向量與向量的線性組合

向量與向量的線性組合第1頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五（一）向量及其線性運(yùn)算二維向量二元有序數(shù)組（x,y）(x,y)0三維向量三元有序數(shù)組（x,y,z）n維行向量n元有序數(shù)組ai

的第i個分量n維列向量1.定義第2頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五分量為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量。負(fù)向量n維(基本)單位向量：零向量特殊向量：或第3頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五2.

運(yùn)算相等加法減法數(shù)乘k(k>1)k(k<0)設(shè)第4頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五向量的加法與數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律：3.運(yùn)算律對于所有n維向量組成的集合，按定義的加法和數(shù)乘，滿足八條運(yùn)算法則，我們稱這個集合對規(guī)定的加法和數(shù)乘構(gòu)成一個n維向量空間。記為Rn.定義3.4（P.122（126）)與矩陣的加法、數(shù)乘運(yùn)算律同。第5頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例（P.123（127））解第6頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五用向量的觀點(diǎn)看矩陣則或第7頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五用向量的觀點(diǎn)看線性方程可寫成：即線性方程組的向量表示系數(shù)列向量第8頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五令稱為滿足方程的一個解向量。第9頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例（P.110(113))方程組若記方程組有解使得第10頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五（二）向量組的線性組合問題的提出：線性方程組可用向量表示為方程組是否有解的問題歸結(jié)為：是否存在一組數(shù)使得上式成立。則稱是向量組的線性組合或稱可由向量組線性表示（或線性表出）定義3.5（P.124(128)）對于給定的向量若存在一組數(shù)使得可否全為零？1.定義如前例第11頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例（P.124例3(129例2)）零向量是任何向量組的線性組合。設(shè)任一向量組為，一些常用結(jié)果零向量數(shù)零第12頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五n維單位向量組（基本向量）：例

（P.124例2(129例1)）任何n維向量都可由n維基本單位向量組線性表示。

例

（P.125例4（129例3））向量組中任一向量都可由這個向量組線性表出。因?yàn)榻M內(nèi)向量可由本組向量表示第13頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五2.能否表示的判定定理及求組合系數(shù)的方法對比線性方程組的向量表示：及線性組合的定義：知，

是否為向量組的線性組合，等價于方程組有無解，等價于

r(A|)是否等于r(A)。設(shè)其中第14頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五定理3.3

（P.124（128））

可由向量組線性表示以向量j為列！注意：若，j是行向量，則須組合系數(shù)為方程組的解。思考題：若可由向量組線性表示，問：“表示”是否唯一？列向量，行變換！第15頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例5P.125判斷向量是否各為下列向量組的線性組合。若是，寫出表示式。解(1)（表示唯一嗎？）第16頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五(2)第17頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五練習(xí)設(shè)R3中的向量判斷能否由1，2，3線性表示？若能，寫出一個表示式。解若不需寫出“表示式”，則不必化行簡化階梯形矩陣。（表示式不唯一，為什么？）第18頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五取x3=0,得x1=5,x2=-1.于是得線性表示式：再求一表示式取x3=1,得x1=6,x2=-3.第19頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五定義

設(shè)有兩個向量組?若向量組(A)的每個向量都可由向量組(B)中的向量線性表出，則稱向量組(A)可由向量組(B)線性表出。三、兩個向量組之間的關(guān)系

(P.125(137))即?若向量組(A)與向量組(B)可互相線性表出，則稱它們等價。(定義3.6）第20頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五線性表出的傳遞性：(A)可由(B)線性表出，(B)可由(C)線性表出，(A)可由(C)線性表出。設(shè)定理3.4（P.126（137定理3.8））證略第21頁，共24頁，2023年，2月20日，星期五例6P.126判斷下列向量組是否等價解因?yàn)樗?B)可由(A)線性表示。又所以(A)可由(B)線性表示。故向量組(A)與(B)等價。(C)可由(A)線性表示:但(A)不能由(C)線性表示:因不能由(C)線性表示故(A)與(C)不等價，由此(B)與(C)也不等價。為什么？第22頁，共24頁，2023年