2017屆河南省豫北重點高三4月聯考數學（理）試題（解析版）

2017屆河南省豫北重點高三4月聯考數學（理）試題一、選擇題1．已知集合，集合，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由,,.2．已知復數（是虛數單位），則的實部和虛部的比值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,則的實部和虛部的比值為.3．已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，所以，，故選D.4．“數列是等差數列”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若數列是等差數列，則，反過來，也成立，所以是充分必要條件，故選C.5．若曲線在點處的切線方程為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題.6．函數的圖象向右平移個單位得到的圖象，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】,7．“數字黑洞”指從某些整數出發(fā)，按某中確定的規(guī)則反復運算后，結果會被吸入某個“黑洞”.下圖的程序框圖就給出了一類“水仙花數黑洞”，表示的各位數字的立方和，若輸入的為任意的三位正整數.且是的倍數，例如：，則.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的結果為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】以為例第一次循環(huán)后，第二次循環(huán)后，第三次循環(huán)后，第四次循環(huán)后，第五次循環(huán)后，點睛：循環(huán)結構的考查是高考熱點，有時會問輸出結果，或是判斷框的條件是什么，這類問題容易錯在審題不清，計數變量加錯了，沒有理解計數變量是在計算結果之前還是計算結果之后，最后循環(huán)進來的數是什么等問題，防止出錯的最好的辦法是按順序結構寫出每一個循環(huán)，這樣就會很好的防止出錯.8．某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】還原的幾何體如圖，幾何體的體積是，解得，而幾何體的表面積是，代入，所以，故選B.9．如圖，三棱錐中，為邊長為的等邊三角形，是線段的中點，，且，，，則與平面所成角的正切值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由勾股定理,過作于,由,所以為與平面所成的角，在直角三角形中,,.10．如圖，在中，，，是的中點，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】11．如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設，所以三角形是直角三角形，因為所以，，又，即，解得，又，即，即，解得，即，故選A.【點睛】本題考查了雙曲線的定義和性質，離心率的求法，考查了轉化與化歸能力，求解橢圓的離心率問題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進而求得的值；（2）建立的齊次等式，求得或轉化為關于的等式求解；(3)通過特殊值或特殊位置，求出．而本題求離心率取值就是利用代數方法或平面幾何知識尋找橢圓中基本量滿足的等量關系，以確定的取值．12．已知定義在上的函數對任意實數滿足，，且當時，，則函數與的圖象的交點個數為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由可知函數的周期為2,由可知的圖象關于直線對稱,根據條件可以畫出函數與的圖象,如圖所示,由圖可知,交點共6個.二、填空題13．若函數，則__________．【答案】【解析】，，故填：.14．已知，則的展開式中常數項為__________．【答案】【解析】因為，則=的展開式中為常數項時,那么.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.15．設實數滿足不等式目標函數的最大值為，則實數的取值范圍為__________．【答案】【解析】

滿足不等式的平面區(qū)域，如下圖所示：由圖可知，求出三條邊界直線的交點分別為：由目標函數的最大值為，將這三點分別代入，組成不等式組解得.點晴：本題考查的是線性規(guī)劃問題中的已知最值求參數的問題，線性規(guī)劃問題的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想，需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數的最值會在可行域的端點或邊界上取得.16．已知數列的首項為，且，若，則數列的前項和__________．【答案】【解析】因為，故,取對數可得,故，故是以1為首項，2為公比的等比數列，故,故，則，因為，故兩邊取倒數可得,故數列的前項和三、解答題17．在中，內角所對的邊分別為，滿足，.（Ⅰ）求邊；（Ⅱ）若的面積為，且，求的值.【答案】（I）；（II）.【解析】試題分析：（Ⅰ）首先根據兩角差的正弦公式展開，,再利用正弦定理的邊角互化為，最后根據余弦定理化為邊，化簡得到；（Ⅱ）根據同角基本關系式求得，再根據正弦定理求得，最后根據余弦定理求.試題解析：（Ⅰ）因為，所以，由正弦定理得，由余弦定理得，即，因為，所以.（Ⅱ）因為，.所以，.因為，所以，由余弦定理得，所以，，所以.18．酒后違法駕駛機動車危害巨大，假設駕駛人員血液中的酒精含量為（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當時，為酒后駕車；當時，為醉酒駕車.如圖為某市交管部分在一次夜間行動中依法查出的名飲酒后違法駕駛機動車者抽血檢測后所得頻率分布直方圖（其中人數包含）.（Ⅰ）求查獲的醉酒駕車的人數；（Ⅱ）從違法駕車的人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取人做樣本進行研究，再從抽取的人中任取人，求人中含有醉酒駕車人數的分布列和數學期望.【答案】（I）人；（II）詳見解析.【解析】試題分析：（I）利用頻率分布列直方圖的性質即可得出．

（II）易知利用分層抽樣抽取人中含有醉酒駕車者為人；所以的所有可能取值為；，即可得出．試題解析：（Ⅰ），故醉酒駕駛的人數為15（人）.（Ⅱ）易知利用分層抽樣抽取人中含有醉酒駕車者為人；所以的所有可能取值為；，，.的分布列為.19．如圖，在平行四邊形中，，分別過點作直線，垂直平面，且，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的平面角的正弦值.【答案】（I）詳見解析；（II）.【解析】試題分析：（Ⅰ）設.以點為原點，分別為軸，過點平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，通過證明，，可得平面.（II）由（Ⅰ）可求平面的法向量和平面的法向量，即可得二面角的平面角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）設.由可知，平行四邊形為菱形，∴.則以點為原點，分別為軸，過點平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，那么，，，，∵，，，易得，，∴，，又，∴平面.（II）由（Ⅰ）知，，，，，設是平面的一個法向量，則，，取，得.設是平面的一個法向量，則，，取，得.則，即得二面角的平面角的正弦值為.點睛：本題考查的是用向量法證明線面垂直和求二面角問題，利用向量法求解空間線面關系和空間角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.20．已知橢圓過點，順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為，點.（Ⅰ）求橢圓的方程.（Ⅱ）已知點，是橢圓上的兩點.（?。┤?，且為等邊三角形，求的面積；（ⅱ）若，證明：不可能為等邊三角形.【答案】（I）；（II）詳見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據面積公式得到，以及點在曲線上，代入得到，以及，求得；（Ⅱ）（?。└鶕冗吶切蔚男再|，可得直線的傾斜角是或，這樣求得直線的方程，聯立橢圓方程，得到點的坐標，求得面積；（ⅱ）因為，所以斜率存在，設直線的方程是，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，并且表示線段中點的坐標，若是等邊三角形，則，可求得，不合題意.試題解析：（Ⅰ）依題意，，，聯立兩式，解得，，故橢圓的方程為.（Ⅱ）（ⅰ）由且為等邊三角形及橢圓的對稱性可知，直線和直線與軸的夾角為，由可得.即或，當時，的面積為；當時，的面積為.（ⅱ）因為，故直線斜率存在，設直線，中點為，聯立消去得，由得到，①所以，，所以.又，若為等邊三角形，則有，即，即，化簡得，②由②得點橫坐標為，不合題意.故不可能為等邊三角形.（用點差法求點坐標也可）21．已知函數.（Ⅰ）若，試討論函數的單調性；（Ⅱ）設，當對任意的恒成立時，求函數的最大值的取值范圍.【答案】（I）詳見解析；（II）.【解析】試題分析：（Ⅰ）求導得.結合，可得在上遞減，在上遞增.（Ⅱ）由對任意的恒成立可得.又由（Ⅰ）知，當時，，可得對求導，研究其最值，并求其范圍即可試題解析：（Ⅰ）.因為，則時時，∴在上遞減，在上遞增.（Ⅱ）當時，若，則.所以對任意的恒成立，.由（Ⅰ）知，當時，在上遞減，在上遞增.依題意，有，∴.∴.設，則，∵，∴，∴在上遞增，∵，.因此，存在唯一，使得，當時，，，單調遞增；當時，，，單調遞減.因此在處取得最大值，最大值為，設，則，∴在上遞減，∴，∴∴時的最大值.反之，任取，下證，∵在上遞減，在上遞增，且時，∴任取，存在唯一的，使得.∵，∴在上遞減，∴時，.綜上，當對任意的恒成立時，函數最大值，最大值的取值范圍為.注：后半部分的證明是為了說明當在內變化時，能取遍內的所有值，從而的最大值能取遍內所有的值，防止把的最大值的取值范圍變大.22．選修4-4：坐標系與參數方程已知曲線的參數方程為（是參數）.以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；（Ⅱ）已知直線傾斜角為，且過點，若曲線與直線交于兩點，求的最大值和最小值.【答案】（I）；（II）最小值為，最大值為.【解析】試題分析：（Ⅰ）先將曲線的參數方程化為普通方程，再根據，化為極坐標方程；（Ⅱ）直線的參數方程是（是參數）代入曲線的普通方程，得到，弦長公式，代入根與系數的關系，求最大值和最小值.試題解析：（Ⅰ）因為故，即，即，故，故曲線的極坐標方程為.（Ⅱ