2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔學(xué)生用書第6章數(shù)列

第六章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

?最新考綱?

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).

2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，前“項(xiàng)和S”與數(shù)列的項(xiàng)斯之間的關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)列

的性質(zhì)與應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型以選擇與填空題為主，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中.

學(xué)科素養(yǎng)：通過求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義

數(shù)列按照________排列的一列數(shù)

數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的________

數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列｛如｝的第〃項(xiàng)an

數(shù)列｛斯｝的第n項(xiàng)斯與〃之間的關(guān)系能用公式_______表示，這個(gè)公式叫做

通項(xiàng)公式

數(shù)列的通項(xiàng)公式

前〃項(xiàng)和數(shù)列｛斯｝中，S產(chǎn)____________叫做數(shù)列的前〃項(xiàng)和

［提醒I數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在研究數(shù)列問題時(shí)，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又

要考慮數(shù)列方法的特殊性.

2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系

圖象法把點(diǎn)________畫在平面直角坐標(biāo)系中

通項(xiàng)

把數(shù)列的通項(xiàng)使用________表示的方法

公公式

式

遞推使用初始值〃1和%+1=洪斯)或0，〃2和斯+1=%〃，0L1)等表示數(shù)列的

法

公式方法

［提醒I(1)并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式；(2)同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式在形式上未必唯

3.數(shù)列的分類

分類原則類型滿足條件

有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)—

按項(xiàng)數(shù)分類

無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)—

遞增數(shù)列〃〃+1____

遞減數(shù)列斯+1____a〃其中

按項(xiàng)與項(xiàng)間1

"EN*

的大小關(guān)系常數(shù)列

斯+1=%

分類

從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，

擺動(dòng)數(shù)列

有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

二、必明2個(gè)常用結(jié)論

1.斯與S,的關(guān)系，若數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S”則為=

2Tp.<3.-1

￡W+】若如最小，則tw4+i

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或"X”）.

（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).（）

（2）1,1,1,1,…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.（）

（3）任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.（）

（4）如果數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S”則對(duì)V“GN*,都有為+1=5”+1—*.（）

（二）教材改編

2.［必修5-P67T2改編］數(shù)列｛"〃｝的前幾項(xiàng)為2,3,2,8,2,…，則此數(shù)

列的通項(xiàng)可能是（）

5?T

2=

A.an—B.Un

6a-510?-?

=22

C.anD.an=

<-iy

3.［必修5-P33T4改編］在數(shù)列｛%｝中，0=1,%=1+^（n^2）,則的=.

（三）易錯(cuò)易混

4.（忽視項(xiàng)數(shù)為整數(shù)的情況）數(shù)列｛呢｝中，a?=-n2+lln（nGN*）,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值

是.

5.（忽視〃=1的特殊情況）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和5“=/+1，則%=.

（四）走進(jìn)高考

6.［全國(guó)卷I］記S”為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若S“=2a“+1,則$6=.

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一數(shù)列的有關(guān)概念及通項(xiàng)公式［基礎(chǔ)性］

1.己知數(shù)列的通項(xiàng)公式為斯=〃2-8〃+15,則3()

A.不是數(shù)列｛〃“｝中的項(xiàng)

B.只是數(shù)列｛斯｝中的第2項(xiàng)

C.只是數(shù)列｛斯｝中的第6項(xiàng)

D.是數(shù)列｛斯｝中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)

357?

2.數(shù)列L-''8,一…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

n

A.an—(—l)-2

B.%=(一1-1

C.%=(—1)"LX

2B+1

D.斯=(一1產(chǎn).’

3.己知數(shù)列｛斯｝為5,55,555,5555,則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是斯=

反思感悟由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略

(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、

聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.

(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；

④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，

或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(—1)"或

neN*處理.

考點(diǎn)二由an與S,,的關(guān)系求通項(xiàng)a?［綜合性］

［例1］(1)設(shè)S,為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，若2s.=3%一3,則如=()

A.27B.81C.93D.243

■

(2)［2022?山西河津二中月考］設(shè)數(shù)列｛?。凉M足0+2“2+2243+…+2"一|如=1〃eN*),

則｛&｝的通項(xiàng)公式為斯=()

1111

A.能B.kc.D.科

(3)已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S.=/+2"+l,則a,,=.

聽課筆記:

反思感悟

1.已知S,求a?的三個(gè)步驟

(1)先利用0=S|求出“I；

(2)用n-\替換S“中的〃得到一個(gè)新的關(guān)系，利用一便可求出當(dāng)

時(shí)斯的表達(dá)式;

(3)對(duì)”=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合〃22時(shí)a“的表達(dá)式，如果符合，則可以把

數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分“=1與〃》2兩段來(lái)寫.

2.S,與斯關(guān)系問題的求解思路

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化.

(1)利用斯=5“一%-1("22)轉(zhuǎn)化為只含$“，Sn-\的關(guān)系式.

(2)利用S,—&-1=%(〃22)轉(zhuǎn)化為只含斯，斯-1的關(guān)系式，再求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?孝感模擬］已知數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和S“=2〃2+l,“WN*,則的一0=()

A.13B.14

C.15D.16

2J2022?遼寧省實(shí)臉中學(xué)模擬］設(shè)數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S,”且S,=23,-1),則〃“=()

A.2nB.2/7—1

C.2nD.2〃-1

3.設(shè)數(shù)列｛〃〃｝滿足〃1+3白2+…+(2〃-l)a〃=2",則an=.

考點(diǎn)三由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式［創(chuàng)新性］

角度1形如%+1=%+1〃)，求斯.(累加法)

［例2］設(shè)數(shù)列｛%｝滿足卬=1,且斯+|—%=〃+l(〃WN*),求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式.

聽課筆記：

角度2形如知+|=4而?)，求知.(累乘法)

*—1

［例3］在數(shù)列｛斯｝中，0=1,an=如-1（〃22）,求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

聽課筆記：

角度3形如a"+i=Aa“+B（AWO且AW1）,求知.（構(gòu)造法）

［例4］已知數(shù)列｛?。凉M足0=1,an+i=3an+2,求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

聽課筆記：

角度4形如斯+i=-X（A,B,C為常數(shù)），求知（取倒數(shù)法）

［例5］已知數(shù)列｛"”｝中，"1=1,??+1=(nGN*),則數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式a?=

聽課筆記:

反思感悟

累加法形如=%+/(〃)

由

項(xiàng)

遞

公

式

推

的

公

構(gòu)造等比數(shù)列

方

式

法

求

通

兩邊取倒數(shù)

兩邊取對(duì)數(shù)

因式分解

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?赤峰模擬](一題多解)設(shè)數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S”，0=1,｛&+“/”｝為常數(shù)歹I」,

則4〃=()

尹B-(■-?)

1S-&

(>+班?叫八—

2.[2022?保定模擬]己知數(shù)列可，，…是首項(xiàng)為1,公比為2的等

比數(shù)列，則log2斯=()

A.〃(〃+l)B.

■O+D

C.34D.

3.[2022?張家界模擬]若數(shù)列｛〃"｝中，3=1,小+尸則這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)mo

=()

11

A.28B.29C.28D.m

4.[2022?衡水檢測(cè)]設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S“，己知0=1,5?+1-2Sn=l,〃GN*,則

數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式為.

考點(diǎn)四數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［綜合性］

角度1數(shù)列的周期性

［例6］［2022?黑龍江哈師大附中月考］設(shè)數(shù)列｛%｝滿足0=2,且對(duì)任意正整數(shù)"，總有

（如+1—1）（1一%）=2斯成立，則數(shù)列｛如｝的前2023項(xiàng)的乘積為（）

A."B.1C.2D.3

聽課筆記：

反思感悟解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

角度2數(shù)列的單調(diào)性

［例7］已知等差數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和為S“（〃eN"）,且%=2〃+九若數(shù)列｛S“｝（〃》7,

〃GN*）為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

聽課筆記：

反思感悟解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法

作差

根據(jù)斯+1—斯的符號(hào)判斷數(shù)列｛如｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列

比較法

作商

比較法根據(jù)（飆＞0或許＜0）與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷

數(shù)形

結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷

結(jié)合法

角度3數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)

［例8］（1）若數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)知=善不，則數(shù)列｛m｝中的最大項(xiàng)是第項(xiàng).

（2）［2022.大慶模擬］已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=（〃+2）-，則數(shù)列｛為｝的項(xiàng)取最

大值時(shí)，n=.

聽課筆記：

反思感悟求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)兀v）當(dāng)xCN*時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)火x）的類型作出相應(yīng)的函

數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出式x）的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)；

（2）通過通項(xiàng)公式小研究數(shù)列的單調(diào)性，利用一（〃》2）確定最大項(xiàng)，

［%三限】利用（〃22）確定最小項(xiàng)；

（3）比較法：若有小+|一%=/（〃+1）-/（〃）＞0（或斯＞0時(shí)，、＞1）,則斯+|＞%，則

數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列，所以數(shù)列｛&｝的最小項(xiàng)為41=犬1）；若有4+1—&=八"+1）—_/（“）＜0（或

的

%＞0時(shí)，、＜1）,則即+|＜如，則數(shù)列｛斯｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛斯｝的最大項(xiàng)為0

=/1）.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?廣元聯(lián)考］已知數(shù)列｛%｝,若如+|=%+斯+2（"GN*）,則稱數(shù)列｛%｝為“凸數(shù)

列”.已知數(shù)列｛d｝為“凸數(shù)列"，且"=1,岳=一2,則｛d｝的前2022項(xiàng)的和為（）

A.OB.1C.-5D.-1

?一7

2.［2022?湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考］已知期=?T°（"GN*）,設(shè)斯,為數(shù)列｛?。?/p>

最大項(xiàng)，則tn—.

微專題24滲透美育教育凸顯數(shù)學(xué)之美五育并舉

［例］［2020?全國(guó)卷H］北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層.上

層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)

依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已

知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

解析：由題意可設(shè)每層有〃個(gè)環(huán)，則三層共有3”個(gè)環(huán)，每一環(huán)扇面形石板的塊數(shù)構(gòu)

成以0=9為首項(xiàng)、9為公差的等差數(shù)列且項(xiàng)數(shù)為3〃.不妨設(shè)上層扇面形石板總數(shù)為

多,中層總數(shù)為S2,下層總數(shù)為S3,AS3-S2=[9（2/1+1）.?+X9]-[9(n+l)-n+

心F

3X9]=9M2=729,解得”=9（負(fù)值舍去）.則三層共有扇面形石板（不含天心石）27X9

27X26

+1X9=27X9+27X13X9=27X14X9=3402(塊).故選C.

答案：C

名師點(diǎn)評(píng)“美”是景與情的交融，破解此類以數(shù)學(xué)之美為背景的數(shù)列題的關(guān)鍵：一是

能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，如本題，根據(jù)已知條件和圖形構(gòu)建出等差數(shù)列模型；二是會(huì)用公式，如

本題，會(huì)利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，即可快速求出結(jié)果.

|變式訓(xùn)練][2022?云南西南聯(lián)考]一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏

時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔

群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢(shì)自上而下各層的塔

數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,若該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成等差數(shù)列，則該塔群共有（）

A.10層B.11層C.12層D.13層

第六章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

積累必備知識(shí)

1.一定順序每一個(gè)數(shù)

2.（〃，an）公式

3.有限無(wú)限><

1.答案：（1）J（2）X（3）X（4）V

1611162]

解析：數(shù)列為尸尸了.三，7

2.…，其分母為2,分子是首項(xiàng)為1,公差為

5?T

5的等差數(shù)列，故通項(xiàng)公式為呢==.

答案：A

3.解析：02=1+**=2,“3=1十吸=。4=[+"=3,。5=1

(-1>12

?>4_3

2

答案:3

11121

4.解析：〃”=一4+11〃=—(〃-2)2+4,VnGN*,...當(dāng)〃=5或”=6時(shí),

斯取最大值30.

答案：30

5.解析：當(dāng)〃=1時(shí)，ai=S]=l+l=2,當(dāng)時(shí)，arl—S,i—S”-i=2〃-1,經(jīng)檢驗(yàn),

n=1.

(2、

且nelT.

當(dāng)"=1時(shí)，不符合上式，二小二

f2n=1)

[2n-1,n>2fine>F

答案：an=

6.解析：根據(jù)S〃=2斯+1,可得S〃+i=24〃+]+1,兩式相減得④+產(chǎn)2斯+L2斯,即

+】=2斯，當(dāng)n—1時(shí)，S]=〃i=2ai+1,解得ci\=-1>所以數(shù)列｛斯｝是以-1為首項(xiàng)，2為

一皿3)

公比的等比數(shù)列，所以S6=1T=-63.

答案：一63

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：令小=3,即〃2—8〃+15=3,解得〃=2或6,故3是數(shù)列｛%｝中的第2項(xiàng)或

第6項(xiàng).故選D.

答案：D

2.解析：該數(shù)列是分?jǐn)?shù)形式，分子為奇數(shù)2〃+1,分母是2",各項(xiàng)的符號(hào)由(-I)'+'

來(lái)確定，所以D選項(xiàng)正確.故選D.

答案：D

3.解析：將原數(shù)列改寫為勺9,以99,以999,…，易知數(shù)列9,99,

5

999,…的通項(xiàng)公式為故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為斯=

5

答案：

考點(diǎn)二

=

例1解析：⑴根據(jù)2s〃=3斯一3,可得2S〃+i=3a〃+i—3,兩式相減得2an+\3an+i^

3an,即斯+i=3斯,當(dāng)〃=1時(shí)，2s1=3勿一3,解得小=3,所以數(shù)列｛斯｝是以3為首項(xiàng),3

為公比的等比數(shù)列，所以44=〃可3=34=81.故選B.

■1

2n-

(2)Va\+2?2+2a3+???+2'a,,=1〃GN*),.?.易知〃》2時(shí)，2"一％”=L又⑶

11

=2,...對(duì)一切〃WN*,2"一口=5

1

Un-',故選C.

(3)當(dāng)〃=1時(shí)，?1=Si=1+2+1=4；當(dāng)時(shí)，a“=S“一S“T=2”+1.經(jīng)檢驗(yàn)，G=4

n=1.

1?n>2.

不適合a”=2〃+l,故小=U

答案：(1)B(2)C

f4,n=l,

l2n+1,nt2且neW

(3)

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：：&=2m+1,“GN*

2

.,.at=5i=2Xl+l=3,

22

a5=S5-54=(2X5+l)-(2X4+1)=18,

|1105—<21=18—3=15,故選C.

答案：C

2.解析：當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=2(0—1),可得0=2；當(dāng)”22時(shí),a?=Sn—Sn-i=2an

—2斯-1,...斯=2斯-1,，數(shù)列｛a”｝為等比數(shù)列,公比為2,首項(xiàng)為2,.,.通項(xiàng)公式為斯=2",

故選c.

答案：c

3.解析:???〃]+3公+…+(2〃-1)?！?2〃，

=21=2.

當(dāng)“22時(shí),3+3〃2+???+(27-3)&-1=2“一1,兩式相減得(2〃-1)④=2〃-1,

.?.斯=",經(jīng)檢驗(yàn)，0=2不符合上式.

f2.n=l.

(―.n三2且neIT.

三，n>2fineN*

答案:Z*1

考點(diǎn)三

例2解析：由題意有42—61=2,。3—42=3,…，如一斯-1=〃（〃22）.

g一1〕（7甸■JT

以上各式相加，得斯—〃i=2+3+…+〃=

又???4=1,???斯Z(〃22).

二當(dāng)九=1時(shí)也滿足此式，，斯3(wSN,).

例3解析：:斯

?T

三斯-3,…，改=

以上（〃一1）個(gè)式子相乘得

Cln—ClV

當(dāng)〃=1時(shí)，0=1,上式也成立.

例4解析：???斯+]=3%+2,

恁+1+1=3(?！?1),

3+1

■B+1=3,?,?數(shù)列｛跖+1｝為等比數(shù)列,公比q=3,

又°1+1=2,?'.a〃+1=2,3"',

???呢=2?3〃一］一1(〃￡N").

例5解析：:斯+1=

B是以1為首項(xiàng)，？為公差的等差數(shù)列,

11.十1

"=1+("—1)X'=',

答案：

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：方法一(累乘法)因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃且〃]=1,

所以S]+1X防=1+1=2.

因?yàn)椋际?〃｝為常數(shù)列，所以由題意知，S〃+w〃=2,

當(dāng)幾22時(shí)(〃+1)〃“=(〃一1)斯-1,

七±±士_

從血???…?

12*-1

=3彳.….初

?

所以a,尸當(dāng)〃=1時(shí)上式成立,

所以〃，尸樂而

方法二(特值驗(yàn)證法)由0=1,{&+〃”“}為常數(shù)列，可得SI+1X“I=1+1=2,故S”

+〃斯=2.

當(dāng)n=l時(shí)，3=1,排除C；

當(dāng)n=2時(shí)，§2+2X42=2,

1

即ai+s+2s=2,即3a2=1,。2=3,A,B,D都滿足;

當(dāng)n=3時(shí)，§3+343=2,

1

即1+*+4。3=2,

1

解得“3=6,排除A、D.

答案：B

2.解析：…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

=2".….21.]

心7

log^2F--z-

則k)g2〃〃==，故選D.

答案：D

3.解析：因?yàn)樗?|=兩邊取倒數(shù)得***-=3,又0=1,所以數(shù)列

⑤是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列，所以t1+(/J_1)X3=3?-2,即「

3?T,所以mo=3X1O~1=相，故選c.

答案：c

4.解析：因?yàn)镾,+i-2S”=l,

所以S“+i=2S“+l.

因此S,+i+l=2(S,+l),因?yàn)閍i=0=l,S+l=2,所以｛S“+l｝是首項(xiàng)為2,公比為2

的等比數(shù)列.

所以S“+l=2",S"=2"—1.

當(dāng)“22時(shí)，a?=S?—S?-i=2"~',G=1也滿足此式，

所以%=2廣|,“GN’.

l

答案：an=2"-,〃GN*

例6解析：由題意知1-所以q〃+]—1+.又4]=2,所以〃2=1+

。1—12a4

=—3,6J3=1+】F=_：。4=1+[?=4=1+1~**=2=01,?"

由此可得數(shù)列｛斯｝是周期為4的數(shù)列.又因?yàn)?42。3a4=1,所以可以得到數(shù)列｛斯｝的前2023

項(xiàng)的乘積為(ma2a3a4)5°50a2a3=2X(—3)X(一‘)=3.故選D.

答案：D

例7解析：當(dāng)”27時(shí)，數(shù)列｛SJ為遞增數(shù)列，設(shè)S”+i>S,”即S“+i-S,=a,,+i>0,

斯+1=2(”+1)+2>0,則2>—2n—2.

又,：ti》7,；.一2”一2W—16,即2>―16.

答案：(-16,+8)

94

x

例8解析：⑴令1Ax)=x+(x>0),由基本不等式得兀v)22

6而，當(dāng)且僅當(dāng)尸3同時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)樗?叱，所以*X

型2_

=8，由于〃GN*,故當(dāng)〃=9或〃=10時(shí)，a,,="為最大值.

作"'PTO空^

(2)因?yàn)樗?i—斯=(〃+3>卬一(〃+2>"J=W，t7—(”+2)]

=r?

當(dāng)“<4時(shí)，斯+i—%>0,Bpan+i>an;

當(dāng)〃=4時(shí)，an+\—an=0,即”"+1=<7"；

當(dāng)〃>4時(shí)，an+i—an<0,即小+1〈%.

所以該數(shù)列中最大項(xiàng)為第4項(xiàng)和第5項(xiàng).

答案：(1)9或10(2)4或5

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1?解析：,??兒+2=兒+1—bn,Z?1=1,.=-2,

/.hy=b2-b\=-2-1=-3,

64=/?3—岳=—1,

35=①一〃3=-1-(-3)=2,

86=岳-84=2_(—1)=3,

歷=。6—兒=3—2=1.

，｛瓦｝是周期為6的周期數(shù)列,

且§6=1—2—3—1+2+3=0.

§2022=5337X6=0.

答案：A

?T也一］

2.解析：a,,=**=1+三出(〃GN*),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)"W7或”》8

時(shí)，數(shù)列｛斯｝為遞減數(shù)列.因?yàn)楫?dāng)〃W7時(shí)，an<\,當(dāng)九28時(shí)，斯>1,所以〃8為最大項(xiàng)，可

知m=8.

答案：8

微專題Q滲透美育教育凸顯數(shù)學(xué)之美

變式訓(xùn)練

解析：設(shè)該數(shù)列為｛如｝,依題意可知，的，“6,…成等差數(shù)列，且公差為2,45=5,

設(shè)塔群共有"層，則&=1+3+3+5+5(〃-4)+1X2=108,

解得”=12,所以該塔共有12層，故選C.

答案：C

第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

?最新考綱?

1.理解等差數(shù)列的概念.

2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

3.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題.

4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：等差數(shù)列的判斷與證明，等差數(shù)列的基本運(yùn)算，等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用仍是

高考考查的熱點(diǎn)，三種題型都有可能出現(xiàn).

學(xué)科素養(yǎng)：通過等差數(shù)列的證明考查邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過等差數(shù)列的基本運(yùn)算及

性質(zhì)的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開端

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.等差數(shù)列的概念

(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于,那么這個(gè)數(shù)

列就叫做等差數(shù)列；數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an+l-an=d(nGN^d為常數(shù)).

(2)如果三個(gè)數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng).

［提醒］(1)">0=｛%｝為遞增數(shù)列；

(2)d=0=｛a,J為常數(shù)列；

(3)dV0=｛a,,｝為遞減數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

(1)若等差數(shù)列｛如｝的首項(xiàng)是G，公差為4,則其通項(xiàng)公式為斯=；

(2)前n項(xiàng)和公式：.

3.等差數(shù)列的性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣：(〃，，〃GN+)；

(2)若｛%｝為等差數(shù)列，且/+/=加+”(/,I,m,n€N+),則；

(3)若｛斯｝是等差數(shù)列，公差為4,則a*,ak+m>ak+2m>…(k,〃?GN+)是公差為

的等差數(shù)列；

(4)若S,為等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和，則數(shù)列S“，S2mf,S3”,一電加，…也是等差數(shù)歹小

(5)若S”為等差數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列I"也為等差數(shù)歹ij.

二、必明2個(gè)常用結(jié)論

1.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)

⑴若項(xiàng)數(shù)為2〃，則SLSLM,、=**'；

(2)若項(xiàng)數(shù)為2〃一1(〃22),則S倒=(〃一1)”“，Sn=nan,S奇一5鳴=

士

2.兩個(gè)等差數(shù)列｛知｝,｛瓦｝的前〃項(xiàng)和S,,7；之間的關(guān)系為《=1*'.

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“，”或"X”).

(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)

歹%()

(2)數(shù)列｛”“｝為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意都有2即+|=斯+飆+2.()

(3)數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為“的一次函數(shù).()

(4)已知數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式是a“=p〃+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛““｝一定是等差數(shù)

列.()

(5)等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù).()

（二）教材改編

2.［必修5甲44例2改編］己知&為等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，“2=2,$4=14,則1等于

）

A.32B.39C.42D.45

3［必修5,P39練習(xí)改編］在等差數(shù)列｛斯｝中,若43+44+45+46+47=450,則改+制

（三）易錯(cuò)易混

4.（忽視等差教列為0的項(xiàng)）在等差數(shù)列｛斯｝中，|的|=|㈤，公差d<0,則使數(shù)列｛斯｝的

前〃項(xiàng)和S,取得最大值的正整數(shù)n的值是.

5.（忽視等差數(shù)列相鄰項(xiàng)的籽號(hào)）在首項(xiàng)為28的等差數(shù)列｛斯｝中，從第8項(xiàng)開始為負(fù)數(shù),

則公差d的取值范圍是.

（四）走進(jìn)高考

6.［2020?全國(guó)卷II］記S”為等差數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和.若0=—2,a2+a6=2,則$0=

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算［基礎(chǔ)性］

1.［2021?廣東省揭陽(yáng)市高三期中］已知｛”“｝為等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為S,“若s=6,S3

=12,則公差”等于（）

A.1B.C.2D.3

2.［2022?廣西南寧適應(yīng)性考試］記S”為等差數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和,若s=2,§4=7,則

數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式斯=（）

?十1

A.n~\B.*1234

C.2n~4D.（“一1）（"-2）

3.［2022?福建廈門市測(cè)試］已知公差不為0的等差數(shù)列｛”“｝中，42+〃4=。6，"9=

貝!laio=.

4.［2022?四川遂寧市測(cè)試］已知等差數(shù)列｛?。凉M足的+。3=8,a2+o4=14,則它的前8

項(xiàng)的和$8=（）

A.70B.82C.92D.105

反思感悟等差數(shù)列運(yùn)算問題的通性通法

（1）等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出公差d,然后由通項(xiàng)公式或前八項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為

方程（組）求解.

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a?,d,n,S,?知其中三個(gè)

就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.

（3）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而0和d是等差數(shù)

列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法.

考點(diǎn)二等差數(shù)列的判定與證明［綜合性］

［例1］（1）［2021?全國(guó)甲卷］己知數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S.為｛如｝的前〃項(xiàng)和，從

下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛?。堑炔顢?shù)列；②數(shù)列｛戒｝是等差數(shù)列；③"2=30.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

5理

(2)已知數(shù)列｛斯｝中，s=I其前〃項(xiàng)和為S”，且滿足斯=k，ri(〃22).求證:

數(shù)列修是等差數(shù)列.

聽課筆記：

一題多變

理J

(變條件，變問題)若例1(2)中“斯=.r(〃22)”改為"S”=2Vt+1(H>2)w

且其他條件不變.

(1)證明：數(shù)列2是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.

反思感悟等差數(shù)列的判定與證明方法

如果一個(gè)數(shù)列｛“”｝從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的

定義法前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么可以判斷數(shù)

列k｝為等差數(shù)列

等差如果一個(gè)數(shù)列｛〃“｝對(duì)任意的正整數(shù)”都滿足2o“+1

中項(xiàng)法=a?+aM2,那么可以判斷｛“,｝為等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式滿足。"="+4

通項(xiàng)

—(p,q為常數(shù))的形式，那么可以得出(??)是

公式法普項(xiàng)為p+g,公差為p的等差數(shù)列

如果一個(gè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和公式滿足S“=4”2

前"項(xiàng)和

+Bn(A,8為常數(shù))的形式，那么可以得出數(shù)

公式法

列應(yīng)｝是首項(xiàng)為A+B,公差為"的等差數(shù)列

［提醒］在解答題中證明一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí)，只能用定義法和等差中項(xiàng)法.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

［2022?鄂爾多斯市第一中學(xué)檢測(cè)］已知數(shù)列｛〃〃｝,〃1=1,〃2=3,且滿足?號(hào)

2(〃22且〃￡N*),證明新數(shù)歹U｛斯+1—%｝是等差數(shù)列，并求出斯的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用［基礎(chǔ)性、綜合性］

角度1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

［例2］(1)［2022?福建省永安質(zhì)檢］等差數(shù)列｛〃〃｝中，若〃2+〃8=15—〃5,則為等于()

A.3B.4C.5D.6

(2)［2022?黑龍江哈爾濱市測(cè)試］S”是等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，〃I+〃2+〃3=3,田+〃9=

10,則S9=()

A.9B.16C.20D.27

聽課筆記：

反思感悟等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)

(1)an—am+(n—m)d(m,〃￡N"),d=

(2)若加nfp,夕￡N*),則。小+?！?%+。儼

角度2等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

[例3](1)[2022?河南洛陽(yáng)市檢測(cè)]已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S”若8=9,&=63,

則由+制+函等于()

A.63B.71C.99D.117

漏漏

(2)已知S是等差數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和,若0=-2018,=6,M52022

聽課筆記:

反思感悟等差數(shù)列和的性質(zhì)

在等差數(shù)列｛斯｝中，S〃為其前〃項(xiàng)和，則：

⑴數(shù)列S”，S2m—Sm,S3,"一…也是等差數(shù)列.

(2)也為等差數(shù)列.

(3)5*2/!一+。2〃)一,?*一，7(ci〃+a〃+1)?

(4)S2n-l=(2/?—1)〃”.

■d

(5)若相為偶數(shù)，則SfLS#=7;若〃為奇數(shù)，則S奇一S偶=4中(中間項(xiàng)).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?山西臨汾市檢測(cè)]設(shè)等差數(shù)列｛“”｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4+。1=。2+的，則$1

=()

A.28B.34C.40D.44

2.[2022?黑龍江大慶市檢測(cè)]設(shè)等差數(shù)列｛”“)的前”項(xiàng)和為S“，其中S2=3,S4=15,則

§6=()

A.9B.18C.27D.36

T

3.[2022?安徽滁州市月考]兩等差數(shù)列｛如｝和｛兒｝的前〃項(xiàng)和分別是S“、Tn,已知I"

7K蘭

=可則%=()

22721

A.7B.C.D.

Su_Su

13

4.在等差數(shù)列｛”“｝中，at=-2022,其前〃項(xiàng)和為S”若1°=2,則S2022的

值為.

考點(diǎn)四等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值問題［綜合性］

［例4］(1)［2022?吉林長(zhǎng)春市檢測(cè)］等差數(shù)列｛斯｝的前"項(xiàng)和為S“，S7=49,a3=3a6,則

冬取最大值時(shí)的〃為()

A.7B.8C.14D.15

(2)［2022?通遼新城高三檢測(cè)］已知等差數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”且57>58,S8=59<510>

則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.flg—O

B.S15