(教師)九年級(jí)相似三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

九年級(jí)相似三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相似三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一．選擇題（共1小題）1．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫格點(diǎn)三角形．在如圖5×5的方格中，作格點(diǎn)三角形和△ABC相似，則所作的格點(diǎn)三角形中，最小面積和最大面積分別為（）A．0.5，2.5B．0.5，5C．1，2.5D．1，5解：如圖所示，△DEF和△GHI分別是面積最小和面積最大的三角形．因?yàn)椤鱀EF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它們的相似比為DE：AB=1：，GH：AB=：，又因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比等于相似比的平方，而△ABC的面積為2×1=1，故△DEF和△GHI面積分別為0.5，5．故選B．二．填空題（共10小題）2．如圖，P是Rt△ABC斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)（P異于A、B），∠C=90°，∠B=30°，過(guò)點(diǎn)P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，當(dāng)=或或時(shí)，截得的三角形面積為△ABC面積的．解：設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2，①第1條l1，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l1∥AC，∴，②第2條l2，此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn)，l2∥BC，∴，③第3條l3，此時(shí)BP與BC為對(duì)應(yīng)邊，且=∴，④第4條l4，此時(shí)AP與AC為對(duì)應(yīng)邊，且，∴=，∴=，∴當(dāng)=或或時(shí)，截得的三角形面積為Rt△ABC面積的，故答案為：或或．3．如圖，在正方形ABCD中，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，N在CO上，且，若AB=1，設(shè)BM=x，當(dāng)x=或時(shí)，以A、B、M為頂點(diǎn)的三角形和以N、C、M為頂點(diǎn)的三角形相似．相似三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．，AB=1∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①當(dāng)CN與BM是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=解得x=，②當(dāng)CN與AB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，=，即=，解得x=．綜上所述，x的值是或．故答案為：或．2．已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問(wèn)題：（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點(diǎn)C，D．①在圖甲中，證明：PC=PD；②在圖乙中，點(diǎn)G是CD與OP的交點(diǎn)，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比；（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，一直角邊與邊OB交于點(diǎn)D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點(diǎn)C，E，使以P，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長(zhǎng)．分析：（1）①可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解；②可根據(jù)相似比來(lái)求面積比．（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在OA上上時(shí)；②當(dāng)C在OA延長(zhǎng)線上時(shí)；解：（1）①證明：過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分線∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．（2）①若PC與邊OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②若PC與邊OA的反向延長(zhǎng)線相交過(guò)P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．設(shè)OP=x，則OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=3．如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)以每秒2cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q也從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1cm的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)0＜t≤3時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形能與△ADE相似嗎？（不必說(shuō)理由）（2）連接DQ，試求當(dāng)t為何值時(shí)？△ADQ為等腰三角形．（3）求t為何值時(shí)？直線PQ平分矩形ABCD的面積．分析：（1）不能相似，因?yàn)橄嗨茣r(shí)，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的銳角不能為30°；（2）分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，②當(dāng)DA=DQ時(shí)，過(guò)D作DM⊥AE于M，③當(dāng)QA=QD時(shí)，求出AQ長(zhǎng)即可；（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過(guò)O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，根據(jù)△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根據(jù)△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解：（1）不能相似；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分為三種情況：①當(dāng)AD=AQ=3cm時(shí)，此時(shí)t=3；②當(dāng)DA=DQ時(shí)，過(guò)D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面積公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==（cm），∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm（三線合一定理），即t=；③當(dāng)QA=QD時(shí)，過(guò)Q作QN⊥AD于N，則AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=綜合上述，當(dāng)t為3秒或秒或秒時(shí)，△ADQ是等腰三角形．（3）連接AC，取AC中點(diǎn)O（即AO=OC），當(dāng)直線PQ過(guò)O時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA（ASA），∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0（舍去）．即t=3秒時(shí)，直線PQ平分矩形ABCD的面積．4．已知：Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分．在圖上畫(huà)出所有線段PC，使分割得到的三角形與Rt△OAB相似，并直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)．分析：根據(jù)平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；又當(dāng)PC⊥OB時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BC的長(zhǎng)度，再求出AC的長(zhǎng)度，從而得到此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．解：如圖，PC∥AB時(shí)，△OCP∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），PC∥OA時(shí)，△PCB∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4），PC⊥OB時(shí)，△CPB∽△OAB，根據(jù)勾股定理得，OB==10，∵P（3，4）為OB的中點(diǎn)，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，），綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），（6，4），（6，）．5．如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．動(dòng)點(diǎn)型．分析：（1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說(shuō)明存在，反之則不存在．解：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗(yàn)，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過(guò)1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的．（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）經(jīng)檢驗(yàn)，t=或t=都符合題意，所以動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)秒或秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．6．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）設(shè)△APQ的面積為y（厘米2），請(qǐng)你求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量t的取值范圍，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積最大；（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否會(huì)存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)你求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，的長(zhǎng)△QHA∽△BCA，求出，即可求出QH的值，最后求S△APQ的值；（2）存在在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，此小題要分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值；②當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)它們都符合題意即可．解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t，CP=6﹣t，BQ=2t，AQ=10﹣2t，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，∴△QHA∽△BCA，∴，∴，∴QH=8﹣t，∴S△APQ=AP?QH=t（8﹣t）=4t﹣t2；當(dāng)t==時(shí)，面積有最大值，是4×﹣×（）2=5﹣=；（2）①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，則，∴，∴t=；②當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，則，則，解得t=，當(dāng)t為或時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)△AQP和△ABC相似，故存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．7．如圖，在正方形網(wǎng)格上有若干個(gè)三角形，找出與△ABC相似的三角形．分析：可利用正方形的邊把對(duì)應(yīng)的線段表示出來(lái)，利用三邊對(duì)應(yīng)成比例兩個(gè)三角形相似，分別計(jì)算各邊的長(zhǎng)度即可解題．解：觀察可以發(fā)現(xiàn)AC=AB，故該三角形中必須有一條邊與鄰邊的比值為．△EBF中，BF=，EF=，BF=5，△DIB中，DI=2，DB=2，BI=2，△HFE中，HF=，HE=2，EF=，△ABC中，AB=1，AC=，BC=，計(jì)算對(duì)應(yīng)邊比值即可求得△EBF∽△DIB∽△HFE∽△ABC．8．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=10，對(duì)角線AC=4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0≤t≤5）．那么當(dāng)t為何值時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似．．分析：由于AD∥BC，得∠DAC=∠BCA；若以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似，可得兩種情況：①△ADC∽△CEA，此時(shí)對(duì)應(yīng)邊AD=AD，則兩三角形全等，AD=EC=2；②△ADC∽△CAE，此時(shí)AD：AC=AC：CE，根據(jù)所得的比例式，即可求出CE的長(zhǎng)；根據(jù)上述兩種情況所得出的CE的值，再除以B點(diǎn)的速度，即可求出時(shí)間t的值．解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA；①當(dāng)△ADC∽△CEA時(shí)，，即EC=AD=2，t=2÷2=1s；②當(dāng)△ADC∽△CAE時(shí)，，即CE=AC2÷AD=8，t=8÷2=4s；故當(dāng)t為1s或4s時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADC相似．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？分析：根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似得出兩種情況，根據(jù)相似得出比例式，代入比例式求出即可．解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．∴根據(jù)勾股定理，得AB==5cm，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，=，即=，解得t=；②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，=時(shí)，即=，解得t=，綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．選作題1．在△ABC中，∠C=90°（1）如圖1，P是AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似．例如：過(guò)點(diǎn)P作PD∥BC交AB于D，則截得的△ADP與△ABC相似．請(qǐng)你在圖中畫(huà)出所有滿足條件的直線．（2）如圖2，Q是BC上異于點(diǎn)B，C的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，直接寫(xiě)出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫(huà)出具體的直線）分析：（1）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似，可以作DP∥BC，PE∥AB；又由有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，可以過(guò)點(diǎn)P作PG⊥AB交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作∠PFC=∠A即可；（2）本題需要根據(jù)BQ的取值范圍不同，所畫(huà)的直線條數(shù)不同討論即可．解：（1）如圖所示：（2）當(dāng)0＜BQ≤時(shí)，滿足條件的直線有3條；當(dāng)＜BQ＜6時(shí)，滿足條件的直線有4條．2．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，點(diǎn)A（6，0），∠BAO=30°．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若使△POA為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以Q、O、B為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與tan30°的值求出OB的長(zhǎng)，即可確定出B的坐標(biāo)；（2）P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若使△POA為等腰三角形，則有OP=PA或PA=AO兩種情況，如圖1所示，①當(dāng)OP1=P1A時(shí)，連接OP1，作P1C1⊥OA，則C1為AO的中點(diǎn)，P1C1為△AOB的中位線，求出P1C1與OC1的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P1的坐標(biāo)；②當(dāng)P2A=AO時(shí)，連接OP2，作P2C2⊥OA，可得出P2A=AO=6，∠P2AO=30°，在Rt△P2AC中，求出P2C與AC2的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出OC2的長(zhǎng)，確定出此時(shí)P2的坐標(biāo)即可；（3）分三種情況考慮：當(dāng)∠OBQ為直角時(shí)，如圖2所示，再分兩種情況考慮：①若△BQO∽△OAB；②若△BQO∽△OAB時(shí)，分別求出Q的坐標(biāo)；當(dāng)∠CQB為直角時(shí)，如圖3所示，再分兩種情況考慮：③過(guò)O作OQ⊥AB，此時(shí)△QOB∽△OAB，④若△QBO∽△OAB時(shí)，分別求出Q的坐標(biāo)；當(dāng)∠BOQ為直角時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)