青島市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精山東省青島市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析高二數(shù)學(xué)試題一．單擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題5分,滿分40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1。已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則（)A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則，求出，即可得出結(jié)論。【詳解】.故選：B.點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題。2。在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】化簡得到，得到，，得到答案?！驹斀狻?，故,，。故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3。函數(shù)的最大值是（）A.1 B. C.0 D。【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到函數(shù)在處取得最大值。【詳解】，令解得在上單增，在單減故選：A【點(diǎn)睛】解決函數(shù)極值、最值問題的策略（1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大?。?2）函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值．4。拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件B:“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”，則的值等于（）A B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】本小題屬于條件概率所以事件B包含兩類:甲5乙2；甲6乙1；所以所求事件的概率為5。已知函數(shù)的部分圖象如圖，則的解析式可能是（)A。 B。C。 D.【答案】C【解析】【分析】首先通過函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)A，再通過函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)D,再通過函數(shù)的單調(diào)性排除選出B，確定答案?！驹斀狻坑蓤D象可知，函數(shù)的定義域?yàn)镽,而函數(shù)的定義域不是R,所以選項(xiàng)A不符合題意；由圖象可知函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，選項(xiàng)D中，存在實(shí)數(shù)，使得，所以函數(shù)不奇函數(shù)，所以選項(xiàng)D不符合題意；由圖象可知函數(shù)是增函數(shù)，選項(xiàng)B,，所以函數(shù)是一個(gè)非單調(diào)函數(shù)，所以選項(xiàng)C不符合題意;由圖象可知函數(shù)是增函數(shù)，選項(xiàng)C，,所以函數(shù)是增函數(shù)，所以選項(xiàng)C符合題意。故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平。6。已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實(shí)數(shù)a的值為x23456y3711a21A.16 B。18C.20 D.22【答案】B【解析】【詳解】，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B。7.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由,求導(dǎo)得到,再根據(jù)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3，由求解，從而得到，則，再利用裂項(xiàng)相消法求解?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，解得，所以，數(shù)列,所以，。故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及數(shù)列的裂項(xiàng)法求和,還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題。8.如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個(gè)球槽內(nèi).若小球下落過程中向左、向右落下的機(jī)會均等，則小球最終落入③號球槽的概率為(）A. B. C. D。【答案】D【解析】【分析】小球落下要經(jīng)過5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均為，并且相互對立，最終落入③號球槽兩次向右，三次向左，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率公式，即可求解?！驹斀狻吭O(shè)這個(gè)球落入③號球槽為事件，落入③號球槽兩次向右，三次向左，，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法，將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為概率模型是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題。二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分9.下列說法正確的是（）A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，方差也變?yōu)樵瓉淼谋禕。設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位C。線性相關(guān)系數(shù)越大,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱D。在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布,則【答案】BD【解析】【分析】對A,將一組數(shù)據(jù)中的毎個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼谋?對B，根據(jù)回歸直線的意義；對C，線性相關(guān)系數(shù)越大，兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；對D，服從正態(tài)分布；對D，根據(jù)正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱。【詳解】對A，將一組數(shù)據(jù)中的毎個(gè)數(shù)據(jù)都乘以同一個(gè)非零常數(shù)后,利用公式標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼谋叮蔄錯(cuò)誤;對B,設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位,故B正確;對C，線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；線性相關(guān)系數(shù)越接近于0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，故C錯(cuò)誤；對D，服從正態(tài)分布，,則位于區(qū)域內(nèi)的概率為0。5，故D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差,線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)，正態(tài)分布等，考查對概念的理解與應(yīng)用。10。在正方形中,，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A。∥平面 B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C。平面 D。異面直線與所成的角為60°【答案】ABD【解析】【分析】由∥及線面平行的判定定理知選項(xiàng)A正確；因∥，知平面截正方體所得截面為,故B正確；利用反證法可判斷C不正確;因∥，可得異面直線與所成的角為即可判斷選項(xiàng)D正確。【詳解】如圖,因?yàn)?，分別為棱和棱的中點(diǎn),所以∥，又平面,平面，由線面平行的判定定理，知∥平面,故A正確；由∥，知平面截正方體所得截面為，是等腰梯形，故B正確；若平面，則，又，，所以平面，而平面，這與垂直于同一平面的兩條直線平行矛盾，故C不正確;異面直線與所成的角為，而為等邊三角形,故D正確.故選:ABD【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判斷、異面直線所成的角、平面的截面問題、線面垂直的判斷，考查學(xué)生空間想象和邏輯推理能力，是一道中檔題.11.若則(）A. B.C。 D.【答案】ABD【解析】【分析】A。利用通項(xiàng)公式求第三項(xiàng)的系數(shù)即可。B.根據(jù),令求解.C.先令，得，再令求解。D。令求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故A正確。因?yàn)?，令，得，故B正確。令，得，令得：，所以，故C錯(cuò)誤.令，得,所以,故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式的通項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)的和，還考查了賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題。12。已知為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A. B。 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】采用逐一驗(yàn)證的方法，通過構(gòu)造函數(shù)，，,，根據(jù)這些函數(shù)在的單調(diào)性可得結(jié)果。【詳解】設(shè),，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，A正確;設(shè)，，則,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故當(dāng)時(shí),,即，故，B錯(cuò)誤；設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增,,即，C正確;設(shè)，，則在上恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，故，即,故，D正確.故選:ACD?！军c(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.三．填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分,滿分20分）13.在某市舉行的數(shù)學(xué)競賽中，A,B，C三所學(xué)校分別有1名、2名、3名同學(xué)獲一等獎(jiǎng)，將這6名同學(xué)排成一排合影,若要求同校的同學(xué)相鄰，有____種不同的排法．(用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用捆綁法將每個(gè)學(xué)校的同學(xué)看成一個(gè)整體，計(jì)算得到答案?！驹斀狻坷美壏▽⒚總€(gè)學(xué)校的同學(xué)看成一個(gè)整體，則共有種排法.故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查了排列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力。14。設(shè)的展開式中的系數(shù)為，二項(xiàng)式系數(shù)為,則的值為_______.【答案】4【解析】【分析】列出展開式的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)，為的項(xiàng)，從而可確定二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù),作比得到結(jié)果。【詳解】展開式通項(xiàng)公式為：當(dāng)，即時(shí)，,【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中求解指定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題。15?！兑捉?jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽線,"”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥坑^察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個(gè)，還有6個(gè)是1陰2陽和1陽2陰各3個(gè)。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰，或兩卦全是1陽2陰?！驹斀狻堪素灾嘘幘€和陽線的情況為3線全為陽線的一個(gè)，全為陰線的一個(gè)，1陰2陽的3個(gè),1陽2陰的3個(gè).抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰?！鄰?個(gè)卦中任取2卦，共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有，所求概率為.故答案為:。【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個(gè)數(shù)。本題不能受八卦影響，我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù)，這樣才能正確地確定基本事件的個(gè)數(shù).16.對于三次函數(shù),定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心；且拐點(diǎn)就是對稱中心．"請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件,解答問題：若已知函數(shù)，則的對稱中心為_________;計(jì)算=_____________．【答案】（1).（2).【解析】【分析】求導(dǎo)得到，故得到對稱中心，故，計(jì)算得到答案?！驹斀狻浚瑒t,，則.，故的對稱中心為。故，則.故答案為：;?！军c(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，新定義問題，利用函數(shù)的對稱性求值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.四．解答題(本大題共6個(gè)小題,滿分70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．)17。在等差數(shù)列中，，（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）現(xiàn)從的前10項(xiàng)中隨機(jī)取數(shù),，求取出的三個(gè)數(shù)中恰好有兩個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)的概率．從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)將題目補(bǔ)充完整，并解答．條件①：若每次取出一個(gè)數(shù),取后放回，連續(xù)取數(shù)3次，假設(shè)每次取數(shù)互不影響條件②：若從10個(gè)數(shù)中一次取出三個(gè)數(shù)【答案】（1）；（2）若選擇條件①，，若選擇條件②,【解析】【分析】（1）直接利用等差數(shù)列公式計(jì)算得到答案。（2）若選擇條件①，；若選擇條件②，，計(jì)算得到答案。【詳解】（1），，故,，故。（2）若選擇條件①:的前10項(xiàng)為.則.若選擇條件②：的前10項(xiàng)為。則。【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式，概率計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力。18。在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，。（1）證明：平面；（2)求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；（2）。【解析】分析：（1)在中，由勾股定理可得.又平面,據(jù)此可得。利用線面垂直的判斷定理可得平面.(2)（方法一）延長，相交于,連接，由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.取的中點(diǎn)為，則就是二面角的平面角。結(jié)合幾何關(guān)系計(jì)算可得。(方法二)建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算可得平面的法向量.取平面的法向量為.利用空間向量計(jì)算可得。詳解：（1)在中，.所以，所以為直角三角形,.又因?yàn)槠矫?所以。而,所以平面。(2）(方法一)如圖延長,相交于,連接，則平面平面.二面角就是平面與平面所成二面角.因?yàn)?所以是的中位線.,這樣是等邊三角形。取的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槠矫?所以就是二面角的平面角。在,所以.（方法二)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得..設(shè)是平面的法向量，則令得.取平面的法向量為。設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則,從而.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量的應(yīng)用，二面角的定義,線面垂直的判斷定理等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19。已知(為實(shí)數(shù)）．（1）當(dāng)，時(shí),求在上的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，若在R上單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】（1)；（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得到，計(jì)算得到答案.（2）求導(dǎo)得到恒成立，設(shè)，，則，解得答案.【詳解】（1）,則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故.（2），故恒成立,即，設(shè)，，故在上恒成立，故，解得?！军c(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力。20.在某次投籃測試中，有兩種投籃方案：方案甲:先在A點(diǎn)投籃一次，以后都在B點(diǎn)投籃；方案乙：始終在B點(diǎn)投籃.每次投籃之間相互獨(dú)立。某選手在A點(diǎn)命中的概率為，命中一次記3分,沒有命中得0分；在B點(diǎn)命中的概率為,命中一次記2分，沒有命中得0分，用隨機(jī)變量表示該選手一次投籃測試的累計(jì)得分，如果的值不低于3分，則認(rèn)為其通過測試并停止投籃,否則繼續(xù)投籃，但一次測試最多投籃3次。（1)若該選手選擇方案甲，求測試結(jié)束后所得分的分布列和數(shù)學(xué)期望。(2）試問該選手選擇哪種方案通過測試的可能性較大？請說明理由.【答案】（1）數(shù)學(xué)期望為3.05，分布列見解析（2)選擇方案甲【解析】【分析】（1）在A點(diǎn)投籃命中記作,不中記作；在B點(diǎn)投籃命中記作，不中記作，其中，的所有可能取值為，即可求出,，,．,進(jìn)而求出的數(shù)學(xué)期望．（2）分別求出選手選擇方案甲通過測試的概率為，和選手選擇方案乙通過測試的概率為，比較大小，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）在A點(diǎn)投籃命中記作，不中記作;在B點(diǎn)投籃命中記作，不中記作，其中，的所有可能取值為,則，，,．的分布列為：，，，．所以，所以，的數(shù)學(xué)期望為．(2）選手選擇方案甲通過測試的概率為，選手選擇方案乙通過測試的概率為,因?yàn)?，所以該選手應(yīng)選擇方案甲通過測試的概率更大．【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．21.推進(jìn)垃圾分類處理，是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇，也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié)．為了解居民對垃圾分類的了解程度某社區(qū)居委會隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問卷測試，并將問卷得分繪制頻率分布表如表：得分［30，40)［40，50)［50，60）［60，70）［70，80)［80，90)［90，100]男性人數(shù)40901201301106030女性人數(shù)2050801101004020（1）從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問卷測試試估計(jì)其得分不低于60分的概率：（2）將居民對垃圾分類的了解程度分為“比較了解”（得分不低于60分）和“不太了解”(得分低于60)兩類,完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為“居民對垃圾分類的了解程度"與“性別"有關(guān)?不太了解比較了解合計(jì)男性女性合計(jì)（3）從參與問卷測試且得分不低于80分的居民中，按照性別進(jìn)行分層抽樣,共抽取10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人作為環(huán)保宣傳隊(duì)長，設(shè)3人中男性隊(duì)長的人數(shù)為，求的分布列和期望．附：．臨界值表:0。150。100。050。0250.0100。0052。0722。7063.8415。0246。6357.879【答案】（1）；（2)列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為“居民對垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān);(3）分布列見解析