江蘇省姜堰市蔣垛2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)全真模擬密押卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

A.171.25cmB.172.75cm

C.173.75cmD.175cm

2.木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）

俯視圖

A.24萬(wàn)+96B.48萬(wàn)+9百C.484+18百D.144萬(wàn)+186

3.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60。，則雙曲線C的方程不可能為（）

22222222

A.二-匯=1B.工-工=1c.二_2=iD.r_r=1

155515312217

4.AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，CO平分N4C8,若麗=￡,GUB，問(wèn)=2,欠=1，則前=（）

N-1-J—q.-q.-3—

A.—ciH—bB.—ciH—bC.—ci4—bD.—ciH—b

33335555

5.已知a+4（a,"eR）是？的共軌復(fù)數(shù)，則&+/?=（）

\-i

11

A.—1B.---C.-D.1

22

6.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)4PF的平分線與x軸交于

（m,0）,則加的最大值為（）

A.3-20B.26-3C.2-V3D.2-夜

7.已知向量2=（-九4）,1=（加,1）（其中"?為實(shí)數(shù)），則“加=2”是“￡_1_"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知函數(shù)滿足/⑴=1,且/'（x）<l,則不等式/（聯(lián)同<聯(lián)彳的解集為（）

9.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=IT,在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.一袋中裝有5個(gè)紅球和3個(gè)黑球（除顏色外無(wú)區(qū)別），任取3球，記其中黑球數(shù)為X,則E（X）為（）

962

A.-D.

856

11.已知函數(shù)/。）=k）g“（|x-2|-a）（a>0,且。劃,則“/⑴在（3,+oo）上是單調(diào)函數(shù)”是“0<”「的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x+y>2,

12.若實(shí)數(shù)X，）'滿足不等式組3x-y?6,則3x+y的最小值等于（）

x-y>0,

A.4B.5C.6D.7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.過(guò)點(diǎn)A（-3,2）,3（-5,-2）,且圓心在直線3x—2y+4=0上的圓的半徑為.

14.己知函數(shù)/（x）=x（23-1）,若關(guān)于x的不等式71。2-2廠2/+/（以-3）,,0對(duì)任意的》41,3］恒成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是.

15.如圖，在矩形dSCD中，E為邊，D的中點(diǎn)，A3=l,BC=2,分別以A、O為圓心，1為半徑作圓弧￡8、

EC(E在線段AZ)上).由兩圓弧￡B、EC及邊3。所圍成的平面圖形繞直線血旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體

積為.

16.已知定義在R的函數(shù)f(x)滿足f(x)-/(-x)=O,且當(dāng)x>0時(shí)，W)<0,則丹10g3(X—1)]</⑴的解集為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)近年來(lái)，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來(lái)越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時(shí)選擇戴口罩，在一項(xiàng)對(duì)人們

霧霾天外出時(shí)是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了120人，其中女性70人，男性5()人，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)畫出等高條形圖

如圖所示：

幽彳:他“里

(1)利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)2x2列聯(lián)表；

(3)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.

n(ad-bc)2

(〃+b)(c4-d)(a+c)(b+d)

2

P(K)>k00.100.050.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

18.(12分)如圖，在四棱錐P—ABC。中,四邊形A3CD是直角梯形，A3，A。,AB//CD,PC，底面A3CO

AB=2A。=28=4,PC=2a,E,是心的中點(diǎn).

(1).求證:平面E4C_L平面P8C；

r

(2).若二面角P-AC-E的余弦值為—，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

3

19.(12分)如圖，已知四棱錐尸一48C。的底面是等腰梯形，AD//BC,AD=2,BC=4,ZABC=60°,APAD

為等邊三角形，且點(diǎn)尸在底面A3C。上的射影為AO的中點(diǎn)G,點(diǎn)E在線段上，且CE:刈=1:3.

(1)求證：平面PAD.

(2)求二面角A-PC-。的余弦值.

20.(12分)我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)

鏡.使用三年來(lái)，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀(jì)60年

代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)

是一定的，最小小到0.0014秒，最長(zhǎng)的也不過(guò)11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈

沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.

21.(12分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)

活動(dòng)的有效開展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前7天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，)'表示第x

天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下:

X1234567

y58810141517

(1)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出)'關(guān)于x的線

性回歸方程亍=BX+4；

(2)該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則

沒有購(gòu)物券.已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為,，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為2.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本

次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

〃__

.〃6.77,

參考公式：。=氣----------，a=y-bx,Z\y,=364,=140.

2-2/=1i=l

xi-nx

Ei=\

22.(10分)如圖，平面四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC,ZADC=9Q，AB=AD^2BC^2,將△AB。繞

著AD翻折到A/XO.

(1)M為PC上一點(diǎn),且兩=4就，當(dāng)BV/平面DWS時(shí)，求實(shí)數(shù)■的值:

(2)當(dāng)平面PAD與平面P8C所成的銳二面角大小為30時(shí)，求PC與平面ABC。所成角的正弦.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由題可得(0.005*2+a+0.020x2+0.040)xl0=l,MW?=0.010,

貝!!(0.005+0.010+0.020)x10=0.35,0.35+0.040x10=0,75>0.5,

所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為170+竽三空xl0=173.75(cm),故選C.

10x0.040

2.C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來(lái)的錐體，圓錐底面半徑為七人+(竽)2，圓錐的高卜=1(36)2一32，截去

的底面劣弧的圓心角為4,底面剩余部分的面積為S==之/sm4，利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為1=/32+(竽)2=6,圓錐的高丹=J(3后)2—3?=6,圓錐母線

/=762+62=672>截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

。。。1c

S=-7ir2+一/sin—=—,rx62+—x62xsin—=24zr+9V3,故幾何體的體積為:

323323

V=ls/?=1x(24^+973)x6=48^+1873.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問(wèn)題，考查了學(xué)生空間想象,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難度一般.

3.C

【解析】

判斷出已知條件中雙曲線C的漸近線方程，求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程，由此確定選項(xiàng).

【詳解】

兩條漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與x軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意，雙曲漸近線與x軸的夾角為30?；?0。,

雙曲線。的漸近線方程為？=±/》或丁=±百*4選項(xiàng)漸近線為);=±￥^,B選項(xiàng)漸近線為y=±6x,C選項(xiàng)

1L22

漸近線為y=±-x,D選項(xiàng)漸近線為y=土氐,所以雙曲線C的方程不可能為'v一會(huì)=1.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由CD平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得空==,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.

【詳解】

?.?8平分NACB,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得與=華，

DACA

又cG=Z，回=石，同=2,W=l,

:.—=2,.-.BD=2DA.

DA

.-.CD=CB+Bb=CB+-BA^a-(b-a)^-a+-b.

3+3、,33

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出上出的值，再利用共朝復(fù)數(shù)的定義求出a+加，從而確定“，6的值，求出4+從

1-z

【詳解】

1+<_(l+i)2_2z_

K7-(l+z)(l-/)-5一"

:.a+bi=~i9

.,.Q=0,b=-1,

Aa+b=-1,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共朝復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

x+1_1-m

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值,

7（X+1）2+4X]+相

求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解.

【詳解】

解：由題意可得，焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為*=-1,

過(guò)點(diǎn)尸作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得I尸F(xiàn)|=|PM=x+l,

記NKPF的平分線與x軸交于H(m,0),(-l<m<l)

|PF\|PM|\FH\

根據(jù)角平分線定理可得兩=兩=兩'

/..=-------

V(X+1)2+4X1+加’

當(dāng)x=0時(shí)，m=0,

，21—77?c__r-

/.---<-----<1t0<m<3-2V2，

21+m

綜上：0<m<3-2V2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)

生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

7.A

【解析】

結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，將兩個(gè)條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.

【詳解】

由力=2,^Aa-b=(-2,4)-(2,1)=-4+4=0>所以￡_1_5；而

當(dāng)則a_1,B=(T/?,4)?(根,1)=-，/+4=0,解得=2或/"=一2.所以

“加=2”是"a±b”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題考查平面向量的運(yùn)算，向量垂直，充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).

8.B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-X,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(X)-X,則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g'(X)=/'(X)-1,Q/'(x)<1,g'(x)<0,即函數(shù)g(x)為減函

數(shù),；/(I)=1,g(l)=/(I)-1=1-1=0,則不等式g(x)<0等價(jià)為g(x)<g⑴，

則不等式的解集為X>1,即/(X)<X的解為X>1,Qf(lg2x)<lg2x，由lg2%>1得Igx>1或Igx<-1,解得x>10

10

故不等式的解集為(0,。(10,+8)?故選：8.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是難題.

9.D

【解析】

求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.

【詳解】

復(fù)數(shù)z=1T在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),該點(diǎn)位于第四象限.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變

量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值有0、1、2、3,

貝”(X=0)=景點(diǎn)，p(x=l)=普卷p(x=2)=等=1|，p(x=3)隼=]

c8JOc8DOc8DOc8JO

因此，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x二+lx￥+2x；+3x」=g.

565656568

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

先求出復(fù)合函數(shù)/(x)在(3,+0。)上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關(guān)系，利用集合間包含關(guān)系與充

要條件之間的關(guān)系，判斷正確答案.

【詳解】

/(x)=loga(|x-21-a)(a>0,且awl),

由2|-a>()得x<2-a或x>2+a,

即/(x)的定義域?yàn)閧x|x<2-a或x>2+a},(a>0,且awl)

令f=|x-2|—a,其在(一叫2-a)單調(diào)遞減，(2+a,+oo)單調(diào)遞增，

2+a<3

/(x)在(3,+8)上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為<。>0

awl

即0<a<1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問(wèn)題，充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求z的最小值.

【詳解】

x+y>2

解：作出實(shí)數(shù)x,）'滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）

x-y>Q

x+y—2-0

由，得A(1,D,

x—y=Q

由z=3x+y得y=_3x+z,平移y=-3x,

易知過(guò)點(diǎn)A時(shí)直線在上截距最小，

所以23xl+l=4?

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.Vio

【解析】

根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，結(jié)合圓心所在直線方程，即可求得圓心坐標(biāo).由兩點(diǎn)間距離公式，即可得半徑.

【詳解】

因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-3,2）,3（-5,-2）

2-(-2)

則直線AB的斜率為A2

(-3)-(-5)

所以與直線AB垂直的方程斜率為《=

2

點(diǎn)A(—3,2),3(—5,—2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為M0)

所以由點(diǎn)斜式可得直線AB垂直平分線的方程為y=-；(x+4),化簡(jiǎn)可得x+2y+4=0

而弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，且圓心在直線3x-2y+4=0上,設(shè)圓心

。+2匕+4=0a=-2

所以圓心滿足《解得

3。―2。+4=0b=—\

所以圓心坐標(biāo)為。(一2,-1)

則圓的半徑為r=OA=-3+2/+(2+1產(chǎn)=回

故答案為：回

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系，直線與直線交點(diǎn)的求法,直線與圓的位置關(guān)系，圓的半徑的求法,屬于基礎(chǔ)題.

14.[T0]

【解析】

首先判斷出函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式f(x2-2x-2a)+f(ax-3)?0對(duì)任

意的xw[l,3]恒成立，可轉(zhuǎn)化為;？+3一2比-24-3,,0在工€[1,3]上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(-X)=-XQT-1)=-x(2w-l)=-/(x),

，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)了＞()時(shí)，函數(shù)〃x)=x(2'-l),顯然此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù),

函數(shù)/(X)為定義在R上的增函數(shù)，

不等式/(x2一2x-2。)+f(ax-3),,。即為Y一2x-263-辦，

X2+(a-2)x—2a—3?0在工￡[1,3]上怛成立,

1+?！?—2a—3?0

,解得T和70.

9+3(。-2)—2。-3?0

故答案為［T,0］.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，屬于常規(guī)題目.

15.生

3

【解析】

由題意，可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2；體積為

；兩個(gè)半球的半徑都為1,則兩個(gè)半球的體積為/=?A?3=A竺jr；則所求幾何體的體積為

33

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體的組合體.

【解析】

由已知得出函數(shù)是偶函數(shù)，再得出函數(shù)的單調(diào)性，得出所解不等式的等價(jià)的不等式|bg3（X-l）|>l，可得解集.

【詳解】

因?yàn)槎x在R的函數(shù)f（x）滿足f（x）-/（-x）=O,所以函數(shù)外可是偶函數(shù)，

又當(dāng)x>0時(shí)，xf\x）<0,得x>（）時(shí)，r（x）<0,所以函數(shù)f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，函數(shù)/（幻在（9，（））上單調(diào)遞增，

所以不等式丹我3@-1）］<］（1）等價(jià)于|1幅（％-1）|>1，即10g3（X-l）>l或1%（》一1）<-1,

解得l<x<g或x>4,所以不等式的解集為：卜q）54,+co）.

故答案為：［,§［口（4,+°0）.

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解，關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口

罩有關(guān)系

【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個(gè)深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系；

（2）填寫2x2列聯(lián)表即可；

（3）由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）在等高條形圖中，兩個(gè)深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個(gè)深色條的

高可以發(fā)現(xiàn)，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認(rèn)為性別與霧霾天

外出帶口罩有關(guān)系.

（2）2x2列聯(lián)表如下：

戴口罩不戴口罩合計(jì)

女性422870

男性203050

合計(jì)6258120

（3）由（2）中數(shù)據(jù)可得：卜='w…?x4.672>3.841.

62x58x50x70

所以，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為性別與霧霾天外出戴口罩有關(guān)系.

【點(diǎn)睛】

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了登高條形圖的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

/y

18.（1）見解析；（2）----,

3

【解析】試題分析：（1）根據(jù)/）。，平面鉆。。有/）。，4?,利用勾股定理可證明AC，BC,故AC，平面PBC,

[7

再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）在。點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角尸-AC-石的余弦值為2—建

3

立方程求得PC=2,在利用法向量求得PA和平面EAC所成角的正弦值.

試題解析：（I）vPC±平面48。。,4。（=平面46。3.?.4。，/>。

因?yàn)?8=4,4。=。。=2,所以4。=8。=近,所以4。2+8。2=482,所以4。_18。,又3。仆。。=。，所以

AC_L平面PBC.因?yàn)锳Cu平面EAC,所以平面E4C，平面PBC.

（H）如圖，

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，麗，麗，而分別為X軸、y軸、Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則

C(0,0,0),A(2,2,0),3(2,-2,0)/SP(0,0,2a)(a>0),則

C4=(2,2,O),CP=(O,O,2a),CE=(l,-l,t7)?im=(l,-l,O),貝|比?己5=玩.通=0,比為面PAC法向量.

設(shè)萬(wàn)=(x,y,z)為面E4C的法向量，則無(wú)。(=日?屋=0,

x+y=0

叫二z=。,取x=a,y=-a,z=-2,貝！|方=（。,一。,一2）

依題意上雙流刻=儒=島半，則Q=2.于是方=(2,—2,—2),麗=(2,2,T).

,一,PA?司、萬(wàn)

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為氏則sin6=cos〈序,萬(wàn)〉==—

1?PA.同3

萬(wàn)

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為—.

3

19.(1)證明見解析(2)叵

13

【解析】

(1)由等腰梯形的性質(zhì)可證得。4),由射影可得PG，平面ABCD,進(jìn)而求證；

(2)取8C的中點(diǎn)居連接GF,以G為原點(diǎn),G4所在直線為x軸,G/所在直線為y軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系,分別求得平面APC與平面DPC的法向量，再利用數(shù)量積求解即可.

【詳解】

(1)在等腰梯形ABC。中，

???點(diǎn)E在線段8c上，且CE:所=1:3,

???點(diǎn)E為8c上靠近C點(diǎn)的四等分點(diǎn)，

AD=2,BC=4,CE=\,

DEVAD,

???點(diǎn)尸在底面ABCD上的射影為的中點(diǎn)G,連接PG,

.?.PG_L平面ABCD,

\DEu平面ABCD,:.PGA.DE.

又ADcPG=G,ADu平面PAD,PGu平面PAD,

..Z)E_L平面PAD.

（2）取8C的中點(diǎn)凡連接GF,以G為原點(diǎn),GA所在直線為x軸,G/7所在直線為j軸,GP所在直線為z軸，建立空間直

由(1)易知,DE上CB,CE=l,

又ZABC=ZDCB=3,：.DE=GF=6

-.AD=2,4PAD為等邊三角形,PG=75,

則G(0,0,0),A(1,O,O),￡>(-1,0,0),p(0,0,回。(一2,6,0),

UUU_UUULUUUL----------?f—

AC=(-3,73,0),AP=(-1,0,43),DC=(-l,Go),O尸二(1,0,J3),

設(shè)平面APC的法向量為m=（M,y,4）,

m-AC=0-3%1+5/3-0

則一，即

m-AP=0-X1+5/3Zj=0

令玉=G，則M=3,Zj=1,/.m=(73,3,1),

設(shè)平面DPC的法向量為為=（%，%，Z2）,

n-DC=Q-九2+=0

則一，即

n-DP=Qx2+也Z[-0

令％2=6,則＞2=1/2=7n=(V3,1,-1),

設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為〃，則

\m-n\|3+3-1|\/65

陶,向至x石一13

二二面角A-PC-D的余弦值為叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查運(yùn)算能力與空間想象能力.

20.(1)79顆；(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得。，進(jìn)而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù);

(2)平均值的估計(jì)值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

(1)第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1

所以Zi=1-(0.1+0.2+0.3+0.2+0.05),a—0,075,

所以，自轉(zhuǎn)周期在2至1()秒的大約有93x(1-0.15)=79.05^79(顆).

(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).

故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，涉及到平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí)，是一道容易題.

21.(1)$=2x+3；(2)見解析

【解析】

試題分析：

(I)由題意可得亍=4,9=11,則3=2，a=3,)'關(guān)于x的線性回歸方程為9=2x+3.

(ID由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額X的可能取值有0、300、600、900、1200元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:

尸(X=0)=[,P(X=300)=2，P(X=600)=3，/>(X=900)=-?-.據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期

431836

望為￡X=400元.

試題解析：

(I)依題意：x=亍(1+2+3+4+5+6+7)=4,

17-

y=-(5+8+8+10+14+15+17)=11,?；=140,?戊=364,

7i=i(=1

]_￡=者》-7戲364-7x4x11

’二工：,一7#=140-7x16=2,a=y-bx=11-2x4=3>

則)'關(guān)于'的線性回歸方程為$=2x+3.

(II)二人所獲購(gòu)物券總金額X的可能取值有0、30()、600、900>1200元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為:

P(X=0)=gxg=；,P(X=300)=2cx—1x—1=—1P(X=600)=-x-+2xix-=—,

2339、7332618

P(X=900)=2x|x|=|,P(X=1200)=111

—