數(shù)學教案基本作圖

數(shù)學教案－基本作圖

教學目標：

1、知識目標：

（1）要掌握尺規(guī)作圖的方法及一般步驟；

（2）掌握五種基本作圖,明確尺規(guī)作圖的意義。

2、能力目標：

（1）通過“作圖題”練習，提高學生的幾何語言表達能力；

（2）通過畫圖，培養(yǎng)學生的作圖能力及動手能力.

3、情感目標：

（1）體驗數(shù)學語言的簡潔嚴謹。

（2）體會數(shù)學作圖語言和圖形的和諧統(tǒng)一。

教學重點：熟練掌握五個基本作圖，作圖時要做到規(guī)范使用尺規(guī)，規(guī)范使用作

圖語言，規(guī)范地按照步驟作出圖形。

教學難點：作圖語言的準確應用，作圖的規(guī)范與準確。

教學用具：直尺，圓規(guī)

教學方法：講練結(jié)合法

教學過程：

前面我們學習了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡單的幾何證明題．在學習

中常常感到需要有準確、方便的畫圖方法，畫出符合條件的幾何圖形．本節(jié)我

們學習這種幾何作圖方法．

1、閱讀教材，理解概念

學生閱讀教材第一部分，并回答問題：

(1)尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

(學生使用的尺子都有刻度，這里告訴學生，直尺是用來畫直線的，或者延長

線段、射線成直線的．我們作圖時，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不

用它們?nèi)ザ攘块L度，就是這里所說的直尺)

(2)基本作圖：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖．

一些復雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，第一冊里曾講過用尺規(guī)作一條

線段等于已知線段，這是一種基本作圖，下面再介紹幾種基本作圖：

練習：作一條線段等于已知線段

2、講解例題，熟悉語言

教師邊作圖邊用語言敘述作法，讓學生聽懂。

前面我們學會了用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，學習判定兩個三角形

全等“邊邊邊”公理時曾經(jīng)已知三邊畫三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形

的對應角相等，進而達到角相等的目的．

1．作一個角等于已知角

分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應包括已知，求作。對于

作圖首先將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，即要寫出題目的已知、求作、作法、證

明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假設∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如圖2，在OA、OB、OA、OB上取點

C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，

OD=OD，CD=CD，這就是前面學過的“已知三邊畫三角形”．

作法：1、作射線

2、以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D

3、以點為圓心，以OC長為半徑作弧，交于

4、以點為圓心，以CD長為半徑作弧，交前弧于

5、經(jīng)過點作射線。就是所求的角

證明：連結(jié)CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴∠COD=∠COD(全等三角形對應角相等)．

即∠AOB=∠AOB．

說明：作圖題的證明，常以作法為根據(jù)，只要“作法”中寫明了作的是什么，

證明中就可以用它作根據(jù)去證明．注意，在作圖題的“證明”中，一般過程都

寫得比較簡單．如這個證明三角形全等的地方，把條件省略了．

練習：如圖3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

首先要求作圖工具——直尺(無刻度)、圓規(guī)．

然后引導學生分析題意，弄清已知是什么，求作是什么？畫出已知條件(一個

角)，寫出已知、求作．在求作中先寫出什么圖形，再寫使它合乎什么條件．

作法可讓學生或教師作圖，學生敘述作法．

讓學生寫出證明過程．

2．平分已知角

前面我們用量角器作一個已知角∠AOB的平分線OC，怎樣用尺規(guī)來畫已知角的

平分線呢？

分析：如圖4，假如∠AOB的平分線OC已經(jīng)畫出，在前面角的平分線的研究

中，我們用折線的實驗發(fā)現(xiàn)：如果有OE=OD，那么CE=CD．這個實驗也啟發(fā)我

們：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB嗎？

用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易

看出，要作∠AOB的平分線OC，在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點C？

怎樣確定點C呢？不難看出，為了確定C點，必須先找點E、D．以O為圓心，

任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，那么OD=OE嗎？再分別以D、E為

圓心，適當?shù)拈L度為半徑作弧，設兩弧交于點C，那么CD=CE嗎？而D、E為圓

心，“適當”的長度為半徑作弧，兩弧有一交點時，怎樣的長度才“適當”

呢？

已知：∠AOB如圖5

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE．

（2）分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點C．

(3)作射線OC．

OC就是所求的射線．

證明：連結(jié)CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的對應角相等)．

即∠AOC=∠BOC．

小結(jié)：

(1)基本作圖1、2有一個不同之點，即基本作圖2要把射線OC作在∠AOB內(nèi)

部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常

把∠AOB作在∠AOB的近旁．

(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī)，用鉛筆畫圖，并保留作圖過程中的輔助線(作圖

痕跡)．

(3)只畫圖的題，要求畫完圖，寫明所求作的圖形．如基本作圖中要寫出

“∠AOB就是所求的角．”

3．經(jīng)過一點作已知直線的垂線

分兩種情況來考慮：

(1)經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線．

(2)經(jīng)過已知直線外的一點作這條直線的垂線．

引導學生寫出解題的全過程：已知、求作、作法、證明．關(guān)鍵地方和疑點要向

學生解釋清楚．

分析：現(xiàn)在要尋找“經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線”的方法，能利用角平

分線的作法嗎？如圖6，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OF，如果畫出直線

DE，那么∠AOB的平分線OF與直線DE垂直嗎？為什么？

如果我們把D、E看成一條直線上的兩點，那么點O就是這條直線外的一點，圖

6啟發(fā)我們經(jīng)過直線DE外一點O作這條直線的垂線的關(guān)鍵在于確定點F，你會

確定點F嗎？

①已知：直線AB和AB上一點C，如圖7．

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：證明引導學生寫出．

②已知：直線AB和AB外一點C，如圖8．

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：引導學生寫出，要向?qū)W生說明所取的點K必須要使它和C在AB的兩旁，

通過反例說明不這樣作不行的道理．對教材中略去的證明要讓學生補出來．提

示：連結(jié)CD、CE、FD、FE，設CF與AB交于點O．首先證明△CDF≌△CEF，再

證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°．

4．作線段的垂直平分線

先讓學生理解線段垂直平分線的概念．

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，或中

垂線．

分析：在圖6中OF是線段DE的垂直平分線嗎？為什么？

想一想：確定線段DE的垂直平分線的關(guān)鍵是什么？

引導學生寫出已知、求作、作法．參照1．讓學生補上證明過程．以判定兩個

三角形全等的公理或推論為根據(jù)，做幾何作圖題的證明，一方面可以使學生確

信作圖的正確性；另一方面也可以復習鞏固證明三角形全等的方法．

因為直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點，所以我們也用這種方法作線段

的中點．

小結(jié)：

作角平分線、垂線、中垂線從本質(zhì)上講是一致的：根據(jù)“SSS”公理，確定兩

點，從而確定所求直(射)線．

至此，基本作圖共講了5個，第一章中有一個“作一條線段等于已知線段”，

本章又有4個．對于這些基本作圖應該牢固掌握，靈活運用，因為它是幾何作

圖的基礎．反復練習5個基本作圖，讓學生熟悉解作圖題的全過程，及時準確

總結(jié)出幾種常見幾何作圖語言即作圖范句

例4、已知：線段

求作：，使

作法：1、作線段BC＝a

2、分別以點B、C為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點A

3、連結(jié)AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知兩角和其中一角的對邊，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作線段

2、在BC的同側(cè)作

DE、EC交于點A。

為所求的三角形

證明：（略）

讓學生補充證明。

3、總結(jié)歸納，便于掌握

（一）常用的作圖語言：

（1）過點、作線段或射線、直線；（2）連結(jié)兩點、；（3）在線段或射線

上截?。?；（4）以點為圓心，以的長為半徑作圓（或畫?。?，交于點；

（5）分別以點，點為圓心，以，的長為半徑作弧，兩弧相交于點；（6）

延長到點，使＝。

（二）作圖題說明

在作圖中，有屬于基本作圖的地方，寫作法時，不必重復作圖