基本不等式知識(shí)點(diǎn)及題型歸納總結(jié)

基不式識(shí)及型納結(jié)知點(diǎn)講幾重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果

，則

(當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”特例：（3）其他變形：①

(溝通兩和

同號(hào)與兩平方和

的不等關(guān)系②③

(溝通兩積(溝通兩積

與兩平方和與兩和

的不等關(guān)系式的不等關(guān)系式④重要不等式串：

即調(diào)和平均值幾平均值算平均值平方平均值(意等號(hào)成立的條件均定理已知

（1）如果值”.（2如果

(定值)，則(定值)則

(當(dāng)且僅當(dāng)“”取=).即“和為定值，積有最大(當(dāng)且僅“時(shí)=即為定值和有最小值.題歸及路示題基不式其應(yīng)思提熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立行驗(yàn)證.例7.5“”是“”（）充分不必要條件C.充條件

必要不充分條件既充分也不必條件解：

能推出；反之不然，因?yàn)?/p>

的條件是，故變已

且

，則（）

C.

變下不等式中一成立的是（）

C.例7.6若題的序號(hào)）

則下列不等式對(duì)一切滿足條件

恒成立的是（出所有正確命①；②

；③

；④

；⑤

解：于①，由

及

得

，即

(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)，故①正確；對(duì)于②，由

及

得

，即

(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)，故②正確；對(duì)于③，由得，故③正確對(duì)④，，因此(當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)，故④不恒成立；對(duì)于⑤，

，又

，則，⑤正確，故填①③.變?nèi)缯龜?shù)

滿足，么（）C.

，且等號(hào)成立時(shí)，且等號(hào)成立時(shí)，且等號(hào)成立時(shí)，且等號(hào)成立時(shí)

的取值唯一的取值唯一的取值不唯一的取值不唯一題利基不式求數(shù)值思提（1）在利用基本不等式求最值時(shí)，要握四個(gè)方面，即“一正各項(xiàng)都是正數(shù)；二定和積為定值；三相等等號(hào)能否取到（對(duì)于不滿足‘相等’的函數(shù)求最值，可考慮利用函數(shù)單調(diào)性解題時(shí)多次使用基本不等式時(shí)等號(hào)要同時(shí)取得最值時(shí)，這是個(gè)方面缺一不可，若忽視了某個(gè)條件的驗(yàn)，可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.（2）利用基本不等式求函數(shù)最值常用技巧有通加減項(xiàng)的方法配湊成使用基本等式的形式2注意“”的變換；靈活選擇和應(yīng)用基本不等的變形形式4理配組，反復(fù)使用基本不等式.一利基不式最要意件驗(yàn)例7.7（）若

，求函數(shù)

的最小值；（2）若

，求函數(shù)

的值域分）為

滿足不等式條件，可以直接利用基本不等式求最.

（2）因?yàn)?/p>

，故需先轉(zhuǎn)化為

，才能利用基本不等式求最值解為

基本不等式得

且僅當(dāng)

時(shí)，取最小值.（2）因?yàn)?/p>

，所以

，則

，且

，即

當(dāng)僅當(dāng)

，即

時(shí)，

取最大值

故函數(shù)

的值域?yàn)?/p>

評(píng)：（）時(shí)，應(yīng)注意積為定值這個(gè)前提條件；解）時(shí)，應(yīng)注意使用基本不等式求最值時(shí)，各項(xiàng)必須為正數(shù).變（）求函數(shù)

的值域（2）求函數(shù)（3）求函數(shù)

的最小值；的最小值.二通代變湊成用本等的式例7.8已分：為

，求函數(shù)的最大值.，所以首先要調(diào)整符號(hào)，又

不是常數(shù)，所以要對(duì)

進(jìn)行拆湊項(xiàng)，通過將函數(shù)解析式拆湊成可以使用基本不等式的形式，從而求得函數(shù)的最.解：為，以

，由（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)

時(shí)取等號(hào)

所以函數(shù)的最大值為1.當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，即

時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)

時(shí)，

評(píng)：用基本不等式求最值時(shí)要視各種條件，即“一正二定上相等四同時(shí)”必須全部滿足，方可利用其求得最值如本題中的條件“”為“如下求解：因?yàn)?，以，為錯(cuò)誤求解，錯(cuò)誤原因：在于只注重基本不等式的形式構(gòu)造而未對(duì)成立條件“三相等”加以驗(yàn)證，事實(shí)上，

一般地，對(duì)勾函數(shù)

在

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，若不滿足“三相等”的條件可以利用函數(shù)的單調(diào)性求最外，還要注意與對(duì)勾函數(shù)

同形質(zhì)異的函數(shù)

在上

和

均為單調(diào)增函數(shù)如

變求數(shù)變?cè)O(shè)實(shí)數(shù)

可直接利用單調(diào)性求最值.的最大值.滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，

最大值為（）B.C.D.三1的換例7.9已

，且，

的最小值.分：用條件解：法一：因?yàn)?/p>

中“1”的變換.，且，所以當(dāng)僅當(dāng)

即，解法二：由

的最小值為16.，且，，所以10.因y0

，所以

，所以

9(gyy

當(dāng)且僅當(dāng)

y

9y

，即y時(shí)等號(hào)，此時(shí)，以當(dāng)x時(shí)x取最小值

6評(píng)

本題的解法一是利用條件中的“換成“

1x

其求的形配湊成利用基不等式的形式，使得題目順利求解，但下面的解法是錯(cuò)誤的：因?yàn)?/p>

19g，36，以xyxyxxy

，錯(cuò)誤的原因在于連續(xù)使用了兩次基本不等式，但未對(duì)兩個(gè)”成立的條件是否吻合進(jìn)行驗(yàn)證，其實(shí)，這兩次“”能同時(shí)取得，這就提醒我們，在多次使用基本不等式時(shí)，一定要驗(yàn)證多次=”足的條件能否同時(shí)成立.

變式1已，，a

，則y

1b

的最小值是變式2求數(shù)y

4)sin2x

的最小值變式3已

，證明：

1bc變式4設(shè)

，

則當(dāng)

a時(shí)，a

最得最小值.四、轉(zhuǎn)化思想和方程消元思想在求二元函數(shù)最值中的應(yīng)用例若正數(shù)a

滿足

ab

，則）

ab

的取值范圍是（2）a的值范圍是分由量關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征可知，只需將所求部分之外的部分利用不等式轉(zhuǎn)化為所求的形式，然后解不等式即可.解析（）解法一：基本等式.

ab2ab

，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)所以()

解

或

ab

故

當(dāng)且僅當(dāng)

ab的取值范圍是[時(shí)取等號(hào)，即解二別式令（tb

tt代原式得t整得a

2

0

)t得t（ab取值范圍是[（）法：ab

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)，令

，則

24

，整理得即

或

（舍a的取范圍是[6,解法二：判別式法令

a（則b

，代入原式得，a(t)

，整理得a

0

2

t0，t或t

（舍）即的值范圍是[評(píng)注意體會(huì)使用方程消元法求范圍與利用基本不等式求范圍的優(yōu)劣方消元法求解本題的）問.變?nèi)魓,y

滿足yxy

，則

的最小值是

2變?nèi)魓,y滿x，的小值是2變?nèi)魓,y

滿足xy

，則

的最小值是（）..

4

.

.五靈選和用本等的形式例設(shè)x0

，

2

2

，則xy

的最大值為分

觀察所求式子與題中所給條件的聯(lián)系，運(yùn)用基本不等式靈活建立兩者之間的關(guān)系是解題的核解

，y0，

2

2

所以

2

)x

2

12

2x2

2

yy1x2

（當(dāng)且僅當(dāng)

2

1y2

2

時(shí)取“即

x

2，2

時(shí)2的最大值為取“=1評(píng)本除了利用基本不等式求解外還可以利用已知條件中的

2

2

采用三角換元來求解，望同學(xué)們自己嘗試．變１

已知

，

，

1，求a)b)

2

的最小值．六合配，復(fù)用本等例設(shè)

a

，則

a2

11abaa)

的最小值是（）.

1.

2CD.

4解解一：因?yàn)?/p>

a，以a12ab

故

11abaa2ab則

a

2

11abaa)

2

2

2

4g2a

（當(dāng)且僅當(dāng)ab

aba

4

，

同時(shí)成立時(shí)，取得“

a2

，

時(shí)，

1a2abaa)

的最小值為4

，故選D解二a

2

1112()abaa)a

aa2為a以))224（當(dāng)且僅當(dāng)

b

時(shí)取=

2

2ag(a)a2a2

（當(dāng)且僅當(dāng)

a

時(shí)取=

所以當(dāng)

a

2，

時(shí)，

a

2

1abaa)

的最小值為

，故選變?nèi)?/p>

，

，滿足

的最小值是（）.

.2

.

.變?nèi)魓y

是正數(shù)，則

(

1)y)2yx

2

的最小值是（）..

9.D2題利基不式證不式思提類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證例（1）

ab,c

1，求證：()(b

（2）

ab,c

，求證：

a22ba（3）

xy,R

，且x

，求證：

x

yz3解（1）因?yàn)閍,c

，所以a)b)]()ab

baaba

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)等號(hào)成立.（）因a,c

，所以

ab

a

，

b2b，ca

三式相加得：a22222()))ab，bcabc（3分析法.要明

xyz3

，只需證

x)

，只需證：xy因

為

xyzR

，

x

，

x2xz

，

yyz

，

所

以xy)xyz3所以

，所以，

xyxz

成立評(píng)本的證明是綜合法證是分析法.綜合是從已知出發(fā)推導(dǎo)結(jié)果析法是從結(jié)果出發(fā)，去分析命題成立的條件，一般情況下兩種方法是可以通用的，對(duì)于比較復(fù)習(xí)的問題，也可以結(jié)這兩種方法使用

變

ab

，且

，證：(c變證：若

xy,z,,c

，則

ay2xy)c最效練．函數(shù)f(x)

x

（

）在

x

處取得最小值，則

（）.1

.

3

.D

．已知，b，yb

的最小值是（）.

9..2

.．若，y

，

2yx

m

恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

(

(

(

(4,2)．已知

a,b

，且

2，則2ab

22

的最大值為（）．若

x

，0

B.2則（），且xy)

D.

.

xy2

.

x2

.

y

D

y22．若

m

，則點(diǎn)mn)

必在（）

直線0

的左下方

直線x0

的右上方

直線xy0

的右上方

直線xy0

的左下方．在“

9+

”中的“”分別填上一自然數(shù)，使他們的和最小，其和的最小值為．已知函數(shù)f(x)x

x

（p

為常數(shù)，且px)在(1,

上的最小值是，則實(shí)數(shù)的為．已知關(guān)于

x

的不等式x

x

在a

上恒成立，則實(shí)數(shù)

的最小值為

）

0，函數(shù)y(4)

最大值（2）設(shè)x

)

，求函數(shù)(x)sin

sin

的最小值.（3）已知，y，y

，求

34x

的最小值（4）若正數(shù),y滿y，y

的最小值是11已知a,b

為正數(shù)，求證：

aa