名師梳理：高中數(shù)學(xué)重要考點梳理及道必刷題

名師梳理I高中數(shù)學(xué)重要考點梳理+400道必刷題

理科數(shù)學(xué)

一、集合與常用邏輯用語

1.?？技系慕患\算，偶爾涉及并集、補集運算，掌握4C8=且*w

B\,A\jB=\x\xeA或xw川幾4=IxkwU且工房川(U為全集)的含義.

如看

2.▼*€.乩/)(%)=三3€例>「(與).注意其中的“€”不變化.

二、函數(shù)

主要考杳函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)應(yīng)用，先通過奇偶性、周期性轉(zhuǎn)化,使函數(shù)值可

求，再結(jié)合單調(diào)性即可解函數(shù)不等式.

1.函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

(D單調(diào)性:對定義域內(nèi)一個區(qū)間/,任意々/2W/用<M/(X)是增函數(shù)。

/(4)</(*2)，/(動是減函數(shù)可(孫)>/(3)?

【易錯】①單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間，不能寫成集合或不等式的形式；單調(diào)區(qū)

間一般都寫成開區(qū)間，不要寫成閉區(qū)間；如果一種單調(diào)區(qū)間有多個，中間不能用

“U”連接，而是用“，”或“和”連接.

②求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.

(2)奇偶性:對定義域內(nèi)任意為偶函數(shù)華/(x)=/(-K)=/(Ixl)；

/(4)為奇函數(shù)/(-x)=-/(%);若奇函數(shù)/(x)在*=。處有定義，則/(0)=0.

【強調(diào)】偶函數(shù)困象關(guān)于)軸對稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；偶函數(shù)

在定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，奇函數(shù)在定義域關(guān)于

坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.

2.函數(shù)的周期性與圖象的對稱性

(I)若函數(shù)滿足/(x+。)=/(*)，則/(#)的一個周期為T=lal；

(2)若函數(shù)滿足/(x+a)=-/(?)或/(x+。)=無匕或/(<+a)=

則/(4)的一個周期為T=2I?I；

(3)函數(shù)v=/(x)滿足/(a+x)=/(a-x)(a>0),若/(x)為奇函數(shù),則其周

期為7'=4“,若/(%)為偶函數(shù)，則其周期為7=2a；

(4)若函數(shù)>=/(*)滿足/(a+X)=/(。-*),或者是/(2〃-工)=/(%),則

y=/(x)關(guān)于直線x=a對稱.

【強調(diào)】解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時務(wù)必要對底數(shù)a分類討論.注意指

數(shù)與對數(shù)運算的互化法則.

三、導(dǎo)數(shù)

1.幾何意義

/'(3)為曲線>=/(%)在點(/,/(%))處的切線斜率，切線方程是y-

f(x0)=f'(x0)(x-x0).

2.求導(dǎo)公式與運算法則

(1)Cr=0(C為常數(shù))；(x")'=nx"'("eQ');(sinx)'=cosx,(cos?)*=

-sinx;(e')'=e",(a')'=a'ln>0,且。#1);(Inx)'=—,(log?x)*=-r—

(。>0,且"#1).

f,

(2)[/(x)±g(x)]=/7x)±g'(x)i[Cf(x)]=Cf'(x)；

[f(x)?g(x)]'=/'(x)g(x)+/(.t)g'(x);

/'(x)g(x)-g'(x)/(x)

(g(*)六0).

陽卜g2(x)

3.函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值

(1)單調(diào)性:設(shè)函數(shù)y=A*)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(*)>0,那么/(X)

在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù);如果/'(X)<0,那么/(X)在此區(qū)間內(nèi)為減函數(shù).

(2)極值與最值:設(shè)y=/(x)在區(qū)間［明川上可導(dǎo)，則函數(shù)極值與函數(shù)單調(diào)

性的關(guān)系可用下表說明：

X(I(a.c)C(c,b)bXa(?,<?)C(c,b)b

/'⑺+0—/'(X)—0+

單調(diào)單調(diào)單調(diào)單調(diào)

/(X)極大值/(r)極小值

遞增遞減遞減遞增

/(“)/(〃),/(<?)中的最大值為函數(shù),=/(*)在區(qū)間［“，〃］上的最大值,

/(“)4〃)J(c)中的最小值為函數(shù))=/(#)在區(qū)間［“,/>］上的最小值.

【易錯廣可導(dǎo)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)為零”是“函數(shù)在這一點處存在極值”的

必要而不充分條件.

四、三角函數(shù)

1.京用公式

同務(wù)三京語效-1—a

Mna?rv?a?1.--------?Uaua

?本關(guān)系式rma

塔等公式M0?/aJ80。wa.-a,902a.2701aJ奇雷儡下交.符號Ji象限”

和,篇角公1式倍角公式

1.，

正強?n(a■onaixMa*-y?an2a

Mn2a?2?inaru?a

?inarm6±a**mQ

J

cm(o±3)?<*<?2a?roo'o-?ina?.t1-a?2a

余弦(nna?2.

oo*aco?/彳win<r*infi2m*'a-1■1-2*in7a

.,°、tanatUnfi.2iapat2I.cm2a

正切tan(a+Q)=;_"匕Ian2a?.、co?a■----------------

1*5aUMIfi1-Un*a

輔助公式:asin8?。=?in(6?/).)(中co#.

2.三角函數(shù)的網(wǎng)象及性質(zhì)

y?din*,?<x?Xy■tan?

J

if》

圖象

；*

M體獨：在線“=A”/w

II和岫；

“稱制1:ft線??4rw?

時稱憧M稱中心*

XeZi小琳中心：（hr?第.0）.（學(xué).。）.

時你中心Ml.S.kZA?Z

A?z

周期性2v2ttV

年,通增區(qū)向X2A77-

外網(wǎng)趣增區(qū)時：

I->",2]?於芳通堵1?間：

AeZ；(4-w--y-.4w?j.

24n-ir.2Ir.&cZ；

◎■惟

qpiwaatKM：2iw?/

2lcK.2kv?TT.4eZ

學(xué).2門+學(xué)]

/

“f.i=24IT-V./GZ

￥i-2AR?v,keZ時

時,，取殿小值-n取最小假-h

最值A(chǔ)Jttm

牛=XN?A^ZH4.、JkM

與x=24nr?:?&wZ

kWi

時,，取最大0n

如《性奇麗數(shù)倜函數(shù)G」數(shù)

=4MH（un?＜）（＜。＞0）的單調(diào)區(qū)間時?則雷&的系數(shù)之為正

的.再談法求■之

3.解三角形

（口語花定理與余弦定W

I正弦定用:號=，'=—=訓(xùn)片為外銀）.

MO47nnsinC

2；余我定理:=64-r*-2/mw?4,fi：M”‘?/-Ztriw8.J=”'?，/-2rt6＜x?*C,

3?:角形向枳:S=n/min■：or?inH=\，mnL

【易錯】利用正弦定理解三角彩時，舞已知三角形的兩邊及其一邊的時用弊三角形

時，身急就三府彩的解的個軌

(2)角形中靠業(yè)的論

Irl+R+C?ir.2/|-A4/K?中..A>R^a>fc?*in4>*?i能4<n*R

3:fft形內(nèi)的滿核'式：7ii(4?")=7nC；SA(AM)=-C;

lon(4+//)=-tailC；MII，："―:;<x?*，："=?i"：.

五、平面向量

1.平面向量相等、共線與垂直

一般表示坐標(biāo)表示（向量坐標(biāo)結(jié)合上下文理解）

相等長度相等H方向相同（陽，力）=（*2,力）0。=叼，＞1=＞2

共線O存在唯一實數(shù)人

共線（*|）.（*2,及）共線0町＞2-町力=。

使得。二人〃

垂直a1b<^a,ft=0（須，力）.（%,力）垂直O(jiān)*產(chǎn)2+力力=0

2.有關(guān)運算

加法法則。+b的平行四邊形法則、三角形法則a+b=但+x2,y1+y2)

法則"b的：角形法則a-*=(x1fi-y2)

減法

分解示=水-浦冰'=（*、-?，，、-，“）

A?。（。*0）的方向,入＞0時。0方向相同.

數(shù)乘概念A(yù)a=(Ax,Ay)

A＜0時與a方向相反，14al=141

概念a?h\a\lblcofi(a,6)a,b=xxx2+%>2

數(shù)量

lai=J?+>',IXjX+力力1W

主要2

積a?a=lul2,la,blWlaiIbl

性質(zhì)/*l+>-|?g+>2

【強調(diào)】①若兒從。三點共線且不=入都+〃無，則A+〃=l.

②C是線段48中點的充要條件是說=；（蘇+笳）.

六、數(shù)列

1.等差數(shù)列的通項公式、前"項和公式及其性質(zhì)

(1)公式:=5+(n-l)d=a.+(n-m)d(n,meN,)；

(2)性質(zhì)：|a.!是等差數(shù)列.①若m+n=p+q(m.n,p,gwN'),則%+

??=%+%；若2n=p+g(n.p.^eN*)，則2an=ap+%.

②若項數(shù)為2n(neN*),WflSi,=n(a,+?！坝?，且S1M-S*=nd,^-=

?優(yōu)4+1

(其中S奇=nan,Sn=na,+1);若項數(shù)為2n-1(neN,).則昆1=(2n-I)a“，

且%-SM=4，1電=^"(其中%=，q,S斛=(n-1)a,).

2.等比數(shù)列的通項公式、前“項和公式及其性質(zhì)

叫,<7=1.

(1)公式:a"=?|7"'=??7""(n.meN,)；Sn=

(2)性質(zhì)：|a?：?是等比數(shù)列.①若m+"=〃+(/(m,n,p,gwN.),則“內(nèi)?

2

Q.=%,若2“=p+g(n,p,qwN'),則a?=ap?af.

②若項數(shù)為2n(nwN＞則蓑=g.

③公比不為-1時,S..S"-S.,S3M-S?…構(gòu)成等比數(shù)列.

【易錯)①等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比g的分類討論;②當(dāng)公比為

-1時,S..SM小…不一定構(gòu)成等比數(shù)列.

七、不等式

1.一元二次不等式

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a#0,J=b2-4ac>0),如果a與

a?+及+c同號,則其解集在對應(yīng)一元二次方程的兩根之外；如果a與a?+

fcv+c異號，則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外，異號兩根之間.

2.基本不等式:若。>0,〃>0,則-/ab"

(I)應(yīng)用條件:一正、二定、三相等.

(2)具體應(yīng)用：設(shè)x.y都為正數(shù),則有

①若一>=s(和為定值)，則當(dāng)x=>，時,積町取得最大值5；

②若叼=以積為定值)，則當(dāng)工=y時.和X+)取得最小值Z瓜

3.線性規(guī)劃

(1)線性規(guī)劃求解步驟悌一步，畫出可行域;第二步，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾

何意義確定最優(yōu)解;第三步，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

【易錯】①注意區(qū)域邊界的虛實；②若是實際問題，注意對變量的限制(如

整數(shù)、非負等).

(2)11標(biāo)函數(shù)常見形式及幾何意義:①截距式：z=ar+by；②點到直線的距

離式:z=Iax+g+cI=?/a，+//；③兩點間的距離式：z=

+h2

(x-a)2+(y一6尸;④兩點連線的斜率式:z=^^.

x-a

八、立體幾何

1.幾何體表面積與體積公式

寰面積

博柱%=S.?2S.V?S?h

衣面機V.=y?

%?s.?§.F，｝s?h

即空間pre

檀臺“=§?+SJJI?*.兒何體卜4（S、735*5）A

MA

破S#=2-d一A

外的所

2y.:ml

ora§余■wr*irr/有而的卜二S

而機之

圓臺§令=ir（r"?>?〃?"）y?~?（/?"）A%：9

fn

球$.*41^L，妾*、

（易錯】常見幾何體的體秋計算公式,料別是枝錐、球的體枳公式有易息祝

公式中的系敦.導(dǎo)致出儲.

2.幾何體及其外接球、內(nèi)切球

（I）氏方體的外接球自粒等于它的體對角線長,正方體的內(nèi)切球的仃徑等

于它的極長.

（2）當(dāng)四面體為iE四面體時.設(shè)校長為Q/=S.S.=.V=；'；a二內(nèi)

切球的半徑”編.外接球的華羽/?=￡.

124

3線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理

判定定理性康定理

緩a〃<t.aUdaC6=bn<i〃4

平

血段線平行R線囪平行線向平行n線線平行

行

oUQ.6U6.ad']”

關(guān)面^//a.b//a產(chǎn)。a〃6.yCa?a.*yC/3=6=s〃S

系而面向平行n線線平行

我面平行"面面平行

mCa.?Ca.mn??P1

線Uxila：：：i

41m,alNJ

面

線線率rm餞而事fl線曲季fin找奴￥行

曲/XpJCa=^aIffalp.an/3?/,aCa,al/=^i

面線面垂直>面囪垂ft面面垂（In紋面條fl

【易錯）或而平行的證明問題中,往往息視“afZa,a〃兒&Ua”三個*件中

的某一個.

4.空間角

定義（求X離踣）?■

過空間?點作兩條廿面直線的平行出線（也可以平住四條7

蚌囪直找

面在稅中的一條）.nits/所成的校角（成仃廊）為畀面自蝶所（0-fl

所成的俗0

成的仰

過斜線1.制足外一點向千曲明*埃.相刎斜線的時影?斜線與射

線創(chuàng)用6[0-fl

影所成的帆曲（或真角.0°角）為蛾面的

以交線?的一點為隼足,在四個半平曲內(nèi)分別作垂直于檢的射

二面角9

紋.這川個射線構(gòu)成的角[0.#）

（甥錯】①異面貪線所或用利用“平移*”求解時.要注叁小移后所掙的優(yōu)

角（或丸角）舟所未正

②麻弁面皮線所成的用.）1線與平面所或的角和二面陶時，時轉(zhuǎn)珠的窗.可

以采用樸辣的方法來求M.

九、*析幾何

1.亶線的創(chuàng)率與方n

⑴科率/?斜角力力時.tHU=Un。=至好.戒中

在JKtt上

a■式”,■1(M；力，N“?4.“

毋.懸5f1力m住?.,HU?U；分VI力?JN.

考點式

T*t'?

1KHA('>.y>>>(*t.n)

4,?防?C?0(4,?片》。).，003口

一■式

*k---J**??*-1*

(3)用條H技的平行。曜也

①平行:當(dāng)不直介的百條自找L?1,的料率環(huán)存在時4/"：0,=%:當(dāng)

不改合的帶條人炫。和/，的制?■不存在時.它的口.旦乙〃(

②*眄條fltt，，W/：的新率蕉存在H不為。時/1J,B4?4,?

-I;與網(wǎng)前f(tU4中的條斜率不存住.另條斜率為0時/口,?

(4)期育公式

<DP.<?..).>(*!.?J>RjttJiHfiWMlIP,P,I?-4尸

②疝刊今線M??階"?0的即離d-戈急滬.

.3ftttL：檢?物?G?。用在找4：A??的?G*。的卡離”?

ic,-qi

八./

(?9)1&用.*.“人.8U人未直歡的才””.叁拗。外經(jīng)?木4公的

恰為

②直殘SUWT正.7■.也可力。

2.BB的方It

“由"方程:俗，.方押

mAW：*1?>2?/>?.￡>?F>0(K中1.￡J-4f>0>.

(2)笈線“理.1”?的口?英東_______________________________________

?swta?■

atiMM"18蛆丸?

與BDn.?&，<，rf?r4>f

RttaAwa?-???ArNSXar

lr(一，/</<，！?，,J",”,*4??,7,14>rt★J<s,"tjl

上&中.統(tǒng)找'je的位置關(guān)系中/為及心利在線的KMhlTjM的位置關(guān)

系中.4%內(nèi)■的一心距.

3.MB

1fllI內(nèi)。兩個定點R的■A之和與于常收2-(大/”,，』?看)的點

的施造叫做>6

峰率力ny+“〈?”>?5?小>!(?>?X?

x

■?“研了A

弋弋\r

aainw?.i,y，?yi??,l?l4(

A(-a.Ot^fa.O).4,(0.t.^CO.a).

■AB,(O.-*).?,<O.4I?.(_b.

對春熱力H(>0.**0

“中心<o.o>

■<>??-y<O<?<D

4.雙?油

平面內(nèi)，四個定點￡.人的期離之冷的絕“值等「?！丁?(小丁"，/-2r)

的虎的我逢叫做奴曲蝶(4,?/--*)

方N>o.fc>0J^j--p-?|(?><?<*><!>

■M肅

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*ma，?冷，?十

【■?】以u?改:;

2：a*線方找出號-,=級才收'"o??…

*近蝶才根力*—??+uo=?a?收方“7及乃$--A(AH)I

?*冷冷$-金?|有公關(guān)*城線.才誼W'-QPC

*▲&aM±i?A<0.M?.A4.yMX.

s.M*a

平面內(nèi)到一個定點F8-條定應(yīng)收“定AlF不作定自d/上)*11?1等的

點的，逢是器將ftq焦點列席皎的距離等于AP>0.*Stt)

【謹英】以惠依|葉十”斷代./<(?,.

%),85.力)*點.Ul??匕+，u恚(w為4.3所⑥

ttVi*町?:，

十、計數(shù)原理

1.排列組合

(I)排列:從〃個不同元素中取出m(znWn)個元素，按照一定的次序排成一

歹h叫做從“個不同元素中取出m(mWn)個元素的一個排列，所有不同排列的個

數(shù),叫做從n個不同元索中取出m(mWn)個元索的排列數(shù),用符號A：表示.

排列數(shù)公式:A：=n(n-l)(n-2)…(n-m+l)=--n.(n,meN",

("-m)!

mW"),規(guī)定0!=1.

(2)組合:從n個不同元素中，任意取出m(mWn)個元索并成一組叫做從

"個不同元素中取出個元素的組合，所有不同組合的個數(shù)，叫做從"

個不同元素中取出m(mWn)個元素的組合數(shù),用符號C：表示.

組合數(shù)公式:C：二仆二-m+L)c=*C：=C：-.C；4|=C；+

(3)解決排列組合問題的常用策略

①特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法：首先考慮問題中的特殊元索或

位置，然后排列其他一般元索或位置.

②捆綁法:相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看成一個整體參

與其他元素排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

③插空法:不相鄰問題插空處理的方法,即先考慮不受限制的元索的排列，

再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

④“含”或“不含”某些元索:“含”,則先將這的元素取出.再由其他元索補

足;“不含”，則先將這些元素剔除，再從其余元素中選擇.

⑤“至少，，”至多，，含有幾個元素：要注意題目中“至少”“至多，，等關(guān)鍵詞的

含義，謹防重復(fù)和漏解.用宜接法和間接法都可求解，通常用比接法分類復(fù)雜

時,考慮逆向思維，用間接法處理.

2.二項式定理

(a+/?)"=C°o"60+C'?a'"lb+…++-+C：a°6"(C；叫做二項式

系數(shù)).

通項公式=C：a"-&(其中0WrW〃,rwN,neN?).

【強調(diào)】①在二項展開式中與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等；

②二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項是第0+1

項，它的二項式系數(shù)C?最大；當(dāng)“是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第卡?項和第

妥+i項，它們的二項式系數(shù)c￥=C竽最大.

③二項式系數(shù)和C：+C：+C：+…+C：+-??+C：=2".

【易錯】對二項式展開式要區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔

細.項的系數(shù)與a,b有關(guān)，可正可負；二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正.計算二項式

系數(shù)和與各項系數(shù)和的思路.如(I+2.r)*=C：(2x)°+C：(2x)+C：(2x)2+…+

C：(2x)",二項式系數(shù)分別為C!，C，…,C：,計算二項式系數(shù)和，令2x=l；各項系

數(shù)分別為C：2°,C：2',C：22,…,C：2",計算各項系數(shù)和，令x=L

十一、概率與統(tǒng)計

1.互斥事件與對立事件的概率

(1)事件48互斥，則〃(.455)=尸(4)+P(幻._

(2)事件4與它的對立事件力的概率滿足P(A)+P(4)=1.

2.古典概型與幾何概型

(1)古典概型的使用條件:試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性.

古典概型的概率計算公式

4包含的基本界件數(shù)

O-總的基本事件個敖-

(2)幾何概型的特點：試驗中所不可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本貨件)有無限多

個，每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

幾何概型的概率計算公式

小小_構(gòu)成一件4的區(qū)域長度(的積或體積)

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).

3.離散型隨機變量的分布列與期望、方差

(】)條件概率與事件的獨立性

①條件概率：在事件4發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率,P(8M)=

其具有如卜性質(zhì)：0矣P(川4)wl；8,C互斥,P(8UCM)=P(B\A)+

P(C\A).

②事件的獨立件：裂件4與事件8滿足P(4C8)=P(.4)P(8),野件A與

事件8相互獨立.

(2)分布列

離散型隨機變值的所有取值及取值的概率列成的我格

X陽叼4

PPlP2Pn

離散型隨機變局的分布列的兩個性質(zhì):PBO(i=12…川；化+P2+…+P?=1.

(3)期望與方差

公式:E(f)=x,Pi+*2P2+…+*M，

。%)二(即一￡(9)2?四十(#2-￡%))2*Pz+…尸-P。.

性質(zhì):￡(若+6)=a￡(f)+6；D(af+6)=1。(竹?

若5,則E(f)=np,D(g)=叩(I-p).

若；服從幾何分布，且尸(，=&)=?(*,p)=(I則E(f)=十,

"(f)

P

(4)特殊分布

pApa-4

超幾何P(X-k)=<-01,2.….m.其中m-min,.且u&\.

C"

分布

V^V.n.lf.AeN,

二項分布以X=k)=C加"1-p).?，A=0.1.2.…

3(x)=7工圖象稱為正態(tài)密度曲線,隨機變址X滿足

正態(tài)分布P(a<X^b)=1)(x)dx.則稱V的分布為正態(tài)分布.記為X~N",

M).正態(tài)密度曲線的特點：曲線關(guān)于比線t=M時稱

4.統(tǒng)計

(1)隨機抽樣、樣本估計總體

①簡單隨機抽樣：從總體中逐個抽取且不放【可抽取樣本的方法；

分層抽樣:將總體分層，按照比例從各層中獨*抽取樣本的方法；

系統(tǒng)抽樣:將總體均勻分段，每段抽取一個樣本的方法.是等印抽樣.

②頻率分布仃方圖中,縱軸表示器，每個小長方形的面枳表示對應(yīng)的腕率.

(2)線性回歸方程—_

線性【可歸內(nèi)線一定過定點(3>),(*.〉)稱為樣本點的中心.

(3)獨近性檢驗

一般地,假設(shè)有兩個分類變量X和匕它們的取值分別為……必和

iy,,力,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2x2列聯(lián)表)為

)1九總計

*1aba+b

x?Cdc+</

總計ab+da+分+c+d

若饕判定x與y是否有關(guān)系，可構(gòu)造一個隨機變量(長方統(tǒng)計僦)

代=(”“；新，(Rd)，其中—為樣本視來檢驗.

十二、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

形如“+慶(",4wR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),”叫做復(fù)數(shù)的實部)叫

復(fù)數(shù)

做復(fù)數(shù)的虛部.時叫虛數(shù),“=0,M0時叫純虛數(shù)

概念

復(fù)數(shù)相等a+bi=r+R)<=^<i=c、b=d

共規(guī)復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)，即；=a+bi,則云="-歷

加減法(abi)士(r+di)=(?±c)+(6±rf)i(a,6,c,JeR)

乘法(a+〃i)(c+di)=(ar-M)+(6c+nrf)i(a,Ar,rfeR)

運算t

/i.x/..xar+6</be-da.,八.,2

除法(4+加)+(。+力)=,,i(c+力KO.",6,c,dwR)

c+d+d~

幾何復(fù)數(shù)z=“+6色巴復(fù)平面內(nèi)的點Z(0.6)也向量"的模(⑴=

意義y/a1+7)

【易錯)注意復(fù)數(shù)的虛部是指i的系數(shù).

十三、坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1.參數(shù)方程化為普通方程

(I)代入法:利用解方程的技巧求出參數(shù),然后代人消去參數(shù)；

(2)三角法:利用三角恒等式消去參數(shù)；

(3)整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去參數(shù).

【易錯】在消參過程中注意變量取值范圍的一致性.

2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

_rp：=/,

若點M的極坐標(biāo)為(p,e),直角坐標(biāo)為(x,y),則｛:二篇J，tan0xKO

【強調(diào))極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程通常需要構(gòu)造出小缶仇psin0,p的

形式，常用的構(gòu)造方法是方程兩邊同時乘p或同時平方.

3.直線參數(shù)方程中參數(shù)/的幾何意義

標(biāo)準的直線方程中,參數(shù)/的幾何意義是直線上任一點到直線所過的定點

的距離.

十四、不等式選講

1.絕對值不等式的解法

類型1Is+〃lWjlat+61Nc型不等式的解法(公式法)

(1)若c>0,則lox+61Wc<=>-cWax+/>Wj

lox+61Nc<=>ar+6Nc或ar+6W-c.

(2)若c<0,則lax+61Wc的解集為0,3+MNc的解集為R.

(3)若c=0.則lax+61Wcoax+b=0,lax+b\Nc的解集為R-

類型2lx-"l+E-?W，型不等式的解法(常考類型)

(1)零點劃分區(qū)間法(常用方法)：若不等式含有兩個或兩個以上的絕對值

并且含有未知數(shù).通常先求出每個絕對值的原數(shù)值等于零的未知數(shù)的值(即零

點)，然后將這些零點標(biāo)在數(shù)軸上，此時數(shù)軸被零點分成了若干個區(qū)間.在每一

個區(qū)間里,每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式有一個確定的符號，此時利用絕對值

的定義可以去掉絕對值符號.原不等式的解集就是這若干個區(qū)間上不等式解集

的并集.

(2)數(shù)形結(jié)合法:構(gòu)造函數(shù))，=/(幻=lx-al+lx-61-c,利用函數(shù)圖象求解.

2.絕對值三角不等式

lai-161這llal-I6llwla±/dwlal+ltl；la-cl^la-Z>l+16-cl.

3.柯西不等式

("2+/)(J+1)N(g+岫2(aAcwR),當(dāng)且僅當(dāng)ad=be時等號成立.

一、集合與常用邏輯用語

I.?？技系慕患\算，偶爾涉及并集、補集運算，掌握/IC8={xl#e.4且xe

B\,A\jB=\x\xeA或xe9,C(4=wU且x空川(U為全集)的含義.

互育

2.—「€.廿必幻0三30時「「(須).注意其中的“€”不變化.

二、函數(shù)

主要考查函數(shù)性質(zhì)的有關(guān)應(yīng)用，先通過奇偶性、周期性轉(zhuǎn)化，使函數(shù)值可

求,再結(jié)合單調(diào)性即可解函數(shù)不等式.

1.函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

(I)單調(diào)性:對定義域內(nèi)一個區(qū)間/,任意X,,孫e/.X,<x2J(x)是增函數(shù)o

/(陽)</(電)J")是減函數(shù)可(8)>/(/).

【易錯】①單調(diào)區(qū)間一定要寫成區(qū)間，不能寫成集合或不等式的形式；單調(diào)區(qū)

間一般都寫成開區(qū)間，不要寫成閉區(qū)間；如果一種單調(diào)區(qū)間有多個，中間不能用

“U”連接，而是用“，”或“和”連接.

②求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.

(2)奇偶性:對定義域內(nèi)任意工/(工)為偶函數(shù)u〃x)=/(-x)=/(lxl)；

/(、)為奇函數(shù)可(-x)=-/(x);若奇函數(shù)/(%)在》=。處有定義,則/(0)=0.

【歸納】偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；偶函數(shù)

在定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性，奇函數(shù)在定義域關(guān)于

坐標(biāo)原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.

2.函數(shù)的周期性與圖象的對稱性

(1)若函數(shù)滿足/(》+。)=/(工)，則/(x)的一個周期為7=1。1;

(2)若函數(shù)滿足/(x+a)=-/(x)或/(%+a)或/(x+a)=

則/(%)的一個周期為7=2lal;

(3)函數(shù)y=/(x)滿足/"(a+x)=/(a-x)(a>0),若/(x)為奇函數(shù),則其周

期為7=4"，若/(工)為偶函數(shù)，則其周期為7=2"；

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足八a+*)=/(a-x),或者是f(2a-x)=/(x),則

y=/(x)關(guān)于直或x=u對稱.

【強調(diào)】解決指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題時務(wù)必要對底數(shù)”分類討論.注意指

數(shù)與對數(shù)運算的互化法則.

三、導(dǎo)數(shù)

1.幾何意義

/'(X。)為曲線y=/(x)在點(X。,/(/))處的切線斜率，切線方程是y-

/(工Q)=/'(與)(X-工o)-

2.求導(dǎo)公式與運算法則

(l)C*=0(C為常數(shù));(x")*=nx"'(nsQ)；(sinx)*=cosx,(cosx)'=

-sinx;(e*)*=,(a')*=a'lna(a>0.且aKI);(Inx)'=—,(l<?g?.r)'=—

(a>0,且a聲I).

(2)[/(x)±g(x)]'=f'(x)士g'(x)；[伏*)]'=(/'(%)；

[/(x)?或x)]'=/'(x)g(x)+/(x)g'(x);

/'(x)g(x)-g'(x)/(x)(g(x)#0).

陽卜g2(x)

3.函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值