概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差演示文稿

概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有26頁\編輯于星期五概率論與數(shù)理統(tǒng)計方差ppt課件現(xiàn)在是2頁\一共有26頁\編輯于星期五

上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望，它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.現(xiàn)在是3頁\一共有26頁\編輯于星期五

例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：

若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近現(xiàn)在是4頁\一共有26頁\編輯于星期五

由此可見,研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的.、那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?當然可能首先想到的是用，但他有正有負，因而會互相抵消而使，容易看到這個數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差

能度量隨機變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對值,運算不方便,通常用量來度量隨機變量X與其均值E(X)的偏離程度.現(xiàn)在是5頁\一共有26頁\編輯于星期五一、方差的定義

設X是一個隨機變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.

記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2現(xiàn)在是6頁\一共有26頁\編輯于星期五若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.

方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差D(X)較?。灰虼?，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量X取值分散程度的一個尺度?，F(xiàn)在是7頁\一共有26頁\編輯于星期五X為離散型，分布率P{X=xk}=pk

由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù)

g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學期望.二、方差的計算X為連續(xù)型，X概率密度f(x)定義法現(xiàn)在是8頁\一共有26頁\編輯于星期五計算方差的一個簡化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)現(xiàn)在是9頁\一共有26頁\編輯于星期五現(xiàn)在是10頁\一共有26頁\編輯于星期五現(xiàn)在是11頁\一共有26頁\編輯于星期五二常見分布的方差解為X的標準化變量注任何存在數(shù)學期望和方差（不為0）的隨機變量都可以標準化。現(xiàn)在是12頁\一共有26頁\編輯于星期五例2設隨機變量X具有(0—1）分布，其分布率為求D(X).解由公式因此,0-1分布現(xiàn)在是13頁\一共有26頁\編輯于星期五例3解X的分布率為上節(jié)已算得現(xiàn)在是14頁\一共有26頁\編輯于星期五因此,泊松分布現(xiàn)在是15頁\一共有26頁\編輯于星期五例4解因此,均勻分布現(xiàn)在是16頁\一共有26頁\編輯于星期五例5設隨機變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布現(xiàn)在是17頁\一共有26頁\編輯于星期五例6

注意對于任何一個正態(tài)分布中的參數(shù)都有其自身的意義現(xiàn)在是18頁\一共有26頁\編輯于星期五三、方差的性質(zhì)1.設C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);3.設X與Y是兩個隨機變量，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}若X,Y相互獨立,則有此性質(zhì)可以推廣到有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況.現(xiàn)在是19頁\一共有26頁\編輯于星期五下面我們證明性質(zhì)3證明現(xiàn)在是20頁\一共有26頁\編輯于星期五

4.

D(X)=0P{X=C}=1,這里C=E(X)推論現(xiàn)在是21頁\一共有26頁\編輯于星期五例7

設X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設i=1,2，…，n

則是n次試驗中“成功”的次數(shù)下面我們的舉例說明方差性質(zhì)應用.解X~B(n,p),“成功”次數(shù).則X表示n重努里試驗中的現(xiàn)在是22頁\一共有26頁\編輯于星期五于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),現(xiàn)在是23頁\一共有26頁\編輯于星期五現(xiàn)在是24頁\一共有26頁\編輯于星期五例8設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.解:=4×2+1=2×1-0+3(E(Z),D(Z))Z~N(5,32)且X與Y獨立,Y~N(0,1)，X~N(1,2),則Z~NE(Z)==2E(X)-E(Y)+3E(2X-Y+3)=5D(Z)=D(2X-Y+3)=4D(X)+D(Y