二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法備課講稿

nnnn精品nnnn

二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法課程背景二階線性遞推數(shù)列的項公式的求法是高考中數(shù)列的一個高頻考點(diǎn)于遞推數(shù)列的特殊性和復(fù)雜性，很多學(xué)生感到無從下手，是學(xué)生高考中較大的一個失分點(diǎn)，其實本題來源于課本習(xí)題，本就這個問題以課本習(xí)題為載體來深入的探討和研究一下二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法課程內(nèi)容：真再：1.廣文19）數(shù)列

項為

n

，*已知

a1

，

，

，且當(dāng)時，（1）求a的；4（2）求證：

SSnnn比數(shù)列；

．（3）求數(shù)列

式．2.在數(shù)列

a，a1

n

an

n

（

數(shù)

式問題呈現(xiàn)：第一題的第三問是難點(diǎn)，當(dāng)

n

時，

4

n

SSn

n

n

，易得

n

n

4(

n

Sn

n

即

n

n

實上就是已知aa

求通項公式。第2題更典型的已知

a

n

an

n

（

求數(shù)列

式這兩題的共同特點(diǎn)是：已知數(shù)列,,2

qa(nN*0),

求

的通項公式，即二階線性遞推數(shù)列的通項公式的求法這是學(xué)生的一個難點(diǎn)同時也是高考重點(diǎn)考查的知識很學(xué)生感到很繁瑣，無從下手。實質(zhì)，此類題型來源于我們的課本習(xí)題課例呈：例13已知數(shù)列

a5,2,1

n

n

（

數(shù)的通項公式版中數(shù)學(xué)必修5第章數(shù)列復(fù)習(xí)參考題B組）解法1：（歸納猜想）由已知可得：

a2,19,44,1

猜想[7

n

](N

*

)

(用數(shù)學(xué)歸納法證明略)解法2造法）將

an

變形，

(2annn

]若

,

即

或者3,則

nn

等比數(shù)列,公比為2-

.

時{}n

是一個首項為7,公比為的列

n

n

n

①

時，

{

n

a}n

是一個首項-13,公比為

的等比數(shù)列a

a

②精品文檔

n12精品文檔n12由①②兩式消去

a

n

得：

n

[7

](N

*

)解法3定數(shù)轉(zhuǎn)化法）

an

n

a

n

，設(shè)

an

n

n

n

，其中

是待定的常數(shù)，則an

n

n

較數(shù)顯然方程

x

2

的兩根方程

x

2

的兩根。

或

=3，得：

aan

n

n

n

)或a+an

n

3(

n

+

n

，以下與解法2

相同可得[7

n

](N

*

)我們發(fā)現(xiàn)解法2與3本相同，是構(gòu)造等比數(shù)列，再利用方程思想得到通項公式。這種解法可以推廣到一般：揭示結(jié)論：設(shè)數(shù)列

aa,a1

n

n

nN*),(0)，an

n設(shè)：

a

n

n

n

),n

是待定系數(shù)，整理得：

a

n

n

n

比較系數(shù)得：

程

2

的兩根。I.當(dāng)ann

時，設(shè)其實根為，從而有。nn

或

得

annn

或所以，數(shù)列

{

n

},{an

n

}n

分別是

和

的等比數(shù)列故得：

a

a)21

③a

)21

④當(dāng)，由③④消去

n

得

n

(21

)a2

n令

12

，則

a1

,

常數(shù)

cc由a121,2

確定當(dāng)

時，由③得

a)n1

，兩邊同除n得

aan1。列{n}n

是公差為

a2首為的差數(shù)列：n

1n得c

a121c，得

an12

，常數(shù)

cc1

由

a1

共同決定。精品文檔

nn12222112精品文檔nn12222112所以，遇到此類題求通項公式只需考查方程遞推方程

n

pa

n

qa

n

的特征方程

x

2

px

，運(yùn)用特征根方程特點(diǎn)解題，是非常簡單的。結(jié)運(yùn)對于文中所涉及的第一小題（2015東文19的第三小問我們便可以運(yùn)用此法解.題目中已經(jīng)出遞推方程n

n

1，所以其特征方程為xx，解得方程有兩個相等的實根即：4

，所以c)

n

，

12

可得：

1()11(c))1

0,2

a

n2第（2）小的遞推公式

a

n

an

n

（

特方程為

x

.解得

1

5

,

2

5

.可設(shè)

5()()

1.

2

，可得：

51

解得

c1

5,c55代入a可得n

a

151[())]52由此可見遇到此類求通項公式的題用特根方程通過待定系數(shù)法解決此類問題是很簡單的.回頭理整