2023年高考理數(shù)模擬試卷（全國甲卷）含答案

高考理數(shù)模擬試卷（全國甲卷）一、選擇題1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則下列說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)z的模為B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為C．復(fù)數(shù)z的虛部為D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限2．耀華中學(xué)全體學(xué)生參加了主題為“致敬建黨百年，傳承耀華力量”的知識競賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）A．直方圖中x的值為0.004B．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間的學(xué)生數(shù)為30人C．估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?4分D．估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為93分3．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：）是（）A．6 B． C． D．5．函數(shù)在上的圖像為（）A．B．C．D．6．函數(shù)f（x）的圖象與其在點P處的切線如圖所示，則等于（）A．－2 B．0 C．2 D．47．已知棱柱為正四棱柱，底面正方形的邊長為2，正四棱柱外接球的體積為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內(nèi)角A，B，C的對邊，若，且，則面積S的最大值為（）A． B． C． D．9．用半徑為R的圓形鐵皮剪出一個圓心角為的扇形，制成一個圓錐形容器，當(dāng)該圓錐形容器的容積最大時，扇形的圓心角為（）A． B． C． D．10．已知雙曲線的右焦點為F，雙曲線C的右支上有一點P滿足(點O為坐標(biāo)原點)，那么雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．二、填空題13．已知向量滿足：，則.14．直線l：被圓C：截得的弦長為，則m的值為.15．小明給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢分成三份（不定額數(shù)，每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個紅包被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲同學(xué)搶到5分錢的概率為．16．在中，，為的中點，，則面積的最大值為.三、解答題17．已知在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．18．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中點.（1）證明：平面.（2）求直線AC與平面所成角的正弦值.19．2021年12月，新冠疫情的嚴(yán)重反彈，擾亂了西安市民乃至陜西全省人民正常的生活秩序，各行各業(yè)的正常生產(chǎn)、運(yùn)營受到嚴(yán)重影響，相關(guān)部門，為了盡快杜絕疫情的擴(kuò)散，果斷實施了小區(qū)封控、西安市區(qū)封城、市民足不出戶等有效措施.2022年1月下旬小區(qū)相繼解封.某銷售商場為盡快彌補(bǔ)疫情帶來的損失，推行高檔電器“大屏幕電視機(jī)、冰箱和洗衣機(jī)”三種商品的搶購優(yōu)惠促銷活動.活動規(guī)則是：人人都可以參加三種商品的搶購，但每種商品只能搶購一次一件；優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)是：搶購成功者，大屏幕電視機(jī)優(yōu)惠800元；冰箱優(yōu)惠500元；洗衣機(jī)優(yōu)惠300元，張某參加了這次搶購且三種商品都搶購，假設(shè)搶購成功與否相互獨立，搶購三種商品成功的概率順次為、、，已知這三種商品都能搶購成功的概率為，至少一種商品能搶購成功的概率為.（1）①求、的值；②求張某恰好搶購成功兩種商品的概率.（2）求張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．已知拋物線上有一動點，過點作拋物線的切線交軸于點．（1）判斷線段的中垂線是否過定點？若過，求出定點坐標(biāo)；若不過，請說明理由；（2）過點作的垂線交拋物線于另一點，求的面積的最小值．21．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在兩個極值點，，證明：．四、選考題請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）射線與曲線相交于兩點，求的值.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

1．D2．C3．D4．C5．A6．D7．D8．B9．D10．D11．D12．B13．14．1或915．16．17．（1）解：因為數(shù)列為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以，即得，設(shè)公差為，則有，，，又因為，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項，所以，即，解得或（舍去），所以，所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，故得，由題意得，，，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，故（2）解：設(shè)，則①，在上式兩邊同時乘以2得，，②，得，，，所以18．（1）證明：連接，交于O，連接OD.因為O是的中點，D是BC的中點，所以O(shè)D是的中位線，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）解：因為平面ABC，，可以D為坐標(biāo)原點，以，的方向分別x，y軸的正方向，平行于為軸，向上為正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.因為，所以，故直線AC與平面所成角的正弦值為.19．（1）解：①由題意得即解得：②設(shè)“張某恰好搶購到兩種商品”為事件.則搶購到大屏幕電視機(jī)和冰箱且沒有搶購到洗衣機(jī)，或搶購到冰箱和洗衣機(jī)且沒有搶購到大屏幕電視機(jī)，或搶購到大屏幕電視機(jī)和洗衣機(jī)且沒有搶購到冰箱.∴.即張某搶購成功兩種商品的概率為（2）解：的可能取值為0，300，500，800，1100，1300，1600，，，，，，∴張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的分布列為0300500800110013001600張某搶購成功獲得的優(yōu)惠總金額的數(shù)學(xué)期望為（元）20．（1）解：設(shè)直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：，由，得，則的解為，由得，，得，在中，令得，所以，中點為，所以線段的中垂線方程為，所以線段的中垂線過定點.（2）解：由（1）可知，直線的方程為將其與拋物線方程聯(lián)立得：，，，.所以的面積為，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以時，.21．（1）解：的定義域為，，令，當(dāng)≤時，即≥時，在上遞增，當(dāng)時，即時，，解得，，當(dāng)時解得，或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時解得，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)≥時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：由（1）可知，存在兩個極值點，，即，，為方程的兩個不等正實根，，．要證成立，只需證即證，即證，即證，設(shè)，即證-令，即證，設(shè)，，在上遞增，，所以成立