(yè)第17頁(yè)然后,對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo):辦法:在條件允許情況下,對(duì)y=f(x)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù):注意:y是x函數(shù).取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法或第18頁(yè)第18頁(yè)取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法慣用來求一些復(fù)雜乘除式、根式、冪指函數(shù)等導(dǎo)數(shù).第19頁(yè)第19頁(yè)利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于x求導(dǎo):故解例第20頁(yè)第20頁(yè)利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法兩邊關(guān)于x求導(dǎo):解例第21頁(yè)第21頁(yè)整理得對(duì)這類型題用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法很以便哦!第22頁(yè)第22頁(yè)利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法解例第23頁(yè)第23頁(yè)故第24頁(yè)第24頁(yè)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則反函數(shù)導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法隱函數(shù)求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)辦法小結(jié)按定義求導(dǎo)第25頁(yè)第25頁(yè)3.4高階導(dǎo)數(shù)第26頁(yè)第26頁(yè)3.4高階導(dǎo)數(shù)一.高階導(dǎo)數(shù)概念高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則隱函數(shù)及參數(shù)方程擬定函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)第27頁(yè)第27頁(yè)一.高階導(dǎo)數(shù)概念例第28頁(yè)第28頁(yè)推而廣之:第29頁(yè)第29頁(yè)按照一階導(dǎo)數(shù)極限形式,有和第30頁(yè)第30頁(yè)一個(gè)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不一定再可導(dǎo),也不一定連續(xù).假如函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有直到n階導(dǎo)數(shù)
f(n)(x),且f(n)(x)仍是連續(xù)(此時(shí)低于n階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)),則稱f(x)在區(qū)間I上n階連續(xù)可導(dǎo),記為
假如f(x)在區(qū)間I上任意階高階導(dǎo)數(shù)均存在且連續(xù),則稱函數(shù)f(x)是無(wú)窮次連續(xù)可導(dǎo),記為第31頁(yè)第31頁(yè)…………解例第32頁(yè)第32頁(yè)注意,當(dāng)k=n時(shí)總而言之:第33頁(yè)第33頁(yè)解例第34頁(yè)第34頁(yè)多項(xiàng)式高階導(dǎo)數(shù).………………解例第35頁(yè)第35頁(yè)對(duì)多項(xiàng)式而言,每求一次導(dǎo)數(shù),多項(xiàng)式次數(shù)減少一次;
n次多項(xiàng)式n階導(dǎo)數(shù)為一常數(shù);不小于多項(xiàng)式次數(shù)任何階數(shù)導(dǎo)數(shù)均為0.第36頁(yè)第36頁(yè)求y=ex各階導(dǎo)數(shù).解y=ex任何階導(dǎo)數(shù)仍為ex例第37頁(yè)第37頁(yè)求y=ax各階導(dǎo)數(shù).解利用數(shù)學(xué)歸納法可得例第38頁(yè)第38頁(yè)求y=lnx各階導(dǎo)數(shù).解設(shè)例第39頁(yè)第39頁(yè)類似地,有則故由數(shù)學(xué)歸納法得第40頁(yè)第40頁(yè)解注意這里辦法例第41頁(yè)第41頁(yè)即類似地,有第42頁(yè)第42頁(yè)解看出結(jié)論沒有?例第43頁(yè)第43頁(yè)利用數(shù)學(xué)歸納法能夠證得類似地,可求得第44頁(yè)第44頁(yè)解例第45頁(yè)第45頁(yè)解二階導(dǎo)數(shù)經(jīng)常碰到,一定要掌握.例第46頁(yè)第46頁(yè)解由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則,得例第47頁(yè)第47頁(yè)解例第48頁(yè)第48頁(yè)高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則設(shè)f(x),g(x)有直到n階導(dǎo)數(shù),則(1)(2)萊布尼茲公式兩個(gè)基本公式第49頁(yè)第49頁(yè)由于故解例第50頁(yè)第50頁(yè)解由萊布尼茲公式例第51頁(yè)第51頁(yè)證看出一點(diǎn)什么沒有?你打算怎么處理此式?例第52頁(yè)第52頁(yè)對(duì)上式關(guān)于x求導(dǎo)n次:故即第53頁(yè)第53頁(yè)隱函數(shù)及參數(shù)方程擬定函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)原則是:按照高階導(dǎo)數(shù)定義,利用隱函數(shù)及參數(shù)方程所擬定函數(shù)求導(dǎo)法則逐階進(jìn)行求導(dǎo).第54頁(yè)第54頁(yè)對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo):解想想如何求二階導(dǎo)數(shù)?例第55頁(yè)第55頁(yè)第56頁(yè)第56頁(yè)對(duì)方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得:對(duì)該方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo):解從而其中,例第57頁(yè)第57頁(yè)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)解例第
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