向量共線的條件

向量共線的條件第1頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

引入：在學(xué)習(xí)向量概念時(shí)，我們們已給出向量共線的概念：如果向量的基線互相平行或重合，則稱(chēng)這些向量共線或互相平行。應(yīng)注意，這里說(shuō)的向量平行包含向量基線重合的情形，與兩條直線平行的概念有點(diǎn)不同第2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五向量共線的條件由向量平行和向量數(shù)乘的定義可以推知：平行向量基本定理如果，則；反之，如果()，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使為什么要求第3頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果則如果則，如果的長(zhǎng)度是長(zhǎng)的一半，并且方向相反，則

第4頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

給定一個(gè)非零向量，與

同方向且長(zhǎng)度等于1的向量，叫做向量

的單位向量。1或如果向量

的單位向量記作，由數(shù)乘向量定義可知

單位向量第5頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五鞏固練習(xí)判斷下列命題是否正確（√）（×）（×）（1）向量與向量平行，則向量與向量方向相同或相反。（2）向量與向量是共線向量則A、B、C、D四點(diǎn)必在一條直線上。（3）若干個(gè)向量首尾相連，形成封閉圖形則這些向量的和等于零向量。（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且長(zhǎng)度相等的幾個(gè)向量是相等向量。（√）第6頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五CABMN證明：M、N分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)例題講解（一）例1、如圖所示，、是的中位線。求證：,且

第7頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例題講解（二）例2、已知試問(wèn)向量與向量是否平行并求解：由得，代入得因此，與平行且定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，即存在唯一實(shí)數(shù)使，應(yīng)從向量的大小和方向兩個(gè)方面理解，借助實(shí)數(shù)溝通了兩個(gè)向量與的聯(lián)系第8頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算

軸的概念規(guī)定了方向和長(zhǎng)度單位的直線叫做軸已知軸取單位向量,使的方向與同方向，根據(jù)平行的條件，對(duì)于軸上任意向量一定存在唯一數(shù)，使反過(guò)來(lái)，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)，我們總能作一個(gè)向量，使它的長(zhǎng)度等于這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，方向與實(shí)數(shù)的符號(hào)一致。軸和數(shù)軸的區(qū)別想一想第9頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五當(dāng)與同方向時(shí)，是正數(shù)當(dāng)與反方向時(shí)，是負(fù)數(shù)

給定一向量能生成與它平行的所有向量的集合

這里的向量叫做軸的基向量。叫做在上的坐標(biāo)（或數(shù)量）（其中）第10頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五軸上兩個(gè)向量相等的條件是他們的坐標(biāo)相等；軸上兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的坐標(biāo)的和。設(shè)于是，得如果則反之，如果，則

第11頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五OABC設(shè)是軸上的一個(gè)基向量,顯然，，與絕對(duì)值相同，符號(hào)相反，即因?yàn)樗缘?2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五Ox

設(shè)向量平行于軸，以原點(diǎn)為始點(diǎn)作則點(diǎn)的位置被向量所唯一確定，由平行向量基本定理知，存在唯一的實(shí)數(shù)使，數(shù)值是點(diǎn)的位置向量在軸上的坐標(biāo)，也就是點(diǎn)在軸上的坐標(biāo)。Px第13頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在數(shù)軸上，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為即數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式為oA30BP于是得到第14頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五例題講解三

例3、已知數(shù)軸上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是4、-2、-6，求的坐標(biāo)和長(zhǎng)度。O4-2-6解：第15頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五基礎(chǔ)知識(shí)形成性練習(xí)1、把下列向量表示為數(shù)乘向量的形式（1）（2）（3）（4）第16頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五得（1）由（2）由得（3）由得（4）由得答案：第17頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2、已知：在中，求證：，并且因?yàn)樗?/p>

AMNCB第18頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3、在數(shù)軸上，已知求（1）（2）（3）（4）(1)

AB+BC=ACAC=3+5=8(2)AC=AB+BC=5+(-7)=-2(3)AC=AB+BC=(-8)+23=15(4)AC=AB+BC=-7+(-8)=-15第19頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4、已知數(shù)軸上三點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為求、、的坐標(biāo)和長(zhǎng)度設(shè)、、的坐標(biāo)分別為第20頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

提高練習(xí)已知兩個(gè)非零向量和不共線，如果求證：三點(diǎn)共線向量與向量共線，且有共同起點(diǎn)故三點(diǎn)共線。解：第21頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五變式引申已知非零向量和不共線，欲使和共線，是確定的值。解：因?yàn)楹凸簿€所以存在實(shí)數(shù)，使則由于與不共線，只能有，則第22頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五開(kāi)放創(chuàng)新

已知向量，其中不共線，向量問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使向量與共線？解：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)使與共線，要使與共線，則應(yīng)有實(shí)數(shù)，使即由得故存在這樣的使與共線第23頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)與日常生活

某人騎車(chē)以每小時(shí)a公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方吹來(lái)，而當(dāng)速度為2a公里時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來(lái)，試問(wèn)實(shí)際風(fēng)速和風(fēng)向。解:設(shè)表示人以每小時(shí)a公里的速度向東行駛的向量。在無(wú)風(fēng)時(shí)此人感到的風(fēng)速為。設(shè)實(shí)際風(fēng)速為,那么此人所

感到的風(fēng)速向量為.設(shè)，由于

從而B(niǎo)OPA這就是感到從正北方向吹來(lái)得風(fēng)速。第24頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五由于，從而于是，當(dāng)此人的速度是原來(lái)的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來(lái)的風(fēng)速就是由題意，得從而為等腰直角三角形，故即答：實(shí)際吹來(lái)的風(fēng)是風(fēng)速為的西北風(fēng)。

第25頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期五小結(jié)回顧向量共線的實(shí)質(zhì)是向量相等，即存在唯一的實(shí)數(shù)使=

定理內(nèi)容本節(jié)課主要運(yùn)用了直觀、類(lèi)比、特殊到一般的思維方法。同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)這些思維方法，提高理性思維的能力。軸