導數常見題型方法總結

#/10導數題型總結例1：設函數y=f(x)在區(qū)間D上的導數為f(x),f(x)在區(qū)間D上的導數為g(X),若在區(qū)間D上,x4mx33x2g(x)<0恒成立，則稱函數y=f(x)在區(qū)間D上為“凸函數”，已知實數m是常數，f(x)= — —12 6 2(1)若y=f(x)在區(qū)間10,31上為“凸函數”，求m的取值范圍；(2)若對滿足|m|<2的任何一個實數m，函數f(x)在區(qū)間(〃,b)上都為“凸函數”，求b-a的最大值.x4mx33x2 x3mx2解：由函數f(x)=-―^-―得f(x)=-―^――3x?=g(x)=x2-mx-312 6 2 3 2(1)???y=f(x)在區(qū)間10,31上為“凸函數”，則「.g(x)=x2-mx-3<0在區(qū)間［0,3］上恒成立解法一：從二次函數的區(qū)間最值人手：等價于g(x)<0max)<0)<0g(3)<0解法二：分離變量法：:當x=0時，「.g(x)=x2-mx-3=-3<0恒成立，當0<x<3時，g(x)=x2-mx-3<0恒成立x2-3 3等價于m> =x--的最大值(0<x<3)恒成立，xx… 3而h(x)=x--(0<x<3)是增函數，則h(x)=h(3)=2「.m>2max⑵?.,當網<2時f(x)在區(qū)間(a,b)上都為“凸函數”則等價于當|m|<2時g(x)=x2-mx-3<0恒成立變更主元法再等價于F(m)=mx-x2+3>0在|m|<2恒成立(視為關于m的一次函數最值問題)F(-2)>0F(2)201-2xF(-2)>0F(2)20n-1<x<12x-x2+3>0-2例2：設函數f(x)=--x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1,beR)3(I)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值；(II)若對任意的xe[a+1,a+2],不等式|f'(x)|<a恒成立，求a的取值范圍.解：(I)f'(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-3a)(x-a)?.?0<?.?0<a<13a3a令f(x)>0,得f(x)3a3a令f(x)>0,得f(x)的單調遞增區(qū)間為令f(x)<0,得f(X)的單調遞減區(qū)間為3.,.當x二a時，f(x) =一一a3+b；， 極小值4(a,3a)(—g,a)和(3a,+g)當x=3a時，/(X)極大值=b(II)由|f'(x)|Wa,得：對任意的xe［a+1,a+2］,-a<x2-4ax+3a2<a恒成立①fg(x)<a則等價于g(x)這個二次函數Smax/、 g(x)=x2-4ax+3a2的對稱軸［g(x)>-aminx=2a'：0<aa1,a+1>a+a=2a(放縮法)即定義域在對稱軸的右邊，g(x)這個二次函數的最值問題：單調增函數的最值問題。g(x)=x2-4ax+3a2在[a+1,a+2]上是增函數.g(x) =g(a+2)=-2a+1.maxg(x) =g(a+1)=-4a+4.min于是，對任意xe[a+1,a+2],不等式①恒成立，等價于fg(a+2)=-4a+4<a，的汨4〈 解得一<a<1.Ig(a+1)=-2a+1>-a 5(9分)點評：4又0aaa1,，<aa1.5重視二次函數區(qū)間最值求法：對稱軸(重視單調區(qū)間)與定義域的關系a+2]例3:已知函數f(x)=x3+ax2圖象上一點P(1,b)處的切線斜率為一3,g(x)=x3+t一6x2-(t+1)x+3(t>0)(I)求a,b的值；(II)當xe［-1,4］時，求f(x)的值域；(III)當xe［1,4］時，不等式f(x)<g(x)恒成立，求實數t的取值范圍。ff/(1)=-3 fa=-3解：(I)f/(x)=3x2+2ax；.|：丫 ，解得「八Ib=1+a Ib=-2(I)由(I)知，f(x)在［-1,0］上單調遞增，在［0,2］上單調遞減，在［2,4］上單調遞減xe[1,4]又f(-1)=-4,f(0)=0,f⑵=-4,f⑷=16；.f(x)的值域是[xe[1,4](I)令h(x)=f(x)-g(x)=-思路1：要使f(x)<g(x)恒成立，只需h(x)<0，即t(x2-2x)>2x-6分離變量思路2：二次函數區(qū)間最值二、參數問題1、題型一：已知函數在某個區(qū)間上的單調性求參數的范圍解法1：轉化為尸(x)>0或/，(x)<0在給定區(qū)間上恒成立，回歸基礎題型解法2：利用子區(qū)間(即子集思想；)首先求出函數的單調增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時一定要看清楚“在m,n)上是減函數”與“函數的單調減區(qū)間是a(,0"，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集

例4：已知〃￡尺，函數/(x)=\X3+0-+lX2+(4〃+1)X.(I)如果函數g(x)=f(x)是偶函數，求f(x)的極大值和極小值；(II)如果函數f(x)是(-8,+8)上的單調函數，求a的取值范圍.解：f'(x)=—x2+(a+1)x+(4a+1).4(I).??f'(x)是偶函數，，a=T.此時f(x)=112x3-3x,f'(I).??f'(x)是偶函數，，a=T.令f(x)=0，解得：x=±2c3,列表如下：x(—8,一2、3)-243(—243,2、-；3)2超(2、3,+8)ff(x)+00+f(x)遞增極大值遞減極小值遞增可知：f(x)的極大值為f(-2<3)=4百,f(x)的極小值為f(2、；3)=-4<3.(H)?..函數f(x)是(f+s)上的單調函數，/.f(x)=4X2+(a+1)X+(4a+1)>0，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則A=(a+1)2-4?--(4a+1)=a2-2a<0,解得：0<a<24綜上，a的取值范圍是｛a|0<a<2］.例5、已知函數f(x)=1x3+1(2-a)x2+(1-a)x(a>0).3 2(I)求f(x)的單調區(qū)間；(II)若f(x)在［0，1］上單調遞增，求a的取值范圍。子集思想解：(I)f'(x)=x2+(2-a)x+1-a=(x+1)(x+1-a).1、當a=0時,f'(x)=(x+1)2>0恒成立,當且僅當x=-1時取“二”號，f(x)在(-8,+8)單調遞增。2、當a>0時,由f'(x)=0,得x=-1,x=a-1,且x<x,1 2 1 2單調增區(qū)間：(-8,-1),(a-1,+8) 單調增區(qū)間：(-1,a-1)(II)當???〃x)在［0,1］上單調遞增，則［。,1］是上述增區(qū)間的子集：1、a=0時，f(x)在(-8,+8)單調遞增符合題意2、［0,1］=(a-1,+8)，.二a-1<0「.a<1綜上，a的取值范圍是［0,1］。2、題型二：根的個數問題題1函數f(x)與g(x)(或與x軸)的交點，即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式(組)主要看極大值和極小值與)的關系；第三步：解不等式(組)即可。例6、已知函數f(x)=1x3-(k+1)x2,g(x)=1-kx,且f(x)在區(qū)間(2,+8)上為增函數.J 乙 D求實數k的取值范圍；若函數f(x)與g(x)的圖象有三個不同的交點，求實數k的取值范圍.

解：(1)由題意f'(%)=%2—(k+1)%;f(%)在區(qū)間(2,+8)上為增函數，，f'(%)=%2—(k+1)%>0在區(qū)間(2,+8)上恒成立(分離變量法)即k+1<%恒成立，又%>2，.=k+1<2，故k<1ak的取值范圍為k<1%3 (k+1) , 1(2)設h(%)=f(%)—g(%)=———--%2+k%--，J / Jh'(%)=%2—(k+1)%+k=(%—k)(%—1)①當k=1時②當k<1時令h'(%)=0得%=k或%=①當k=1時②當k<1時h'(%)=(%—1)2>0，h(%)在R上遞增，顯然不合題意…h(huán)(%)，h'(%)隨%的變化情況如下表：%(—8,k)k(k,1)1(1,+8)h'(%)+00+h(%)/極大值k3k2 1- + ——6 2 3\極小值k—12/欲使f(%)與g(%)的圖象有三個不同的交點，即方程h(%)=0有三個不同的實根，故k2—2k—2>0'0,即(k—1)(k2—2k—2>0'綜上，所求k的取值范圍為k<1-<3根的個數知道，部分根可求或已知。例7、(例7、(1)(2)已知函數f(%)=a%3+—%2—2%+c2若%=-1是f(%)的極值點且f(%)的圖像過原點，求f(%)的極值；若g(%)=1b%2—%+d，在(1)的條件下，是否存在實數b，使得函數g(%)的圖像與函數f(%)的.」1.」1「 1,一/.%3+—%2—2%=—b%2—%—；(b—1)整理得:圖像恒有含%=—1的三個不同交點？若存在，求出實數b的取值范圍；否則說明理由。解：(1);f(%)的圖像過原點，則f(0)=0nc=0f，(%)=3a%2+%—2，又..?％=-1是f(%)的極值點，則f，(—1)=3a—1—2=0na=-1f(%)=3%2+%—2=(3%—2)(%+1)=022T22T3 3 “ 3f (%)=f(-1)=-f (%)=極大值 2極小值(2)設函數g(%)的圖像與函數f(%)的圖像恒存在含%=-1的三個不同交點，等價于f(%)=g(%)有含%=T的三個根，即：f(—1)=g(—1)nd=—；(b—1)即：%3—1(b—1)%2—%+1(b-1)=0恒有含%=—1的三個不等實根h(%)=%3—1(b—1)%2—%+；(b—1)=0有含%=—1的根，則h(%)必可分解為(%+1)(二次式)=0，故用添項配湊法因式分解,

X3+X2—x2--(b-1)x2-x+—(b-1)=0TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument" 2 2X2X2(X+1)--(b+1)X2+X——(b-1)21 ^21X2(X+1)--I(b+1)X2+2X-(b-1)-02十字相乘法分解：X2(X+1)-1[(b+1)X-(b-1)](X+1)=02(X(X+1)x2-2(b+1)x+2(b-1)=0X3-i(b-1)x2-x+i(b-1)-0恒有含x=-1的三個不等實根等價于X2-：(b+1)X+；(b-1)-0有兩個不等于-1的不等實根。f 1, 1,A--(b+1)2-4X-(b-1)>0著 41 : nbe(-8,-1)u(-1,3)u(3,+8)(-1)2+1(b+1)+1(b-1)豐0題2切線的條數問題，即以切點x為未知數的方程的根的個數0例7、已知函數f(x)-ax3+bx2+ex在點x處取得極小值一4,使其導數f'(x)>0的x的取值范圍0為(1,3)，求：(1)f(x)的解析式；(2)若過點P(-1,m)可作曲線y-f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍.(1)由題意得：f'(x)-3ax2+2bx+c-3a(x-1)(x-3),(a<0).,.在(-8,1)上f'(x)<0；在(1,3)上f'(x)>0；在(3,+8)上f'(x)<0因此f(x)在x-1處取得極小值-40Ja+b+c=-4①，f(1)-3a+2b+c-0②，f'(3)-27a+6b+c-0③a--1由①②③聯立得：rb-6，:.f(X)--X3+6X2-9Xc--9(2)設切點Q(t,f(t)),y-f(t)-f,(t)(x-1)y-(-3t2+121—9)(x—t)+(-13+612—91)-(-3t2+121-9)x+1(3t2-121+9)-1(12-61+9)-(-3t2+121-9)x+1(212-61)過(-1,m)m-(-3t2+121-9)(-1)+213-612g(t)-213-212-121+9-m-0令g'(t)-612-61-12-6(12-1-2)-0,求得：t--1,t-2,方程g(t)-0有三個根。市fg(-1)>0 f-2-3+12+9-m>0 fm<16需：[g(2)<00[16-12-24+9-m<00[m>-11故：-11<m<16；因此所求實數m的范圍為：(-11,16)題3已知f(x)在給定區(qū)間上的極值點個數則有導函數=0的根的個數解法：根分布或判別式法例8、已知函數f(*) +3)x2+(m+6)孫北/立(m為常數).(I)當m=4時,求函數人工)的單調區(qū)間；(0)若函數了二汽用)在區(qū)間(1,+8)上有兩個極值點.求實數皿的取值范1 7解：函數的定義域為R(I)當m=4時，f(x)=3X3—]X2+I0x,f(x)=X2—7x+10,令f'(x)>0,解得x>5,或x<2.令f(x)<0,解得2<x<5可知函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(—8,2)和(5,+8),單調遞減區(qū)間為(2,5).f'(x)=x2—(m+3)x+m+6,要使函數y=f(x)在(1,+8)有兩個極值點，nf，(x)=x2—(m+3)x+m+6=0的根在(1,+8)根分布問題：WA=(m+3)2—4(m+6)>0;則<f'(1)=1—(m+3)+m+6>0;,解得m>3—> [等>1.例9、已知函數f(x)=3x3+2x2,(agR,a豐0)(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)令g(x)=4x4+f(x)(x￡R)有且僅有3個極值點，求a的取值范圍.解：(1)f(x)=ax2+x=x(ax+1)TOC\o"1-5"\h\z當a>0時，令f(x)>0解得x<-1或x>0,令f(x)<0解得一1<x<0,a a\o"CurrentDocument"所以f(x)的遞增區(qū)間為(-8,-1)U(0,+8)，遞減區(qū)間為(-1,0).a a\o"CurrentDocument"當a<0時，同理可得f(x)的遞增區(qū)間為(0,-1)，遞減區(qū)間為(-8,0)U(-1,+8).a ag(x)=1x4+ax3+1x2有且僅有3個極值點ng'(x)=x3+ax2+x=x(x2+ax+1)=0有3個根，則x=0或x2+ax+1=0,a<-2方程x2+ax+1=0有兩個非零實根，所以A=a2-4>0,a<-2或a>2而當a<-2或a>2時可證函數y=g(x)有且僅有3個極值點其它例題：1(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在R上的函數f(x)=ax3-2ax2+b(a>0)在區(qū)間[-2,1]上的最大值是5,最小值是一11.(I)求函數f(x)的解析式；(I)若tg[-1,1]時，ff(x)+tx<0恒成立，求實數x的取值范圍.解：(I)?:/(x)=4x3-2ax2+b，..f(x)=3ax2-4ax=ax(3x-4)

令f1(x)=0，得x=0,x=4^[-2,1]

1 23因為a>0，所以可得下表：x[-2,0)0(0,1]f1(x)+0 f(x)/極大\因此f(0)必為最大值，，f?)=5因此b=5,??.f(-2)=-1&+5,f(1A-a+5,，f(1)>f(-2),即f(-2)=-16a+5=-11，.=a=1，.=f(x)=x3-2x2+5.(H)Vf'(x)=3x2-4x，.二f'(x)+tx<0等價于3x2-4x+tx<0,令g(t)=xt+3x2-4x，則問題就是g(t)<0在tg[-1,1]上恒成立時，求實數x的取值范圍，[g(-1)<0 [3x2-5x<0為此只需彳 ，即｛ ,〔g(1)<0 [x2-x<0解得0<x<1，所以所求實數x的取值范圍是[0,1].2(根分布與線性規(guī)劃例子)2已知函數f(x)=3x3+ax2+bx+c(I)若函數f(x)在x=1時有極值且在函數圖象上的點(0,1)處的切線與直線3x+y=0平行，求f(x)的解析式；(II)當f(x)在xg(0,1)取得極大值且在xg(1,2)取得極小值時，設點M(b-2,a+1)所在平面區(qū)域為S，經過原點的直線L將S分為面積比為1：3的兩部分，求直線1的方程.解：(I).由f'(x)=2x2+2ax+b，函數f(x)在x=1時有極值，2a+b+2=0??.f(0)=1，c=1又二f(x)在(0,1)處的切線與直線3x+y=0平行，，f'⑼=b=-3 故a=1TOC\o"1-5"\h\z.”、2 .1二.f(x)=%3+—x2-3x+13 2f，(0)>0.?「f'(1)<0f'(2)>0易得4(—2, 0),B(-2, —f，(0)>0.?「f'(1)<0f'(2)>0易得4(—2, 0),B(-2, —1),[x=b-2令M(x,y)， 則\Iy=a+1故點M所在平面區(qū)域S為如圖4ABC,C(2,一2)，D(0,-1)，E(0,-1)， Saabc=2同時DE同時DE為4ABC的中位線，S,」SADEC 3四邊形ABED二.所求一條直線L的方程為：x=0另一種情況設不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1：3的兩部分，設直線1方程為y=kx，它與AC,BC分別交于F、G,則k>Q,S四邊形y=kx2y+x+2=0y=kx4y+x+6=0與AC,BC分別交于F、G,則k>Q,S四邊形y=kx2y+x+2=0y=kx4y+x+6=0得點F的橫坐標為：，F得點6的橫坐標為：xG=-?S四四邊形7 1解得：k=—=SAOGE—SAOFDk__5

k———813 6=_x—x 64k+11i2_——x1x 224k+12 2k+1二1即16k2+2k—5=01(舍去)故這時直線方程為：J=-x.12分綜上，所求直線方程為：x=0或j=：x(II)解法二：由f(x)=2x2+2ax+b與f(x)在xg(0,1)取得極大值且在xg(1,2).12分f，(0)>0.?「f'(1)<0f'(2)>0故點M所在平面區(qū)域S為如圖4ABC,3 “ 八 3S=2AABC易得4—2, 0),B(—2,—1),C(2,—2), D(0,—1),ES=2AABC同時DE為AABC的中位線，“=1Seb ,所求一條直線1的方程為：x=0ADEC-四邊形ABED1另一種情況由于直線80方程為：j=-x,設直線BO與AC交于H,得直線L與AC交點為：H(一1，——),:S =2,AABC,:S =2,AABC」xADEC 2...所求直線方程為：x=0或j=21-x2S=S—SAH AABO AAOH1 1 11=_x2x1—_x2x=_得d得d=3n3a+2b+c—3a—2b=03(根的個數問題)已知函數f(x)=ax3+bx2+(c—3a—2b)x+d(a>0)的圖象如下圖。(I)求c、d的值；(I)若函數f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程為3x+y—11=0,求函數f(x)的解析式；(III)若x0=5,方程f(x)=8a有三個不同的根，求實數a的取值范圍。解：由題知：f'(x)=3ax2+2bx+c-3a-2b(I)由圖可知函數f(x)的圖像過點(0,3)，且f'G)=0(II)依題意fG)=-3且￡(2)=5

112a+4b—3a—2b=—3\ 解得a=1,b[8a+4b—6a—4b+3=5 ，所以f(x)=X3-6x2+9x+3(1歹)依題意f(x)=ax3+bx2-(、3a+2b)x+3(a>0)/Q)=3ax2+2bx-3a-2b由/G)=0nb=-9a①若方程￡(x)=8@有三個不同的根，當且僅當滿足￡(5)<8a<f(1)②一由①②得-25a+3<8a<7a+3n打<a<3所以當A<a<3時，方程￡(x)=8a有三個不同的根。4(根的個數問題)已知函數f(x)=3x3-ax2-x+1(aeR)TOC\o"1-5"\h\z(1)若函數f(x)在x=x,x=x處取得極值，且Ix—x|=2，求a的值與f(x)的單調區(qū)間;1 2 1 2(2)若a<1，討論曲線f(x)與g(x)=1x2—(2a+1)x+5(—2<x<1)的交點個數.\o"CurrentDocument"2 6解：(1)f(x)=x2—2ax—1，x+x-2a,x-x-—11 2 1 2.：1(x+x)2—4xx-v14a2+4-2/.a-0"12 12f'(x)-x2—2ax—1-x2—1 令f(x)>0得x<—1,或x>1 令f'(x)<0得—1<x<1f(x)的單調遞增區(qū)間為(—8,—1),(1,+8)，單調遞減區(qū)間為(—1,1)(2)由題f(x)-g(x)得！x3—ax2—x+1-—x2—(2a+1)x+—2 611 1即一x3—(a+—)x2+2ax+—=03 2 6令①(x)=-x3—(a+—)x2+2ax+—(—2<x<1)32 6/.中'(x)-x2—