小學(xué)數(shù)學(xué)知識講座

小學(xué)數(shù)學(xué)知識講座第1頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六一、相關(guān)知識

1.相關(guān)知識關(guān)系公式部總關(guān)系部分?jǐn)?shù)和總數(shù)關(guān)系部分?jǐn)?shù)+部分?jǐn)?shù)=總數(shù)總數(shù)-部分?jǐn)?shù)=另一部分?jǐn)?shù)份數(shù)和總數(shù)關(guān)系每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)比較關(guān)系大小關(guān)系大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)大數(shù)-相差數(shù)=小數(shù)小數(shù)+相差數(shù)=大數(shù)倍數(shù)關(guān)系大數(shù)÷小數(shù)=倍數(shù)大數(shù)÷倍數(shù)=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)第2頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六2常用公式包括：行程問題、工效問題、比重問題、價(jià)格問題、產(chǎn)量問題、利率問題第3頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六二、基本概念1.分類：文字題：用數(shù)學(xué)名詞、術(shù)語表達(dá)數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的題目，叫做文字題。簡單應(yīng)用題：有兩個條件一個問題組成一個基本數(shù)量關(guān)系，用一步運(yùn)算（加、減、乘、除）進(jìn)行解答的應(yīng)用題復(fù)合應(yīng)用題：由若干個互相聯(lián)系的簡單應(yīng)用題復(fù)合而成的應(yīng)用題典型應(yīng)用題：用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的，具有特殊結(jié)構(gòu)的、有一定解答規(guī)律的應(yīng)用題2.解題步驟：審題：弄清題意，并找出已知條件和所求的問題分析：分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，確定先算什么，再算什么……最后算什么解答：確定每一步該怎樣算，列出算式，并求出結(jié)果第4頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六檢驗(yàn)：檢查計(jì)算是否有誤，答案是否符合題意寫答：根據(jù)題目要求，寫出答案第5頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六三、解答應(yīng)用題的方法1。基本方法分析法：從應(yīng)用題的問題出發(fā)，推到已知條件，找到解決問題的主要數(shù)量關(guān)系，逐步解決問題綜合法：從已知條件入手，把間接條件逐步轉(zhuǎn)化為直接條件，最后解決所求問題“分析法”和“綜合法”是分析應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的兩種基本方法，綜合法以分析為基礎(chǔ)，分析法以綜合為指導(dǎo)，兩種方法總是相互結(jié)合、相互滲透的。在解應(yīng)用題時(shí)，若解題過程簡單，則分析法、綜合法可以任意選用；若解題過程復(fù)雜，則可以依據(jù)已知和所求相互推導(dǎo)的繁簡情況來選擇方法，或分析法或綜合法或分析__綜合法第6頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六2.常用方法圖解法：運(yùn)用線段或其他圖形，把抽象的、隱蔽的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而找到解題的途徑逆推法：從已知的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件從后往前逐步展開，直到求出答案假設(shè)法：應(yīng)用題中含有兩個或兩個以上的未知量時(shí)，先把要求的幾個未知量假設(shè)為其中的一種數(shù)量，這樣算與實(shí)際數(shù)量肯定會出現(xiàn)一個差，再根據(jù)條件找到解決這個差的辦法，最后求出答案。例如明明計(jì)算20道數(shù)學(xué)競賽題，做對一題得5分，做錯一題扣3分，結(jié)果他得了60分，問明明做對了幾題？分析：假設(shè)明明20道題全做對，可得100分，實(shí)際他少得40分，少得的原因是錯一題與對一題相差8分。列出算式：20-（5×20-60）÷（5+3）演示法：借助實(shí)物演示，發(fā)現(xiàn)隱蔽的數(shù)量關(guān)系，找到解題途徑不變量法：在諸多數(shù)量的變化過程中，依據(jù)題中固定不變的數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系，找到解題的途徑。如年齡問題。第7頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六3.列方程解應(yīng)用題

意義步驟用字母或含有字母的式子表示未知量，根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程，求解方程，得出未知數(shù)的值1.弄清題意：分析數(shù)量關(guān)系，找到已知條件和未知條件；2.假設(shè)x：把其一個未知數(shù)量假設(shè)為x；3.列方程：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出方程；4.解方程；5.驗(yàn)算：檢驗(yàn)x的值是否符合原方程的題意；6.寫答語：答語要寫完整。第8頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六4.方程解法與算術(shù)解法的區(qū)別名稱共同點(diǎn)不同點(diǎn)算術(shù)解法都是以四則運(yùn)算和常見的數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，分析題里已知量與未知間的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)運(yùn)算的意義列式解題未知數(shù)處于特殊的地位，始終作為解題的目標(biāo)，不參加列式，運(yùn)算算式中全是已知數(shù)，整個算式就表示要求的未知數(shù)。求出算式的值就是所求的未知量方程解法未知數(shù)處于和已知數(shù)平行的地位，可以直接參加列式和計(jì)算，未知數(shù)和已知數(shù)組成一個相等的關(guān)系，未知數(shù)可以在方程中任何位置第9頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六四、應(yīng)用題的題型1.文字題（略）2.簡單應(yīng)用題（1）兩數(shù)相并的關(guān)系：求總數(shù)；求和；求部分?jǐn)?shù)；求剩余。（2）兩數(shù)相差的關(guān)系：求兩數(shù)的差；求比一個數(shù)少（多）幾的數(shù)。（3）每份數(shù)、份數(shù)、總數(shù)的關(guān)系：求幾個相同加數(shù)的和；等分除法；包含除法。（4）兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系：求一個數(shù)的幾倍是多少；求倍數(shù)；求一倍數(shù)是幾第10頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六3.典型應(yīng)用題和差問題：已知大、小兩個數(shù)的和與它們的差，求這兩個數(shù)各是多少和倍問題：已知大、小兩個數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大、小兩個數(shù)各是多少差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少平均數(shù)問題：已知幾個不同的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補(bǔ)少，使它們成為相等的幾份，求一份是多少歸一問題：在解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)需先求出一份是多少，再求其它結(jié)果（總數(shù)或份數(shù)）歸總問題：已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總量求得單位數(shù)量的個數(shù)相遇問題：兩個物體以不同的速度從兩地同時(shí)出發(fā)相向而行并且相遇。追擊問題：兩個物體同時(shí)從兩地同向而行，速度慢的在前面行，速度快的在后面追，直到追上為止。第11頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六4.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題求一個數(shù)是另一數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）求一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少，求這個數(shù)工程問題：把工作量看做單位“1”，幾個單位時(shí)間完成，工作效率就是幾分之幾折扣問題：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一種。利率問題：它表示一定時(shí)間內(nèi)利息數(shù)與本金的比值第12頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六典型例題一、典型應(yīng)用題解決此類應(yīng)用題有兩大“法寶”：一是線段圖；二是方程。對此類題型的訓(xùn)練可以提高學(xué)生對數(shù)量關(guān)系的理解，更為重要的是可以提高學(xué)生解題的基本策略。例1.甲乙兩人年齡的和是29歲，已知甲比乙小3歲，甲乙兩人各多少歲？（和差問題）解答：（29+3）÷2=16（歲）（29－3）÷2=13（歲）變式：甲乙兩箱共有水果50千克，若從甲箱中取6千克放到乙箱中，這時(shí)甲箱比乙箱還多2千克，求這兩箱原有水果各多少千克？解答：甲比乙共多6×2+2=14（千克）（50+14）÷2=32（千克）（50－14）÷2=18（千克）例2.甲乙兩廠某月共生產(chǎn)電腦664臺，甲廠的產(chǎn)量是乙廠的3倍，求這個月甲乙兩廠各生產(chǎn)多少臺電腦？（和倍問題）變式：甲乙兩數(shù)的和是30，甲數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位后等于乙數(shù)的一半，那么甲數(shù)是多少？例3.某彩票銷售點(diǎn)既出售福利彩票又出售體育彩票。已知購賣體育彩票的人數(shù)是購賣福利彩票人數(shù)的4倍，且比購賣福利彩票的人數(shù)多720人。求該銷售點(diǎn)購賣兩種彩票的人數(shù)各有多少人？（差倍問題）變式：父親今年比兒子大36歲，3年后父親的年齡是兒子的5倍，那么兒子今年多少歲？注：對“和、差、倍”的題型，不宜讓學(xué)生記憶解題的模式，在三、四年級訓(xùn)練重心放在應(yīng)用線段圖解題的策略培養(yǎng)，高年級宜采用方程法解題。第13頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六例4.某班學(xué)習(xí)小組有12人，一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)只有10人參加，平均分是81.5分。后來，缺考的李明和張紅進(jìn)行補(bǔ)考，李明的補(bǔ)考成績比原有10人的平均分少1.5分，而張紅的補(bǔ)考成績卻比12人的平均分多12.5分。張紅考了多少分？（求平均數(shù)問題）平均的基本思想是“移多補(bǔ)少”，很多問題都是從這一角度進(jìn)行思考。解答（12.5－1.5）÷（12－1）+81.5+12.5=95（分）變式：15個同學(xué)分讀書卡，平均每人分到7張；又來了若干個同學(xué)，大家重新分配，平均每人分到5張，問來了幾個同學(xué)？解答：15×（7－5）÷5=6（人）例5.有一個長方形的操場，長45米，寬30米，如果沿著它的周圍每隔3米種一棵樹，一共需要種樹多少棵？（植樹問題）解答（45+30）×2÷3=50（棵）例6.小明的媽媽買來一籃雞蛋，小明第一天吃了雞蛋總數(shù)的1/7，第二天吃了余下的1/4，第三、四天都吃了上一天余下的雞蛋數(shù)的1/3，第五天吃了余下的1/2，第六天吃了余下的最后2個雞蛋。小明的媽媽共買了多少個雞蛋？（還原問題）年齡問題、歸一問題（略）第14頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六二、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用常在以下幾個方面進(jìn)行變化：①多個分率往往沒有統(tǒng)一的單位“1”；②單位“1”發(fā)生了變化；③分率與量沒有對應(yīng)關(guān)系；④對應(yīng)關(guān)系較為隱蔽、復(fù)雜等。例1.某市中小學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽的結(jié)果是：小學(xué)和初中獲獎人數(shù)占獲獎總?cè)藬?shù)的7/11；初中和高中獲獎的人數(shù)比獲獎總?cè)藬?shù)的2/3多3人；已知初中獲獎的有43人，獲獎總?cè)藬?shù)是多少？（關(guān)鍵在尋求量與分率的對應(yīng)）解答（43－3）÷（7/11+2/3－1）=132(人)例2.六年級有兩個班，把一班人數(shù)的2/15調(diào)入到二班，這時(shí)二班人數(shù)的3/5是一班人數(shù)的3/4，原來一班人數(shù)占全年級人數(shù)的份數(shù)是多少？（重在單位“1”的統(tǒng)一）此題并未出現(xiàn)具體的量，將一班人數(shù)作為單位“1”時(shí)，可得出各個分率，就可看作相應(yīng)的“量”進(jìn)行計(jì)算。這種能力是我們的在校生比較薄弱的。解答：1÷（13/12－2/15+1）=20/39第15頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中的熱點(diǎn)問題

例1.某食品店將進(jìn)貨單價(jià)為12元/千克的水果糖按單價(jià)15元/千克出售時(shí)，每天可售出90千克?，F(xiàn)該店想提高售價(jià)，增加利潤。但市場規(guī)律是：水果糖每千克提價(jià)1元，其銷售量每天就減少6千克。問商家定價(jià)為多少時(shí)，每天獲利最大？

例2.某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告，甲商廈實(shí)行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名；乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售。請你想一想：哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給消費(fèi)者的優(yōu)惠大？

例3.小周購買了一部手機(jī)想入網(wǎng)。朋友小王介紹他加入中國聯(lián)通130網(wǎng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：月租費(fèi)30元，每月來電顯示費(fèi)6元，本地電話費(fèi)每分鐘0.4元；朋友小李向他推薦中國電信的“神州行”儲值卡，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：本地電話每分鐘0.6元，月租費(fèi)和來電顯示費(fèi)全免了。小周的親戚朋友都在本地，他也想擁有來電顯示服務(wù)，請問該選擇哪一家更為省錢？1.某商店把一批存貨當(dāng)作處理品出售，若降低定價(jià)的5%出售，可盈利430元；若降低定價(jià)的25%出售，虧損250元。商品購入價(jià)應(yīng)是多少元？（2800元）2.某商場原來將一批水果按100%的利潤定價(jià)出售，由于定價(jià)過高，無人購賣，不得不按78%的利潤重新定價(jià)，這樣售出了其中的40%.此時(shí)，因害怕剩余的水果腐爛，不得不再次降價(jià)售出了剩余的全部水果，結(jié)果實(shí)際獲得的總利潤是原定利潤的30.2%.請問第二次降價(jià)后的價(jià)格是原定價(jià)的百分之幾？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（49.2%）3.新新商貿(mào)公司為客戶銷售貨物收取3%的服務(wù)費(fèi)，代客戶購買物品時(shí)收取2%的服務(wù)費(fèi)，今有一客戶委托公司銷售自產(chǎn)的某種物品和代為購置新設(shè)備，已知該公司共收取了客戶服務(wù)費(fèi)264元，客戶恰好收支平衡，報(bào)購置的新設(shè)備花了多少元？（5224.03元）第16頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六三、工程問題例1.師徒二人合作加工一批零件，需24天完成?，F(xiàn)在先由師傅單獨(dú)加工10天，再由徒弟單獨(dú)加工30天，這時(shí)共加工了這批零件的75%，問徒弟每天能加工這批零件的幾分之幾？解答（75%－1/24×10）÷（30－10）例2.一件工作，甲單獨(dú)做需50天完成，乙單獨(dú)做需75天完成。先由甲、乙合做，中途乙因故停工，結(jié)果經(jīng)過40天才完成全部工作。問乙做了多少天？解答（1－1/50×40）÷1/75例3.甲乙丙三人承包一項(xiàng)工程，發(fā)給他們的工資共1800元，三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是：甲乙兩人合作6天完成了工程的1/3；因甲有事，由乙丙合作2天，完成余下工程的1/4；以后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程。按完成工作量的多少來付酬，每人應(yīng)得多少元？例4.一項(xiàng)工程，如果乙單獨(dú)做要17天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，恰好用整天數(shù)完工；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，比上次輪流的做法要多半天才能完成。如果甲單獨(dú)做，完成這項(xiàng)工程需要多少天？第17頁，共20頁，2023年，2月20日，星期六四、行程問題例1.自行車出發(fā)20分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)點(diǎn)12千米的地方追上了自行車隊(duì)，然后通信員立即返回