文檔：關(guān)注面面平行的證明方法“衡水賽”一等獎(jiǎng)

關(guān)注面面平行的證明方法線面的位置關(guān)系是立體幾何的一個(gè)重要關(guān)系，而兩個(gè)平面平行判定與證明問題又是空間線面位置關(guān)系中重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一。考查時(shí)多以多面體為載體，難度一般為中等。常用的證明面面平行的方法有：一、定義法：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行。利用定義證明的關(guān)鍵是判斷兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，一般是利用反正法。例1、判定定理的證明，如圖，已知、，，，。求證：。證明：假設(shè)不平行，則、相交，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以直線與直線無公共點(diǎn)，又因?yàn)?，所以。同理。于是在平面?nèi)過點(diǎn)有兩條直線與平行，這與平行公理矛盾，假設(shè)不成立。所以。二、利用判定定理：平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。利用判定定理時(shí)需注意：兩條相交直線平行另一個(gè)平面。例2、在正方體中，求證：平面平面。證明：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以，四邊形為平行四邊形，所以，所以平面。同理平面。所以平面平面。點(diǎn)評(píng)：本題是以正方體為載體考查了線與線、線與面、面與面的平行關(guān)系的判定與性質(zhì)。解題的關(guān)鍵是抓住正方體中特殊線的平行關(guān)系，將面與面平行的問題轉(zhuǎn)化為線與面平行的問題，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為線與線平行的問題，有時(shí)證明線與線的平行可以通過證明線與面的平行來實(shí)現(xiàn)，使直線與直線、直線與平面、平面與平面之間建立了一個(gè)循環(huán)的“平行鏈”，即……線線平行線面平行面面平行線面平行線線平行線面平行……。三、利用判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行。例3、如圖，所在平面外有一點(diǎn)，、、分別是、、的重心，求證：平面平面。證明：連結(jié)、、，并延長分別與、、交于、、。又因?yàn)?、、分別是、、的重心，所以、、分別為、、的中點(diǎn)，即、。又由重心可得，即、。所以、。所以平面平面。點(diǎn)評(píng)：本題主要利用重心的性質(zhì)：重心分中線所成的比為2：3，再利用比例線段得到線與線的平行，從而得到線與面的平行，再利用定理的推論。四、垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。例4、在直三棱柱中，，，，點(diǎn)在棱上，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，與交于。①求證：平面；②證明：平面平面。證明：①略。②因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以。又因?yàn)?，，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，所以都是等腰直角三角形，所以，所以，所以平面。根據(jù)同垂直于一條直線的兩直線平行可得平面平面。