數(shù)字濾波器的結構第一節(jié)

數(shù)字濾波器的結構第一節(jié)第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六即一個輸出序列是其過去點的線性組合加上當前輸入序列與過去點輸入序列的線性組合。除了與當前的輸入有關，同時還與過去的輸入和過去的輸出有關，系統(tǒng)是帶有記憶的。

對于上面的算式，可以化成不同的計算形式，如直接計算、分解為多個有理函數(shù)相加、分解為多個有理函數(shù)相乘等等，不同的計算形式也就表現(xiàn)出不同的計算結構，而不同的計算結構可能會帶來不同的效果，或者是實現(xiàn)簡單，編程方便，或者是計算精度較高等等。

第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)字信號是通過采樣和轉換得到的，而轉換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位），所以存在量化誤差，另外，計算機中的數(shù)的表示也總是有限的，經此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計算過程中因有限字長也會造成誤差。量化誤差主要有三種誤差：①A/D變換量化效應；②系數(shù)的量化效應；③數(shù)字運算的有限字長效應。第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六IIR、FIR的系統(tǒng)函數(shù)網絡結構形式軟、硬件實現(xiàn)DF需要考慮的問題：計算的效率，即完成整個濾波所需要的乘法和加法次數(shù)；需要的存儲量濾波器系數(shù)的量化影響運算中的舍入和截斷誤差、飽和和溢出第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六5.1數(shù)字濾波器的結構

5.1.1數(shù)字網絡的信號流圖表示

差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作：①加法，②乘法,③延遲。為了表示簡單，通常用信號流圖來表示其運算結構。對于加法、乘法及延遲這三種基本運算。第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六節(jié)點是表示系統(tǒng)中變量或信號的點支路表示信號傳輸?shù)穆窂?，是連接兩個節(jié)點之間的定向線段。只有輸出支路的節(jié)點稱為輸入節(jié)點或源點，7；只有輸入支路的節(jié)點稱為輸出節(jié)點或阱點，8；既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點叫做混合節(jié)點。通路是指從源點到阱點之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路，通路增益是該通路上各支路增益的乘積?；芈肥侵笍囊粋€節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向到達同一個節(jié)點的閉合通路，它象征著系統(tǒng)中的反饋回路。組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益。第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)函數(shù)求解方法：列寫線性方程（節(jié)點）組梅遜(Mason)公式式中Tk為從輸入節(jié)點（源點）到輸出節(jié)點（阱點）的第k條前向通路增益；Δ為流圖的特征式Δk是不接觸第k條前向通路的特征式余因子，它是除去與第k條前向通路相接觸的環(huán)路外，余下的特征余式k表示由源點到阱點之間的第k條前向通路的標號

為所有不同回路增益之和.為每兩個互不接觸回路增益乘積之和

第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六例:利用梅遜公式計算圖中的系統(tǒng)函數(shù)有兩條前向通路：

一個回路，其回路增益為則系統(tǒng)函數(shù)

第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六信號流圖的轉置定理：對于單個輸入、單個輸出的系統(tǒng)，通過反轉網絡中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù)。第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六信號流圖轉置的作用：

①轉變運算結構；②驗證計算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否。運算結構對濾波器的實現(xiàn)很重要，尤其對于一些定點運算的處理機，結構的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經濟性以及運算速度等許多重要的性能。對于無限長單位沖激響應（IIR）數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器，它們在結構上各有自己不同的特點，因此我們在下面將對它們分別加以討論。第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六

5.1.2IIR數(shù)字濾波器的結構

IIR數(shù)字濾波器的結構特點：存在反饋環(huán)路，遞歸型結構。同一系統(tǒng)函數(shù)，有各種不同的結構形式。其主要結構有：

(1)直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網絡結構。第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六上述結構缺點：①需要2N個延遲器（z-1），太多。②系數(shù)ai、bi對濾波器性能的控制不直接，對極、零點的控制難，一個ai、bi的改變會影響系統(tǒng)的零點或極點分布。③對字長變化敏感（對ai、bi的準確度要求嚴格）。④不穩(wěn)定，階數(shù)高時，上述影響更大。第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（2）直接Ⅱ型

上面直接型結構中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網絡(H1(z)和H2(z)),兩部分串接構成總的系統(tǒng)函數(shù)：由系統(tǒng)函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得

第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六兩條延時鏈中同一水平線上的兩個延時單元的內容完全相同，因而可共用一組延時單元

先經過反饋網絡bi，再通過前向支路組成的網絡ai第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六直接II型(正準型)優(yōu)缺點：優(yōu)點：延遲線減少一半，為N個，可節(jié)省寄存器或存儲單元。缺點：同直接型。通常在實際中很少采用上述兩種結構實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來實現(xiàn)。第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（3）級聯(lián)型（串聯(lián)）

一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零、極點表示，即把它的分子、分母都表達為因子形式

由于系數(shù)、都是實數(shù)，極、零點為實根或共軛復根，所以有

第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六

、——實根、——復根且將共軛因子合并為實系數(shù)二階因子，單實根因子看作二階因子的一個特例，則

、——為實系數(shù)。

用若干二階網絡級聯(lián)構成濾波器，二階子網絡稱為二階節(jié)，可用正準型結構實現(xiàn)。

第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六級聯(lián)型結構的優(yōu)缺點：

優(yōu)點：①簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)；②極、零點可單獨控制、調整，調整、可單獨調整第對零點，調整、可單獨調整第對極點；③各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差；缺點：二階節(jié)電平難控制，電平大易導致溢出，電平小則使信噪比減小。第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（4）并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和，可用并聯(lián)方式構成濾波器：將上式中的共軛復根成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，上式表明，可用L個一階網絡、M個二階網絡以及一個常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H（z），結構如下圖：第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六特點：①系統(tǒng)實現(xiàn)簡單；②極點位置可單獨調整；③運算速度快（可并行進行）；④各二階網絡的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。缺點：不能直接調整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當需要準確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六

[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結構。第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為一階、二階實系數(shù)分式之積第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為部分分式之和的形式第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六

FIRDF特點：主要是非遞歸結構，無反饋，但在頻率采樣結構等某些結構中也包含有反饋的遞歸部分。它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式：三、FIRDF網絡結構形式基本的結構形式有下幾種：（1）直接型（卷積型、橫截型）卷積型：差分方程是信號的卷積形式；橫截型：差分方程是一條輸入x(n)延時鏈的橫向結構。第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六直接由差分方程可畫出對應的網絡結構：直接型的轉置：第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（2）級聯(lián)型（串聯(lián)型）當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式：于是可用二階節(jié)級聯(lián)構成，每一個二階節(jié)控制一對零點。缺點：①所需要的系數(shù)a比直接型的h(n)多；②乘法運算多于直接型。第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（3）線性相位型

FIR的重要特點是可設計成具有嚴格線性相位的濾波器，此時滿足偶對稱或奇對稱條件。偶對稱時，N為偶數(shù)，N為奇數(shù)，由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結構,如圖。優(yōu)點：線相相位型結構的乘法次數(shù)減為（N偶數(shù)）(橫截型結構乘法次數(shù):N次)

（N奇數(shù)）第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六（4）頻率采樣型第二章討論了有限長序列可以進行頻域采樣。現(xiàn)是長為的序列，因此也可對系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個采樣值也就是的離散傅里葉變換值H(k)。根據上一章的討論，用頻率采樣表達z函數(shù)的內插公式為：(4.59)第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六H(z)由兩部分級聯(lián)而成，第一部分（部分）:

這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個等分的零點：其頻響為梳狀濾波器頻響第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六

第二部分（IIR部分）是一組并聯(lián)的一階網絡：

此一階網絡在單位圓上有一個極點：

該網絡在處的頻響為，是一個諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點，從而使這個頻率點的響應等于。兩部分級聯(lián)后，就得到頻率采樣型的總結構，

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這一結構的最大特點是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應，因此，控制濾波器的頻率響應很直接。兩個主要的缺點：①所有的系數(shù)和都是復數(shù)，計算復雜。②所有諧振器的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。

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為了克服這兩個缺點，作兩點修正：1）將所有零點和極點移到半徑為的圓上，略小于1，同時頻率采樣點也移到該圓上，以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時圖抽樣點改在r<1的圓上第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期六2）共軛根合并，將一對復數(shù)一階子網絡合并成一個實系數(shù)的二階子網絡。這些共軛根在圓周上是對稱點即同樣，h(m)因是實數(shù)，其DFT也是圓周共軛對稱的，因此可將第k及第N-k個諧振器合并為一個二階網絡第37頁，共42頁，202