仿射變換下的區(qū)域面積之比

第1頁仿射變換下的區(qū)域面積之比2007年高考江蘇卷出了一道耐人尋味的小題：在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域A，且，則平面區(qū)域B的面積為（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．這道題貌似線性規(guī)劃的問題，本質(zhì)上卻是以仿射幾何為背景，求一封閉圖形區(qū)域經(jīng)過仿射變換后圖形區(qū)域的面積，本文將對它的解法與拓展作些探討。1．代點法?？荚嚱Y(jié)束后，一學(xué)生告訴我,他是這樣解的：A是一個三角形區(qū)域，它的三個頂點坐標是O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，將這三點的坐標代入中得：O’（0,0）、M’（1,1）、N’(1,-1)，畫出由O’、M’、N’三點確定的三角形區(qū)域B，求得區(qū)域B的面積為1，從而選B。這種解法很巧妙，因為給定的變換為仿射變換，其將直線仍變成直線，所以也將OMN圍成的區(qū)域變成了O’M’N’所圍區(qū)域。該解法的巧妙之處在于回避了線性規(guī)劃問題中邊界交點問題，直接根據(jù)頂點來確定三角形的面積。2．常規(guī)解法。令，則，由區(qū)域A的條件得，用線性規(guī)劃的方法不難畫出區(qū)域B，求得其面積為1，答案選擇B。這個問題的實質(zhì)是將面積為的區(qū)域A，經(jīng)過仿射變換后變成了面積為1的區(qū)域B。（如下圖）3．高等數(shù)學(xué)的解法。如果用高等幾何的方法來解答本題，過程非常簡單，不必畫出區(qū)域B。根據(jù)定理“兩個三角形面積之比是仿射不變量”，仿射變換對應(yīng)的行列式的絕對值是2，區(qū)域A的面積是，，故區(qū)域B的面積是1。值得一提的是，近年來，具有高等數(shù)學(xué)背景的試題日益增多，本題是一個極好的典例。4．兩點拓展。從高等幾何學(xué)的知識可以知道，仿射變換的表達式一旦確定下來，那么變換后的區(qū)域B的面積與變換前的區(qū)域A的面積之比就確定了。在本題中，區(qū)域A的面積是固定的，區(qū)域B的面積完全取決于什么樣的仿射變換。由這一結(jié)論，我們根據(jù)高考題的模式作如下拓展：拓展一：在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域A，且，求平面區(qū)域E（的面積。它的高等幾何解法為：仿射變換對應(yīng)的行列式絕對值為=，區(qū)域A的面積是，故區(qū)域E的面積為，這是高考題的一般結(jié)論。它的初等解法涉及煩瑣的字母運算，所以我們借用行列式來求解。假設(shè)三角形區(qū)域A的三個頂點為，則區(qū)域A的面積為A==，經(jīng)過仿射變換后，三個頂點為，，根據(jù)仿射變換不改變區(qū)域A的形狀，區(qū)域E的面積為：E=====。拓展二：在仿射變換下，區(qū)域A不限于三角形（江蘇卷中的高考題只是三角形中的簡單情形，三個頂點非常特殊，且仿射變換中的均等于0），對于四邊形及一般封閉圖形，“”，結(jié)論仍成立，變換前后的區(qū)域面積之比只與有關(guān)。利用仿射變換的這一性質(zhì)，可以方便地求出橢圓的面積。設(shè)區(qū)域A，則區(qū)域B是一個以原點為圓心，為半徑的圓，由于仿射變換對應(yīng)的行列式絕對值，所以，圓的面積（區(qū)域B）是，從而橢圓的面積（區(qū)域A）。5．一點說明。上面的“代點法”僅適用于給出的變換是仿射變換的情形，如果不是仿射變換就不能用“代點法”。如：在平面直角坐標系中，已知平面區(qū)域A，且，則平面區(qū)域B的面積是。在這個問題中，區(qū)域A的三個頂點O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)經(jīng)過變換后分別變成了（0,0）、（1,0）、（0,1），但區(qū)域B不是這三點所確定的三角形，因而不能用三角形的面積公式求解，它是位于第一象限的