步步高高中數(shù)學(xué) 步步高選修2-2 第一章1.6

PAGEPAGE1學(xué)習(xí)目標(biāo)]1..2..3..知識(shí)點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與定積分的關(guān)系)x等于函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)F′＝b上的改變量Fb)a－F(a).以路程和速度之間的關(guān)系為例解釋如下：v＝v(t)s可以用定積分表示為bv).另一方面，如果已知該變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程函數(shù)為a，b內(nèi)物體的位移為b－abv)＝b由于′＝v，即為avv)t等于被積函數(shù)v的原函數(shù)ab上的增a量s(b)－s(a).思考函數(shù)f(x)與其一個(gè)原函數(shù)的關(guān)系：(1)若f(x)＝c(c為常數(shù))，則F(x)＝cx；1(2若＝nn≠1，則F＝ ·n1；n＋1(3)若f(x) 1 (x)＝lnx(x>0)；＝x，則Ff(x)＝exF(x)＝ex；axaf(x)＝axF(x)＝

(a>0且a≠1)；lnaf(x)＝sinxF(x)＝－cosx；f(x)＝cosxF(x)＝sinx.知識(shí)點(diǎn)二微積分基本定理一般地，如果上的連續(xù)函數(shù)，并且′b)x＝b－Fa).a思考(1)函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)是否唯一？(2)用微積分基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟是什么？答案(1)不唯一.①把被積函數(shù)f(x)差；②用求導(dǎo)公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；③利用微積分基本定理求出定積分的值.題型一求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積例1 計(jì)算下列定積.(123d；(22(＋3)；1 0(3)3(－2)；(42－1d.－1 1解(1)(3x)′＝3，2所23d＝( ＝3－＝3.1 1(2)因?yàn)?x2＋3x)′＝2x＋3，22(＋3)＝2＋0 0＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.22

x32

x－3

，x333－1

(4x－x2)dx＝2x2－3－1＝2×32

33

－13 202 －3－2×－1－3 ＝3.1 6 5(4)因?yàn)?x－1′＝(x－1)，2－15dx11 2＝6(x－1)611 1 1＝6(2－1)6－6(1－1)6＝6.反思與感悟(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：①求f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)；②計(jì)算F(b)－F(a).(2)注意事項(xiàng)：①有時(shí)需先化簡(jiǎn)，再求積分；②F(x)f(x)F(x)＋C(Cf(x).C的變化，f(x)＝FxC′＝b)xa，所以利用a a分時(shí)，一般只寫(xiě)一個(gè)最簡(jiǎn)單的原函數(shù)，不用再加任意常數(shù)C了.跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的定積分：(1)2x＋12dx；(2)9 x(1＋x)dx. x12x

412解(11

＋xdx＝2x2＋2＋1dx x21122d22d2x1 1 11 2

+2

12＝3x3113

+-21 3

1 ＝3×(229＝6.

)＋2×(2－1)－2－1(29 (＋)x49( ＋)x42 1

9＝3x x＋2x242 1

2 1 ＝3×9×3＋2×9－3×4×2＋2×4271＝6.題型二求分段函數(shù)的定積分3∈[，，例2 2x，x∈[2，3]

在區(qū)間[0,3]上的定積分.解由定積分的性質(zhì)知：)＝1)2)＋3)x0 0 1 213d22d3xdx0x41

1x32

232x3＝40

＋31

＋ln221 8 1 8 4＝4＋3－3＋ln2－ln231 4＝12＋ln2.反思與感悟(1)分段函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分可分成幾個(gè)定積分的和的形式.(2)分段的標(biāo)準(zhǔn)是確定每一段上的函數(shù)表達(dá)式，即按照原函數(shù)分段的情況分就可以.跟蹤訓(xùn)練2 求下列定積分：(12x2－1|；(2)π 1－sind. 200－2≤＜1，解(1)∵y＝|x2－1|＝2－1≤≤2，22－1|＝1(－2)2－1)x0 x31

0 1x3 2＝x－30

＋3－x11 1 8 1 ＝－3＋3－2－3－1＝2.(2)π20

1－sin2xdx＝π|sinx－cosx|dx20π ＝4(cosx－sinx)dx＋2(sinx－cosx)dx 0 π4ππ π＝(sinx＋cosx)40

＋(－cosx－sinx)π＝ 2＋

2－1＋(－1)－－

2 22 2

2－2＝2 2－2.PAGE5PAGE5題型三定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用例3 已知a1(a2－)，求a的最大.02 3 122 2解∵3ax－2ax′＝2ax－ax，2 1 11(a－a2)a32a220 02 1＝3a－2a2，2 12 12 4 4 2即f(a)＝3a－2a＝－2a－3a＋9＋91 22 2＝－2a－3＋9，2 2∴當(dāng)a＝3時(shí)，f(a)有最大值9.反思與感悟.跟蹤訓(xùn)練3 已知＝a2＋b＋≠0，且1＝2，′(01)x＝－2，求a、0b、c的值.解由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2.①又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0，②1)1a2＋b)x0 01 3 1 2

1＝3ax＋2bx＋cx01 1＝3a＋2b＋c，1 1∴3a＋2b＋c＝－2，③由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.1.π

cos2x

dx等( )24cosx＋sinx20A.2( 2－1)C. 2－1

B. D.2－PAGEPAGE6答案C解析結(jié)合微積分基本定理，得πcos2x－sin2x π π4cosx＋sinxdx＝4(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)4 ＝2－1. 0 0下列定積分的值等于1的是( A1dx0

0B1＋1)x0C11dx0答案C

1 1 1

1D1dx01

1 1 3

1 1解析1dx＝220 0

＝2，1x＋1)x＝＋0

＝2＋1＝，11dx＝x0

＝1，12x011 11＝2x0

＝2.故選C.2x2 23.0答案

－3xdx＝ .43解析2x2－2xdx＝2x2dx－22xdx 3

30 0 0x32＝30

x2－30

8 4 4＝3－3＝3.2＋1，≤＜1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ 則2f(x)dx＝ .3－1≤≤，0答案176解析2)12＋1)2(－)x0 0 1x3 1

3 x22 17＝30

＋x－21

＝6.已知函數(shù)為偶函數(shù)，6)＝，6 )＝ .答案16

0 －6解析因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，6)＝6))＝16.0 －6 0求定積分的一些常用技巧PAGEPAGE10.”(3).由于定積分的值可取正值，也可取負(fù)值，還可以取0x軸下方的圖形面積要取定積.一、選擇題函數(shù)xcosdx的導(dǎo)數(shù)( )0A.cosx B.－sinx C.cosx－1 D.sinx答案Ax解析(sin′cosxxcosd＝sin0 0

＝sinx，故選A.若F′(x)＝x2，則F(x)的解析式不正確的( )A.F(x) 13＝3xB.F(x)＝x3C.F(x) 13 1＝3x＋D.F(x) 13 (c)＝3x＋c答案B解析若F(x)＝x3，則F′(x)＝3x2，這與F′(x)＝x2不一致，故選B.3.0＋2|x等于( )－4A.0 ＋2)x－4B.0 －2)x－4C－2＋2)02－－2)x－4 －2D－2－－2)0 ＋2)x－4答案D

－2＋2，≤，解析∵|x＋2|＝－－，4≤<2，0＋2|＝－2－2)0 ＋2).－4故選D.

－4 －22，－≤，已知?jiǎng)t1－1f(x)dx的值1，0，3 4 2 2A.2 B.3 C.3 D.－3答案B

x3 1 4解析1f(x)dx＝0x2dx＋11dx＝301＋x|10＝＋1＝，故選B. －1 －1 si2xdx等( )

－ 3 32 20πA.4C.2

πB.2－1π－2D. 4答案Dπ 2x

π1－cosx 1

π π－2解析

dx＝

dx＝

x－sinx

，故選D.2 20

2 2 201

20 46.若S22d，S22xd，S＝2xd，則S1，S2S3的大小關(guān)系( )1 1 1S S A. ＜S S 1 2 3S S C. ＜S S 2 3 1答案B

B. ＜＜S S S S S S D. ＜S S 3 2 11 2 7 1 2解析S22d＝x3＝，S＝2x＝lnx2＝ln＜S2xde

＝e2－e＝11 11e(e－1) 7

3 3 21B.

1 3 1 1＞，所以S＜S＜S，選3二、填空題

2 1 37.1 ( 1－＋)＝ .－1π答案2解析1 (

1－x21－d1d1－x2－1 －1 －1 －1dx等于半徑為1的半圓的面積，1－1

1－x2dx＝π，1xdx＝1x2|1＝0，2 2 2 2 π1 ( 1－＋)2.－18.2d＝9，則常數(shù)T的值為 .0答案31 t 1解析2d＝3 3T＝，即T3＝2，解得＝3.0 09.設(shè)函數(shù)＝a＋≠01)＝，0≤，則＝ .0答案 33

1 1 1 a解析1)＝x得1a2＋)a3＋c ＝a＋a＋∴＝a2∵≠， 0

3 3

0 3 00 0 01 3 3∴x2＝0≤x≤1，∴x＝.故填.0 3 0 0 3 3lg，0，10設(shè)a32d，≤0. 若(1)1，則＝ .0答案1a解析因?yàn)椋?>，所以(1＝lg0又≤0a32＝＋0 0

＝x＋a3，所以f(0)＝a3.因?yàn)閒[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.三、解答題1711設(shè)1)＝1x)＝6，求.0 0解∵f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則)＝1a＋b)x1ad1bdx0 0 0 01＝2a＋b＝5，x)1a＋b)1a2)1bx0 0 0 01 1 17＝3a＋2b＝6.1由由1 1 17

＝4， 即f(x)＝4x＋3.a＋b＝

＝3.3 2 63，x∈[，1，12.若函數(shù)f(x)＝ 2x，x∈2，3].

3)x的值.0解由積分的性質(zhì)，知：)＝1)2)＋3)x0 0 1 213d2 d3xdx0x41

123

22x＝＋

x2＋ 34 0 32

ln221 4 2 8 4＝4＋3

2－3＋ln2－ln25 4 4＝－12＋3 2＋ln2.133＋a|.－4解(1)時(shí)，x2 7原式＝3 (x＋a)dx＝ ＋