數(shù)學(xué)教案基本作圖

數(shù)學(xué)教案－基本作圖

教學(xué)目標：

1、知識目標：

（1）要掌握尺規(guī)作圖的方法及一般步驟；

（2）掌握五種基本作圖,明確尺規(guī)作圖的意義。

2、能力目標：

（1）通過“作圖題”練習(xí)，提高學(xué)生的幾何語言表達能力；

（2）通過畫圖，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力及動手能力.

3、情感目標：

（1）體驗數(shù)學(xué)語言的簡潔嚴謹。

（2）體會數(shù)學(xué)作圖語言和圖形的和諧統(tǒng)一。

教學(xué)重點：熟練掌握五個基本作圖，作圖時要做到規(guī)范使用尺規(guī)，規(guī)范使用作

圖語言，規(guī)范地按照步驟作出圖形。

教學(xué)難點：作圖語言的準確應(yīng)用，作圖的規(guī)范與準確。

教學(xué)用具：直尺，圓規(guī)

教學(xué)方法：講練結(jié)合法

教學(xué)過程：

前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡單的幾何證明題．在學(xué)習(xí)

中常常感到需要有準確、方便的畫圖方法，畫出符合條件的幾何圖形．本節(jié)我

們學(xué)習(xí)這種幾何作圖方法．

1、閱讀教材，理解概念

學(xué)生閱讀教材第一部分，并回答問題：

(1)尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用直尺和圓規(guī)來畫圖，稱為尺規(guī)作圖．

(學(xué)生使用的尺子都有刻度，這里告訴學(xué)生，直尺是用來畫直線的，或者延長

線段、射線成直線的．我們作圖時，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不

用它們?nèi)ザ攘块L度，就是這里所說的直尺)

(2)基本作圖：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱基本作圖．

一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，第一冊里曾講過用尺規(guī)作一條

線段等于已知線段，這是一種基本作圖，下面再介紹幾種基本作圖：

練習(xí)：作一條線段等于已知線段

2、講解例題，熟悉語言

教師邊作圖邊用語言敘述作法，讓學(xué)生聽懂。

前面我們學(xué)會了用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段，學(xué)習(xí)判定兩個三角形

全等“邊邊邊”公理時曾經(jīng)已知三邊畫三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形

的對應(yīng)角相等，進而達到角相等的目的．

1．作一個角等于已知角

分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應(yīng)包括已知，求作。對于

作圖首先將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，即要寫出題目的已知、求作、作法、證

明。

已知：AOB

求作：使＝AOB

分析：假設(shè)∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如圖2，在OA、OB、OA、OB上取點

C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．

由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，

OD=OD，CD=CD，這就是前面學(xué)過的“已知三邊畫三角形”．

作法：1、作射線

2、以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D

3、以點為圓心，以O(shè)C長為半徑作弧，交于

4、以點為圓心，以CD長為半徑作弧，交前弧于

5、經(jīng)過點作射線。就是所求的角

證明：連結(jié)CD、CD，由作法可知

△COD≌△COD(SSS)

∴∠COD=∠COD(全等三角形對應(yīng)角相等)．

即∠AOB=∠AOB．

說明：作圖題的證明，常以作法為根據(jù)，只要“作法”中寫明了作的是什么，

證明中就可以用它作根據(jù)去證明．注意，在作圖題的“證明”中，一般過程都

寫得比較簡單．如這個證明三角形全等的地方，把條件省略了．

練習(xí)：如圖3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．

首先要求作圖工具——直尺(無刻度)、圓規(guī)．

然后引導(dǎo)學(xué)生分析題意，弄清已知是什么，求作是什么？畫出已知條件(一個

角)，寫出已知、求作．在求作中先寫出什么圖形，再寫使它合乎什么條件．

作法可讓學(xué)生或教師作圖，學(xué)生敘述作法．

讓學(xué)生寫出證明過程．

2．平分已知角

前面我們用量角器作一個已知角∠AOB的平分線OC，怎樣用尺規(guī)來畫已知角的

平分線呢？

分析：如圖4，假如∠AOB的平分線OC已經(jīng)畫出，在前面角的平分線的研究

中，我們用折線的實驗發(fā)現(xiàn)：如果有OE=OD，那么CE=CD．這個實驗也啟發(fā)我

們：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB嗎？

用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易

看出，要作∠AOB的平分線OC，在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點C？

怎樣確定點C呢？不難看出，為了確定C點，必須先找點E、D．以O(shè)為圓心，

任意長為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，那么OD=OE嗎？再分別以D、E為

圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，設(shè)兩弧交于點C，那么CD=CE嗎？而D、E為圓

心，“適當(dāng)”的長度為半徑作弧，兩弧有一交點時，怎樣的長度才“適當(dāng)”

呢？

已知：∠AOB如圖5

求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE．

（2）分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點C．

(3)作射線OC．

OC就是所求的射線．

證明：連結(jié)CD、CE，由作法可知

△ODC≌△OEC

∴∠COD=∠COE(全等三角形的對應(yīng)角相等)．

即∠AOC=∠BOC．

小結(jié)：

(1)基本作圖1、2有一個不同之點，即基本作圖2要把射線OC作在∠AOB內(nèi)

部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常

把∠AOB作在∠AOB的近旁．

(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī)，用鉛筆畫圖，并保留作圖過程中的輔助線(作圖

痕跡)．

(3)只畫圖的題，要求畫完圖，寫明所求作的圖形．如基本作圖中要寫出

“∠AOB就是所求的角．”

3．經(jīng)過一點作已知直線的垂線

分兩種情況來考慮：

(1)經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線．

(2)經(jīng)過已知直線外的一點作這條直線的垂線．

引導(dǎo)學(xué)生寫出解題的全過程：已知、求作、作法、證明．關(guān)鍵地方和疑點要向

學(xué)生解釋清楚．

分析：現(xiàn)在要尋找“經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線”的方法，能利用角平

分線的作法嗎？如圖6，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OF，如果畫出直線

DE，那么∠AOB的平分線OF與直線DE垂直嗎？為什么？

如果我們把D、E看成一條直線上的兩點，那么點O就是這條直線外的一點，圖

6啟發(fā)我們經(jīng)過直線DE外一點O作這條直線的垂線的關(guān)鍵在于確定點F，你會

確定點F嗎？

①已知：直線AB和AB上一點C，如圖7．

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：證明引導(dǎo)學(xué)生寫出．

②已知：直線AB和AB外一點C，如圖8．

求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

作法：引導(dǎo)學(xué)生寫出，要向?qū)W生說明所取的點K必須要使它和C在AB的兩旁，

通過反例說明不這樣作不行的道理．對教材中略去的證明要讓學(xué)生補出來．提

示：連結(jié)CD、CE、FD、FE，設(shè)CF與AB交于點O．首先證明△CDF≌△CEF，再

證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°．

4．作線段的垂直平分線

先讓學(xué)生理解線段垂直平分線的概念．

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，或中

垂線．

分析：在圖6中OF是線段DE的垂直平分線嗎？為什么？

想一想：確定線段DE的垂直平分線的關(guān)鍵是什么？

引導(dǎo)學(xué)生寫出已知、求作、作法．參照1．讓學(xué)生補上證明過程．以判定兩個

三角形全等的公理或推論為根據(jù)，做幾何作圖題的證明，一方面可以使學(xué)生確

信作圖的正確性；另一方面也可以復(fù)習(xí)鞏固證明三角形全等的方法．

因為直線CD與線段AB的交點，就是AB的中點，所以我們也用這種方法作線段

的中點．

小結(jié)：

作角平分線、垂線、中垂線從本質(zhì)上講是一致的：根據(jù)“SSS”公理，確定兩

點，從而確定所求直(射)線．

至此，基本作圖共講了5個，第一章中有一個“作一條線段等于已知線段”，

本章又有4個．對于這些基本作圖應(yīng)該牢固掌握，靈活運用，因為它是幾何作

圖的基礎(chǔ)．反復(fù)練習(xí)5個基本作圖，讓學(xué)生熟悉解作圖題的全過程，及時準確

總結(jié)出幾種常見幾何作圖語言即作圖范句

例4、已知：線段

求作：，使

作法：1、作線段BC＝a

2、分別以點B、C為圓心，以為半徑作弧，兩弧交于點A

3、連結(jié)AB、AC

就是所求作的三角形

例5、已知兩角和其中一角的對邊，求作三角形

已知：

求作：

作法：1、作線段

2、在BC的同側(cè)作

DE、EC交于點A。

為所求的三角形

證明：（略）

讓學(xué)生補充證明。

3、總結(jié)歸納，便于掌握

（一）常用的作圖語言：

（1）過點、作線段或射線、直線；（2）連結(jié)兩點、；（3）在線段或射線

上截取＝；（4）以點為圓心，以的長為半徑作圓（或畫弧），交于點；

（5）分別以點，點為圓心，以，的長為半徑作弧，兩弧相交于點；（6）

延長到點，使＝。

（二）作圖題說明

在作圖中，有屬于基本作圖的地方，寫作法時，不必重復(fù)作圖