高一數(shù)學(xué)必修一重點難點分析

一、知識結(jié)構(gòu)

本小節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例人手，引出集合與

集合的元素的概念，并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明.然后，

介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖

表示集合的例子.

二、重點難點分析

這一節(jié)的重點是集合的基本概念和表示方法，難點是運(yùn)用集合

的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合.這一節(jié)的特點是概

念多、符號多，正確理解概念和準(zhǔn)確使用符號是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵.為

此，在教學(xué)時可以配備一些需要辨析概念、判斷符號表示正誤的題

目，以幫助學(xué)生提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法.

1.關(guān)于牽頭圖和引言分析

章頭圖是一組跳傘隊員編成的圖案，引言給出了一個實際問

題，其目的都是為了引出本章的內(nèi)容無論是分析還是解決這個實際

間題，必須用到集合和邏輯的知識，也就是把它數(shù)學(xué)化.一方面提

高用數(shù)學(xué)的意識，一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中數(shù)學(xué)重要

的基礎(chǔ).

2.關(guān)于集合的概念分析

點、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合

則是集合論中原始的、不加定義的概念.

初中代數(shù)中曾經(jīng)了解“正數(shù)的集合”、“不等式解的集合”；

初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點距離相等的點的集合”等

等.在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個

初步認(rèn)識.教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成

為一個集合，也簡稱集.”這句話，只是對集合概念的描述性說明.

我們可以舉出很多生活中的實際例子來進(jìn)一步說明這個概念，

從而闡明集合概念如同其他數(shù)學(xué)概念一樣，不是人們憑空想象出來

的，而是來自現(xiàn)實世界.

3.關(guān)于自然數(shù)集的分析

教科書中給出的常用數(shù)集的記法，是新的國家標(biāo)準(zhǔn)，與原教科

書不盡相同，應(yīng)該注意.

新的國家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集N含元素0,這樣做一方面是為了

推行國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國際標(biāo)準(zhǔn)，以便早日與之接軌,

另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù)｛0,1,2,…，9）中最小的數(shù)，有了

0,減法運(yùn)算a-a仍屬于自然數(shù)，其中aeN.因此要注意幾下幾點:

（1）自然數(shù)集合與非負(fù)整數(shù)集合是相同的集合，也就是說自然

數(shù)集包含0；

(2)自然數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成N?或N.,其他數(shù)集｛如整

數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R｝內(nèi)排除0的集，也可類似表示r,

三+；

(3)原教科書或根據(jù)原教科書編寫的教輔用書中出現(xiàn)的符號如

肥，Q-,二-…不再適用.

4.關(guān)于集合中的元素的三個特性分析

集合中的每個對象叫做這個集合的元素.例如“中國的直轄市”

這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。

集合中的元素常用小寫的拉丁字母％…表示.如果a是

集合A的元素，就說a屬于集合A,記作代工；否則，就說a不

屬于A,記作

要正確認(rèn)識集合中元素的特性：

(I)確定性：aS和二者必居其一.

集合中的元素必須是確定的.這就是說，給定一個集合，任何

一個對象是不是這個集合的元素也就確定了.例如，給出集合｛地

球上的四大洋｝,它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其

他對象都不用于這個集合.如果說“由接近百的數(shù)組成的集合”，

這里“接近石的數(shù)”是沒有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)、比較模糊的概念，它不能

構(gòu)成集合.

（2）互異性：若awA,beA,則

集合中的元素是互異的.這就是說，集合中的元素是不能重復(fù)

的，集合中相同的元素只能算是一個.例如方程--2/1?。有兩個

重根勺其解集只能記為｛1｝,而不能記為｛1,1｝.

（3）無序性：｛a,b］和（b,a）表示同一個集合.

集合中的元素是不分順序的.集合和點的坐標(biāo)是不同的概念，

在平面直角坐標(biāo)系中，點（I,0）和點（0,I）表示不同的兩個點,

而集合｛1,0｝和｛0,1｝表示同一個集合.

5.要辯證理解集合和元素這兩個概念

（1）集合和元素是兩個不同的概念，符號和是表示元素和集合

之間關(guān)系的，不能用來表示集合之間的關(guān)系.例如（Dep初的寫法

就是錯誤的，而SwHD.⑶⑶的寫法就是正確的.

（2）一些對象一旦組成了集合，那么這個集合的元素就是這些

對象的全體，而非個別現(xiàn)象.例如對于集合Ge版2。），就是指所

有不小于0的實數(shù)，而不是指“工可以在不小于。的實數(shù)范圍內(nèi)取

值”，不是指“又是不小于0的一個實數(shù)或某些實數(shù)，”也不是指

“工是不小于。的任一實數(shù)值”……

（3）集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它

的元素；只要是它的元素就必須符合條件.

6.表示集合的方法所依據(jù)的國家標(biāo)準(zhǔn)

本小節(jié)列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據(jù)的是新國家

標(biāo)準(zhǔn)如下的規(guī)定.

符號應(yīng)用意義或讀法備注及示例

｛馬4加1也可用fee/）,這里的

巧■巧■…■專構(gòu)成1表小指標(biāo)集

的集

{0使命題/?為例：｛"牛句，如果從

真的A中諸元前后關(guān)系來看，集A已

素之集很明確，則可使用

（中J）｝來表不，例如

［市45）

此外，上布（才）有時也可寫成世土雙前或｛/eAWDl

7.集合的表示方法分析

集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.它們各有優(yōu)

點.用什么方法來表示集合，要具體問題具體分析.

（I）有的集合可以分別用三種方法表示.例如“小于：的自

然數(shù)組成的集合”就可以表為：

①列舉法：8.123）；

②描述法：8.123｝；

③圖示法：如圖1。

(2)有的集合不宜用列舉法表示.例如“由小于二的正實數(shù)

組成的集合”就不宜用列舉法表示，因為不能將這個集合中的元素

一—列舉出來，但這個集合可以這樣表示：

①描述法：Ue4)<x<<);

②圖示法：如圖2.

(3)用描述法表示集合，要特別注意這個集合中的元素是什

么，它應(yīng)該符合什么條件，從而準(zhǔn)確理解集合的意義.例如：

①集合卜曲中的元素是工，它表示函數(shù)尸石中自變量

的取值范圍,即J年例;

②集合｛^川■另中的元素是，它表示函數(shù)值。的取值范

圍，即九。山；

③集合中的元素是點它表示方程,石的解

組成的集合，或者理解為表示曲線廠石上的點組成的集合；

④集合中的元素只有一個，就是方程/分，它是用

列舉法表示的單元素集合.

實際上，這是四個完全不同的集合.

列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表

示法.要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因為不能將無限集

中的元素一一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定.

8.集合的分類

含有有限個元素的集合叫做有限集，如圖1所示.

含有無限個元素的集合叫做無限集，如圖2所示.

一

0x

圖2

9.關(guān)于空集分析

不含任何元素的集合叫做空集，記作0.空集是個特殊的集

合，除了它本身的實際意義外，在研究集合、集合的運(yùn)算時，必須

予以單獨考慮.

教學(xué)設(shè)計方案

集合

知識目標(biāo)：

(1)使學(xué)生初步理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其

記法

(2)使學(xué)生初步了解“屬于"關(guān)系的意義

(3)使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標(biāo)：

(1)重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)；

(2)啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學(xué)

會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；

(3)通過教師指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)知識結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和

邏輯思維能力；

德育目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)

生堅忍不拔的意志，實事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點：集合的基本概念及表示方法

教學(xué)難點：運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正

確表示一些簡單的集合

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與

和數(shù)；

2.教材中的章頭引言；

3.集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學(xué)家）；

4.“物以類聚”，“人以群分”；

5.教材中例子（P4）o

二、講解新課：

閱讀教材第一部分，問題如下：

（1）有那些概念？是如何定義的?

(2)有那些符號？是如何表示的?

(3)集合中元素的特性是什么？

(-)集合的有關(guān)概念(例子見書)：

1、集合的概念

(1)集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合。

(2)元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。

2、常用數(shù)集及記法

(1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)：全體非負(fù)整數(shù)的集合。記作

N

(2)正整數(shù)集：非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+

(3)整數(shù)集：全體整數(shù)的集合。記作Z

(4)有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合。記作Q

(5)實數(shù)集：全體實數(shù)的集合。記作R

注：

(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集

包括數(shù)0。

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集。記作N*或N+、Q、Z、R等其

它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集,

表示成Z*

3、元素對于集合的隸屬關(guān)系

(1)屬于:如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作a

￡A；

(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,

記作“4.

4、集合中元素的特性

(1)確定性：

按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素或者在這個集合里，或者不

在，不能模棱兩可。

(2)互異性：

集合中的元素沒有重復(fù)。

(3)無序性：

集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗?

注:

1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q

元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

2、的開口方向，不能把a(bǔ)￡A顛倒過來寫。

練習(xí)題

1、教材P5練習(xí)

2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

(1)所有很大的實數(shù)。(不確定)

(2)好心的人。(不確定)

(3)1,2,2,3,4,5.(有重復(fù))

閱讀教材第二部分，問題如下：

1.集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？

2.有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。

(-)集合的表示方法

1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表

示集合的方法。

例如，由方程--l■。的所有解組成的集合，可以表示為｛-1,

1).

注：(1)有些集合亦可如下表示：

從51到100的所有整數(shù)組成的集合：｛51,52,53,…，

100)

所有正奇數(shù)組成的集合：｛1,3,5,7,???)

(2)a與｛a｝不同：a表示一個元素，｛a｝表示一個集合，該集

合只有一個元素。

描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把

這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。

格式：｛xEA|P(x)｝

含義：在集合A中滿足條件P(x)的x的集合。

例如，不等式釬3>2的解集可以表示為：(初司*-3>為或

(x|x-3>2)

所有直角三角形的集合可以表示為：但屋a角部粉

注：(1)在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。

如：｛直角三角形｝;｛大于10」的實數(shù)｝

（2）錯誤表示法：｛實數(shù)集｝;｛全體實數(shù)｝

3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法。

注：何時用列舉法？何時用描述法？

（1）有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法

表示，只能用列舉法。

如：集合U'.我+F-+用

（2）有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便

于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

如：集合KzO3?一+D；集合｛1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)｝

注：集合與集合是同一個集合嗎？

答：不是。

集合。州，Tf是點集，集合（H尸回門。是數(shù)集。

（三