南京林業(yè)大學(xué)交通系統(tǒng)分析

§5排隊論第一頁，共五十八頁。在一定的時間間隔內(nèi)到達的車輛數(shù)，或在一定的路段上分布的車輛數(shù)，是所謂的隨機變數(shù)，描述這類隨機變數(shù)的統(tǒng)計規(guī)律用的是離散型分布§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性一、離散型分布泊松分布二項分布離散分布第二頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性1.泊松分布車流密度不大，車輛之間相互影響較小，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機的。(1)適用條件(2)基本公式k=0,1,2,…Pk—在計數(shù)間隔t內(nèi)到達k輛車的概率λ—單位時間間隔的平均到達率，輛/st—每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間(s)e—自然對數(shù)的底，取值2.71828第三頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性1.泊松分布(3)遞推公式分布的均值M和方差D都等于(4)特征計數(shù)間隔t內(nèi)平均到達的車輛數(shù)第四頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性【例5-1】設(shè)60輛車隨機分布在4km長的道路上，服從泊松分布，求任意400米路段上有4輛及4輛車以上的概率。解：t=400m，λ=60/4000輛/m，m=λt=6輛第五頁，共五十八頁?！纠?-2】Adams數(shù)值例題對某一交叉口觀測數(shù)據(jù)如下第六頁，共五十八頁。§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性解：t=10s，λ=111/（180*10）輛/s，m=λt=0.617輛第七頁，共五十八頁。§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性2.二項分布車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流。(1)適用條件(2)基本公式k=0,1,2,…nPk一在計數(shù)間隔t內(nèi)到達k輛車的概率；λ一平均到車率(輛/s)；t一每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間(s)n一正整數(shù)，觀測間隔t內(nèi)可能到達的最大車輛數(shù)。p=λt/n一輛車到達的概率

第八頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性2.二項分布(3)遞推公式均值方差(4)特征D<M第九頁，共五十八頁。車流到達的統(tǒng)計規(guī)律除了可用計數(shù)分布來描述外，還可用車頭時距分布來描述，這種分布屬于連續(xù)型分布?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性二、連續(xù)型分布負(fù)指數(shù)分布移位負(fù)指數(shù)分布連續(xù)分布第十頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性1.負(fù)指數(shù)分布用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布，它常與計數(shù)的泊松分布相對應(yīng)，若車輛到達符合泊松分布，則車頭時距就是負(fù)指數(shù)分布。(1)適用條件第十一頁，共五十八頁。§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性1.負(fù)指數(shù)分布(2)基本公式

式中，P(h>t)—到達的車頭時距h大于t秒的概率。

λ—車流的平均到達率(輛/s)。第十二頁，共五十八頁。§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性【例5-3】對于單向平均流量為360輛/h的車流，求車頭時距大于10s的概率。解：車頭時距大于10s的概率也就是10s以內(nèi)無車的概率。

由λ=360/3600=0.1輛/s

同樣，車頭時距小于或等于10s的概率為：第十三頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性1.負(fù)指數(shù)分布由上例可見，設(shè)車流的單向流量為Q（輛/h），則λ=Q/3600，于是負(fù)指數(shù)公式可改寫成：負(fù)指數(shù)分布的均值M和方差D分別為：第十四頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性2.移位負(fù)指數(shù)分布適用條件：用于描述不能超車的單列車流的車頭時距分布和車流量低的車流的車頭時距分布。移位負(fù)指數(shù)分布公式:分布的均值M和方差D分別為：第十五頁，共五十八頁。§5-1交通流的統(tǒng)計分布特性【例5-4】在一條有隔離帶的雙向四車道道路上，單向流量為360輛/h，該方向路寬7.5m，設(shè)行人步行速度為1m/s，求1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)，如果單向流量增加到900輛/h，1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)是增加還是減少。第十六頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性解：行人橫過單向行車道所需要的時間：

t=7.5/1=7.5s

因此，只有當(dāng)h≥7.5s時，行人才能安全穿越，由于雙車道道路可以充分超車，車頭時距符合負(fù)指數(shù)分布，對于任意前后兩輛車而言，車頭時距大于7.5s的概率為：對于Q=360輛/h的車流，1h車頭時距次數(shù)為360，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數(shù)：第十七頁，共五十八頁?！?-1交通流的統(tǒng)計分布特性當(dāng)Q=900輛/h時，車頭時距大于7.5s的概率為：1h內(nèi)車頭時距次數(shù)為900，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數(shù)：第十八頁，共五十八頁?！?-2排隊論的應(yīng)用一、引言1.定義：排隊論是研究服務(wù)系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列(即排隊)的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)"關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論，是運籌學(xué)中以概率論為基礎(chǔ)的一門重要分支，亦稱"隨機服務(wù)系統(tǒng)理論"。【食堂、醫(yī)院、超市、銀行、買火車票等等】第十九頁，共五十八頁?！?-2排隊論的應(yīng)用一、引言2．發(fā)展：1905年：丹麥愛爾朗提出并應(yīng)用于電話自動交換機設(shè)計；1936年：亞當(dāng)斯用以考慮未設(shè)置交通信號交叉口的行人延誤問題1951年：唐納予以推廣應(yīng)用1954年：伊迪應(yīng)用排隊模型估計收費亭的延誤摩斯柯維茨的報告中，將其應(yīng)用于車輛等候交通流空檔的實驗報告。

第二十頁，共五十八頁?！?-2排隊論的應(yīng)用一、引言3．應(yīng)用：研究排隊論實質(zhì)上是解決最優(yōu)化問題，在交通設(shè)計和管理方面有動態(tài)優(yōu)化和靜態(tài)優(yōu)化動態(tài)優(yōu)化：是指排隊系統(tǒng)的運營，也就是按什么方式接收服務(wù)，常見的例子有：行人管理、交通信號控制、對車行道上延滯的處理靜態(tài)優(yōu)化：是指合理的設(shè)計方案，比如：高速公路收費口的設(shè)計、地上地下停車場的設(shè)計、加油站的設(shè)計等。第二十一頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理(1)顧客：要求服務(wù)的人或物（車）。(2)服務(wù)臺：為顧客服務(wù)的人或物。（交叉口、收費站）(3)排隊：等待服務(wù)的顧客，不包括正在被服務(wù)的顧客。(4)排隊系統(tǒng)：既包括了等待服務(wù)的顧客，又包括了正在被服務(wù)的顧客。1．基本概念第二十二頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理(5)隊長：有排隊顧客數(shù)與排隊系統(tǒng)中顧客數(shù)之分，平均顧客數(shù)（期望值）。(7)等待時間：顧客到達時起至開始接受服務(wù)時止的這段時間。(8)逗留時間：一個顧客在系統(tǒng)中停留的時間。(9)忙期：服務(wù)臺連續(xù)繁忙的時期。1．基本概念第二十三頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理(1)輸入過程：就是指各種類型的"顧客(車輛或行人)"按怎樣的規(guī)律到達。有各式各樣的輸入過程，例如：D—定長輸入：顧客等時距到達。M—泊松輸入：顧客到達時距符合負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗輸入：顧客到達時距符合愛爾朗分布。2．排隊系統(tǒng)的組成第二十四頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理(2)排隊規(guī)則：指到達的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。例如：損失制：顧客到達時，若所有服務(wù)臺均被占，該顧客就自動消失，永不再來。等待制：顧客到達時，若所有服務(wù)臺均被占，他們就排成隊伍，等待服務(wù)，服務(wù)次序有先到先服務(wù)(這是最通常的情形)和優(yōu)先權(quán)服務(wù)(如急救車、消防車優(yōu)先)等多種規(guī)則?；旌现疲侯櫩偷竭_時，若隊伍長小于L，就排入隊伍；若隊伍長大于等于L，顧客就離去，永不再來。2．排隊系統(tǒng)的組成第二十五頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理服務(wù)次序：先到先服務(wù)（FCFS）：按顧客到達的先后次序給予服務(wù)。后到先服務(wù)（LCFS）：電梯；鋼板。優(yōu)先服務(wù)（PR）：按照輕重緩急給予服務(wù)，重病號/輕病號、主干路/支路。隨機服務(wù)（RSS）：當(dāng)一個顧客服務(wù)完了，在排隊中隨機取一個，電話總機。2．排隊系統(tǒng)的組成第二十六頁，共五十八頁?！?-2排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理(3)服務(wù)方式：指同一時刻多少服務(wù)臺可接納顧客，每一顧客服務(wù)了多少時間。每次服務(wù)可以成批接待，例如公共汽車一次就裝載大批乘客。D—定長分布：每一顧客的服務(wù)時間都相等；M—負(fù)指數(shù)分布：即各顧客的服務(wù)時間相互獨立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗分布：即各顧客的服務(wù)時間相互獨立，具有相同的愛爾朗分布。2．排隊系統(tǒng)的組成第二十七頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理3．服務(wù)臺的排列方式第二十八頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用二、排隊論的基本原理4．排隊模型的表示方法肯道爾(D.G.Kendall)1971年國際排隊符號標(biāo)準(zhǔn)會議到達過程/服務(wù)過程/服務(wù)臺數(shù)目/在系統(tǒng)中最大顧客數(shù)/在顧客源中顧客數(shù)/排隊規(guī)則M/M/1/K/∞/FCFS第二十九頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用M/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊等待接受服務(wù)的通道只有單獨的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。服務(wù)（收費站）μ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)第三十頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用主要參數(shù)：設(shè)平均到達率為λ，則兩次到達的平均間隔時間（時距）為1/λ；設(shè)排隊從單通道接受服務(wù)后出來的系統(tǒng)平均服務(wù)率（輸出率）為μ，則平均服務(wù)時間為1/μ

；比率：

稱為交通強度或利用系數(shù)，由比率ρ即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。第三十一頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用當(dāng)ρ<1（即λ<μ），且時間充分，每個狀態(tài)都會以非0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)ρ≥1（即λ≥μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊會越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊消散的條件是ρ<1。例如：某高速公路進口收費站平均每10s有一輛車到達，收費站發(fā)放通行卡的時間平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s如果時間充分，這個收費站不會出現(xiàn)大量阻塞。第三十二頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務(wù)，也沒有排隊）：在系統(tǒng)中有n個顧客的概率為（包括接受服務(wù)的顧客與排隊的顧客之和）：在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務(wù)的顧客與排隊的顧客之和）：第三十三頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差：當(dāng)ρ≥0.8以后，平均排隊長度迅速增加，排隊系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。排隊系統(tǒng)中平均消耗時間：是指排隊中消耗時間與接受服務(wù)所用時間之和。三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用第三十四頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用排隊中的平均等待時間：這里在排隊時平均需要等待的時間，不包括接受服務(wù)的時間，等于排隊系統(tǒng)平均消耗時間與平均服務(wù)時間之差。第三十五頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用平均排隊長度：

這里是指排隊顧客（車輛）的平均排隊長度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。第三十六頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用平均非零排隊長度：即排隊不計算沒有顧客的時間，僅計算有顧客時的平均排隊長度，即非零排隊。如果把有顧客時計算在內(nèi)，就是前述的平均排隊長度。第三十七頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k的概率：

第三十八頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用三、M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用系統(tǒng)中排隊等候的顧客數(shù)超過k的概率：

即系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k+1的概率第三十九頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用【例5-5】某條道路上設(shè)一觀測統(tǒng)計點，車輛到達該點是隨機的，單向車流量是800輛/h，所有車輛到達該點要求停車領(lǐng)取OD調(diào)查卡片，假設(shè)工作人員平均能在4s內(nèi)處理一輛汽車，符合負(fù)指數(shù)分布。試估計在該點上排隊系統(tǒng)中的：平均車輛數(shù)；平均排隊長度；非零平均排隊長度；平均消耗時間；平均等待時間；第四十頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用

解：這是一個M/M/1系統(tǒng)，λ=800(輛/h),μ=1/4(輛/s)=900(輛/h)

ρ=λ/μ=0.89<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)平均排隊長度非零平均排隊長度系統(tǒng)中的平均消耗時間排隊中的平均等待時間第四十一頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用【例5-6】某收費公路入口處設(shè)有一收費亭，汽車進入公路必須向收費亭交費。收費亭的收費時間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛車的交費時間為7.2秒，汽車到達率為400輛/h，并服從泊松分布。求：收費人員空閑的概率；收費亭前沒有車輛排隊的概率；收費亭前排隊長度超過12輛的概率；平均排隊長度；車輛通過收費亭所花費時間的平均值；車輛的平均排隊時間。第四十二頁，共五十八頁?！?-2排隊論的應(yīng)用

解：M/M/1系統(tǒng)，λ=400(輛/h),μ=3600/7.2=500(輛/h)

ρ=λ/μ=0.8<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。即系統(tǒng)中沒有車輛的概率：P0=1-ρ=1-0.8=0.2當(dāng)系統(tǒng)中沒有車輛或只有1輛車時，便沒有排隊：排隊超過12輛：

第四十三頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用【例5-7】修建一個服務(wù)能力為100輛/h的停車場，布置一條進入停車場的引道，車輛到達率為60輛/h，進入停車場的引道長度能夠容納6輛車，是否合適。解：λ=60（輛/h）,μ=100（輛/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進入停車場的引道長度能夠容納6輛車,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于6輛車則是合適的，否則，準(zhǔn)備停放的車輛必然影響交通。第四十四頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用驗證系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過6輛車的概率P(n＞6)，如果P(n＞6)很小，則得到“合適”的結(jié)論正確。由：驗證結(jié)果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過6輛車的概率P(n＞6)不足5%，概率很小，進入停車場的引道長度是合適的。第四十五頁，共五十八頁。§5-2

排隊論的應(yīng)用【例5-8】有一超市的收款員平均每小時服務(wù)30人，顧客平均每小時25人的速率到達。問（1）有一名顧客或更多顧客排隊的平均隊長？（2）欲使平均隊長減少一人，服務(wù)時間要如何改進才能適應(yīng)需求？解：λ=25（人/h）,μ=30（人/h）

ρ=λ/μ=0.83<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）（1）則得到ρ=0.8，

ρ=λ/μ得到μ=31（人/h）第四十六頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用【例5-9】一無信號控制交叉口，主干道有優(yōu)先通行權(quán)，即主干道的汽車通行不受次干道的影響；次干道汽車必須等候主干道汽車流中的較大的車頭時距時橫穿通過。兩條道路上的車流到達均服從泊松分布，假設(shè)次干道的交通量為350輛/小時，次干道車輛從停車線到通過交叉口的平均服務(wù)時間為10秒，試分析交叉口的交通運行狀況？車頭時距停車線主干道次干道第四十七頁，共五十八頁。解：次干道排隊車流中的第一輛汽車從停車線到通過交叉口的時間就是服務(wù)時間。由于主干道車流到達服從泊松分布，則主干道車頭時距就是服從負(fù)指數(shù)分布。因此，該交叉口是一個標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1分布。依題意得：次干道沒有車輛到達的概率：第四十八頁，共五十八頁。次干道排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：車輛從到達到通過交叉口所需的平均時間：

可以看出，該交叉口是相當(dāng)擁擠的，排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)達35輛，車輛從到達到通過交叉口的平均時間為6分鐘，阻塞相當(dāng)嚴(yán)重，應(yīng)采取改善措施，如拓寬次干道進口，增加進口車道數(shù)，或采取信號控制。第四十九頁，共五十八頁?！?-2

排隊論的應(yīng)用四、M/M/N系統(tǒng)及其應(yīng)用單路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)：等待服務(wù)的顧客排成一隊等待數(shù)條通道服務(wù)的情況。系統(tǒng)保持穩(wěn)定的條件是：多路排隊多通道服務(wù)系統(tǒng)：每個