數(shù)學(xué)發(fā)展概述

數(shù)學(xué)發(fā)展概述第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六最喜歡的外語20%、數(shù)學(xué)17%、體育、信息技術(shù)最不喜歡的政治、物理、數(shù)學(xué)、外語壓力很大的數(shù)學(xué)、物理、外語、化學(xué)實(shí)用性最差的政治、歷史、美術(shù)、數(shù)學(xué)內(nèi)容偏多的數(shù)學(xué)、物理、政治、歷史內(nèi)容太難的物理、數(shù)學(xué)、化學(xué)、外語第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)的公眾形象是怎樣的？數(shù)學(xué)---是一些居心叵測(cè)的成年人為青年人挖的陷井？數(shù)學(xué)問題---是那些頻頻出現(xiàn)在試卷或書本上，讓某些老師看著學(xué)生崴腳而感到竊喜的東西？中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課的態(tài)度:“又愛又恨”---又喜歡又討厭,或者是有的喜歡,有的討厭.數(shù)學(xué)在大多數(shù)公眾的心目中是一堆數(shù)字和公式，抽象、深?yuàn)W甚至神秘，對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值也不甚了解。第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)二個(gè)原則：實(shí)用與審美。數(shù)學(xué)美：簡(jiǎn)單、對(duì)稱、完備、統(tǒng)一、和諧與奇異。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：抽象性、精確性、應(yīng)用廣泛性。數(shù)學(xué)思維方式：抽象化、符號(hào)化、公理化、最優(yōu)化和數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)教育中的弊?。褐v演繹不講發(fā)現(xiàn)；講結(jié)果不講探索；講細(xì)節(jié)不講思想。第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)對(duì)象的產(chǎn)生與演化活動(dòng)觀念數(shù)學(xué)概念收集集體集合數(shù)數(shù)下一個(gè)后繼、次序、序數(shù)比較計(jì)數(shù)一一對(duì)應(yīng)、基數(shù)計(jì)算數(shù)的結(jié)合加數(shù)、乘法規(guī)則計(jì)時(shí)先后線性順序觀察對(duì)稱變換群測(cè)量距離、廣度度量空間移動(dòng)變化變化率估計(jì)逼近、附近連續(xù)性、極限挑選部分子集論證證明邏輯連詞選擇機(jī)會(huì)概率第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)：1）發(fā)展符號(hào)意識(shí)；2）實(shí)現(xiàn)從直觀描述到嚴(yán)格證明的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)邏輯思維能力；4）實(shí)現(xiàn)從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變。學(xué)好數(shù)學(xué)的五個(gè)怎樣：怎樣（發(fā)現(xiàn)、證明、理解、應(yīng)用、推廣）定理。第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)與人文科學(xué)1、宗教：三種信仰的基石：絕對(duì)真理、永恒的東西、超感官世界。2、政治：意識(shí)起源于物質(zhì)，物質(zhì)世界有自然規(guī)律，則人類社會(huì)也有自然規(guī)律，可用數(shù)學(xué)刻畫，《幾何原本》（算術(shù)－〉數(shù)學(xué)：科學(xué)體系、公理方法、演繹推理、嚴(yán)密科學(xué)）是政治學(xué)研究范式。如邊沁《道德與立法原理引論》的如下五條公理創(chuàng)建倫理學(xué)理論：（1）人生而平等；（2）知識(shí)和信仰來自感覺經(jīng)驗(yàn)；（3）人人都趨利避害；（4）人人都根據(jù)個(gè)人利益行動(dòng)；（5）最大多數(shù)人的最大利益是衡量是非的標(biāo)準(zhǔn)。他得出政治學(xué)基本公理“政府應(yīng)當(dāng)絕大多數(shù)人的最大幸?！奔奥蹇说摹疤熨x人權(quán)”公理?！叭切蔚娜我鈨蛇呏痛笥诘谌叀保?gt;三權(quán)分立中權(quán)利分配原則。美國(guó)《獨(dú)立宣言》借助了歐氏幾何的模型，如“所有的直角都相等－>所有的人生來都平等”。（邊沁的情書）第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3、數(shù)學(xué)與人口論：馬爾薩斯人口論兩個(gè)公理：“食物是人類生存所必須的”，“性愛也是人類生存所必須的類”引出了達(dá)爾文的公理“物競(jìng)天擇，適者生存”4、統(tǒng)計(jì)與社會(huì)學(xué)：統(tǒng)計(jì)學(xué)誕生（英國(guó)格蘭特1662《關(guān)于死亡公報(bào)的自然和政治觀察》）：死亡率是常數(shù)、性別比是1所以一夫一妻制合理。正態(tài)曲線證明“天才稀少，美人難得”?；貧w效應(yīng)證明了“父智兒庸，父庸兒智”。5、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)：現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)：提高推理的可靠性、抵制先入為主、定量分析和決策（博弈論）。獲得經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾獎(jiǎng)的一半是數(shù)學(xué)家，如納什的博弈論（1994）囚徒困境（納什均衡”首先對(duì)亞當(dāng)·斯密的“看不見的手”的原理提出挑戰(zhàn)：按照斯密的理論，在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，每一個(gè)人都從利己的目的出發(fā)，而最終全社會(huì)達(dá)到利他的效果。但是我們可以從“納什均衡”中引出“看不見的手”原理的一個(gè)悖論：從利己目的出發(fā)，結(jié)果損人不利己，既不利己也不利他。）。第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

數(shù)學(xué)發(fā)展史分為四個(gè)階段：第一個(gè)時(shí)期：數(shù)學(xué)形成時(shí)期，這是人類建立最基本的數(shù)學(xué)概念的時(shí)期．人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡(jiǎn)單的計(jì)算法，并認(rèn)識(shí)了最簡(jiǎn)單的幾何形式，算術(shù)與幾何還沒有分開．第二個(gè)時(shí)期稱為初等數(shù)學(xué)，即常量數(shù)學(xué)時(shí)期，這個(gè)時(shí)期的基本的、最簡(jiǎn)單的成果構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容．這個(gè)時(shí)期從公元前5世紀(jì)開始直到17世紀(jì)．這個(gè)時(shí)期逐漸形成了初等數(shù)學(xué)的主要分支：算術(shù)、幾何、代數(shù)、三角．第三個(gè)時(shí)期是變量數(shù)學(xué)時(shí)期．第四個(gè)時(shí)期是現(xiàn)代數(shù)學(xué)．

第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、數(shù)學(xué)文明的發(fā)祥埃及—幾何的故鄉(xiāng)已掌握了加、減、乘、除四種運(yùn)算．會(huì)算一些平面圖形的面積及一些立體的體積．巴比倫—代數(shù)的源頭會(huì)開平方、開立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式．印度—阿拉伯?dāng)?shù)字的誕生地阿拉伯?dāng)?shù)字是印度人的發(fā)現(xiàn)，他們大約在公元前4世紀(jì)就開始使用這種數(shù)字，直到公元8世紀(jì)才傳入阿拉伯國(guó)家，后經(jīng)阿拉伯人傳入歐洲．用符號(hào)“0”表示零是印度人的一大發(fā)明．第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六二、現(xiàn)代文明的發(fā)祥地—希臘世界上曾經(jīng)存在21種文明，但只有希臘文化轉(zhuǎn)變成了今天的工業(yè)文明，究其原因，乃是數(shù)學(xué)在希臘文明中提供了工業(yè)文明的要素．歐幾里得（Euclid,約公元前300年）是古代最杰出的數(shù)學(xué)家之一，歐幾里得的《幾何原本》的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的里程碑．算術(shù)－〉數(shù)學(xué)原型（歐幾里得《幾何原本》：科學(xué)體系、公理方法、演繹推理、嚴(yán)密科學(xué)）第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生于17世紀(jì)，大體上經(jīng)歷了兩個(gè)決定性的重大步驟：第一步是解析幾何的產(chǎn)生；第二步是微積分的創(chuàng)立。對(duì)各種變化過程和各種變化著的量之間的依賴關(guān)系的研究，在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了變量和函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)對(duì)象的這種根本擴(kuò)展決定了數(shù)學(xué)向新的階段，即向變量數(shù)學(xué)時(shí)期的過渡．1637年笛卡兒的著作《幾何學(xué)》，這本書奠定了解析幾何的基礎(chǔ)，從而變量進(jìn)入了，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)．牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)后半葉建立了微積分．微積分的誕生具有劃時(shí)代的意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。近代數(shù)學(xué)與古代數(shù)學(xué)區(qū)別：（1）符號(hào)化（1591年韋達(dá)《解析法入門》）（2）解析幾何（笛卡爾）（3）有窮數(shù)學(xué)到無窮數(shù)學(xué)（牛頓、萊布尼茨的微積分）三、變量數(shù)學(xué)時(shí)期第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)發(fā)展第一時(shí)期與第二時(shí)期的主要成果，即初等數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容已經(jīng)成為中小學(xué)教育的內(nèi)容．第三個(gè)時(shí)期的基本結(jié)果，如解析幾何（部分已放入中學(xué)）、微積分（部分已放入中學(xué)）、微分方程、高等代數(shù)、概率論（部分已放入中學(xué)）等已成為高等學(xué)校理工科教育的主要內(nèi)容．現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期，大致從19世紀(jì)上半葉開始．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的現(xiàn)代階段的開端，以其所有的基礎(chǔ)—代數(shù)、幾何、分析—中的深刻變化為特征．四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、幾何學(xué)的質(zhì)變

歐氏幾何到非歐幾何，現(xiàn)實(shí)空間到抽象空間歐氏幾何的第五公設(shè)為：過直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線平行．否定它，得到新的公設(shè)：⑴過直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條直線和已知直線平行。（羅氏幾何）⑵過直線外一點(diǎn)，不能作直線和已知直線平行.（黎曼幾何）第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、代數(shù)的質(zhì)變：法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅華公元（1811-1832）的建立群論－抽象代數(shù)。3、分析的質(zhì)變：首先，它的基礎(chǔ)得到了精確化，并產(chǎn)生了一系列新的分支，如實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)論、泛函分析等．進(jìn)入20世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍大大擴(kuò)展，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)．產(chǎn)生了眾多新而又新的數(shù)學(xué)分支．第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六19世紀(jì)數(shù)學(xué)三大成就：非歐幾何的建立、群論的產(chǎn)生與數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)格化。數(shù)的擴(kuò)張是貫穿數(shù)學(xué)歷史中一條明顯的紅線。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：對(duì)于集合S，又賦予結(jié)構(gòu)S。即（M,S）。三大結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)（大小）、代數(shù)結(jié)構(gòu)（運(yùn)算）、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（親疏遠(yuǎn)近）20世紀(jì)四大抽象學(xué)科：實(shí)變函數(shù)、泛函分析、抽象代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)。抽象引起分析、代數(shù)和幾何概念上的變革：長(zhǎng)度概念－測(cè)試－〉實(shí)變函數(shù)論，泛函分析數(shù)概念－代數(shù)結(jié)構(gòu)－〉抽象代數(shù)空間概念－彎曲性－〉非歐幾何連續(xù)性（拓?fù)鋵W(xué)）函數(shù)概念－對(duì)應(yīng)與映射第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六無窮與數(shù)學(xué)危機(jī)數(shù)學(xué)史上有過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，它們都與無窮有關(guān)。

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識(shí)無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說x^2的導(dǎo)數(shù)，先將x取一個(gè)不為0的增量Δx，由(x+Δx)^2-x^2，得到2xΔx+(Δx^2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最后突然令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)為2x。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說是零，一會(huì)兒又說不是零。即“貝克萊悖論”。第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第三次數(shù)學(xué)危機(jī)：羅素悖論是：以表示“是其本身成員的所有集合的集合”（所有異常集合的集合），而以表示“不是它本身成員的所有集合的集合”（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于，或者屬于，兩者必居其一，且只居其一。然后問：集合是否是它本身的成員？（集合是否是異常集合？）第23頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系

1.區(qū)別

1）在無限集中，“部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，部分總是小于全體。2.）

“有限”時(shí)成立的許多命題，對(duì)“無限”不再成立

（1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律在“有限”的情況下，加法結(jié)合律成立。在“無限”的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如第24頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）有限級(jí)數(shù)一定有“和”?！?/p>

是個(gè)確定的數(shù)