上海市外國語附屬外國語學(xué)校2023屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023注意事項(xiàng)：2B。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。f(x)(xRf(x)f(x),f(x2)f(xyfx的圖像可能是A． B．C．C:x2y2b2

D．1b0

y2 2x F F已知雙曲線 的一條漸近線方程為

，1，

CPPF3 PF 在雙曲線C上，且 1 ，則 2 ( )A．9 B．5

C．2或9 D．1或5

fx

fxfx

x,0

xx

2 1

afln定義在R上的偶函數(shù) ，對(duì) 1，2 ，且1

2，有 x x

成立，已知 ，2 b 12

1fe2 cflog26 ，

，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）A．bac B．bcaC．cbaD．cabk x, 1kx2y2k2k x設(shè) ，則關(guān)于 的方程 所表示的曲線是（）A．長軸在y軸上的橢圓 B．長軸在x軸上的橢圓C．實(shí)軸在y軸上的雙曲線D．實(shí)軸在x軸上的雙曲已知為銳角，且3sin2sin，則cos2等于（ ）2 2 1 4A．3 B．9 C．3 D．9如圖，在直三棱柱ABCAB

ABAC1BC

2EOCC,BC的中點(diǎn)，1 1 1 1 11AF

AA F

E FOEB

FEBO

,,1 1 ，分別記二面角 1 ，（ ）

1， 1

的平面角為

，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．點(diǎn)P2ABCDABC

的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)MB

的中點(diǎn)，若滿足DPBM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長度為（ ）

11 1 1 1 12 4 8 A．5 B． 5 C． 5 D． 5x2y21設(shè)F為雙曲線C：a2 b2

（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A．2 B．3C．2 D．5若直線2x4ym0經(jīng)過拋物線y2x2的焦點(diǎn)，則m（ ）1 1A．2 B．2C．2

D．

A，

B x2x25x30

，則A B（ ）A． B．C．

1,0,1D．則設(shè)集合A{x|x{x|xxAB（ ）則0A．

B．

03C．

3D．泰ft“天下第一之稱，登泰ft的路線有四條：紅門盤道徒步線路，桃花峪登ftft線路，天燭峰登ft甲、乙、丙三人在聊起自己登泰ft的線路時(shí)，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒有走天外村汽車登ft線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：甲：我走紅門盤道徒步線路，乙走桃花峪登ft線路；乙：甲走桃花峪登ft線路，丙走紅門盤道徒步線路；丙：甲走天燭峰登ft線路，乙走紅門盤道徒步線路；事實(shí)上，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說法正確的是（ ）A．甲走桃花峪登ft線路B．乙走紅門盤道徒步線C．丙走桃花峪登ft線路 D．甲走天燭峰登ft線路二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方如圖則成績[250，400)內(nèi)的學(xué)生共人．C:x2己知雙曲線 a2

y2b2

0,b

F

，直線l是雙曲線C過第一、三象限的漸近，2線，記直線l的傾斜角為，直心率 ，2

:ytanx1 1

FMl，垂足為M，若M在雙曲線C上，則雙曲線C的離在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若3sinAcosA1，a2，則的面積的最大值為 .若alog23,blog32,則ab= ,lgalgb= .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知a，b，c分別是ABC 三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acosC csinAbc．（1）A；（2）若a 3，bc3，求b，c．C:x218（12分）已知橢圓 a率為1．

y2b2

b

1,F的離心率為2

是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M(0,2)MF的斜（1）求橢圓C的方程；（1）若過點(diǎn)M的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為N，是否存在直線l使得|AB|2|MN|？若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．119（12分）如圖，ABC 為等腰直角三角形，ABAC3D為AC上一點(diǎn)，將ABD沿BD折起，得到三棱1A錐1

，且使得

A在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.BDAE；1tanABD11若

，求二面角C

D的余弦值.

b 1a

a

0

2nn 120（12分）數(shù)列n滿足a ，n1

n1

，其前n項(xiàng)和為n，數(shù)列

1n2n1.

Sn和數(shù)列S

的通項(xiàng)公式；1c n b

b b

c

nS Tn設(shè)

n n1 n

n1 ，求

n 的前n項(xiàng)和T，并證明：對(duì)任意的正整數(shù)、k，均有m k.21（12分）

f(x)aex

sinx，其中aRe.（1）當(dāng)a1時(shí)，證明：對(duì)[0,),f(x)1；2在0,2在（2）若函數(shù)

f(x)

上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。22（10分）選修4-：不等式選講fxx2已知函數(shù)fxf2x16（Ⅰ）解不等式 ； fxmfx41ab（Ⅱ）對(duì)

a,b

及xR，不等式

a b恒成立，求實(shí)數(shù)m.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】yf(x的性質(zhì)，再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì)．f(x)f(xyfxyfxyf(x2)f(x)得yf(x)是周期為2的周期函數(shù)，選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4，不符合，選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2，符合，故選B．2、B【解析】2根據(jù)漸近線方程求得b，再利用雙曲線定義即可求得PF.2【詳解】2b22由于a

，所以b2 ，2PFPF2又 1 2

2 PF且 2

ca2，【點(diǎn)睛】3A【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】2 fx2

fx

,0 xx

2 1 0解：對(duì)

1，2

，且1

2，有 x xfx x,0在 上遞增因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)

fxfx x0,所以 在 上遞減又因?yàn)?/p>

log2

log1616

6

，1ln2

0e112，所以bac故選：A2，【點(diǎn)睛】4、C【解析】

y2 x2 1根據(jù)條件，方程【詳解】

1k

x2y2k21．即k21 k1 ，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型．解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0， y

x2 11k方程

x2y2k21，即k21 k1

，表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線，故選C．【點(diǎn)睛】

y2 x2 1本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依據(jù)條件把已知的曲線方程化為k21 k15、C【解析】

是關(guān)鍵．3sin2sin【詳解】

cos

，再利用cos2cos21.33cos33因?yàn)? 3sincos2sin，sin0，所以 3，cos22cos21所以

2113 3.【點(diǎn)睛】6D【解析】1過點(diǎn)C作Cy//AB，以CCAxCyyCCz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．12【詳解】21ABAC1BCAA1

AB2AC2

BC2，即ABAC1過點(diǎn)C作Cy//AB，以CCAxCyyCCz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，12 232)11 1 22 232)1F(1，0，

)，O(2，2，0)，E(0，0，2)，B(1，1， ，OB(1,1, 2)1

OE( , , 2)1 2 2 21 22 ， ，1 12 2 2 2OF( , , ) EB(1,1, ) EF(1,0, )2 2 3 ， 1 2 ， 6 ，設(shè)平面

OBE1

的法向量

mx,y,z，1x

y 2z0 1 2 21x1y

2z0

則

2 2 2

x1，得m

1,1,0，1同理可求平面OBF的法向量n(5 2, 2,3)，12 7 2 2OEF

p( 2

,3)2

EFB

q

, 2,3)2平面 的法向量

，平面

的法向量 ．cos

mn |m||n|

4 61

cos，

mp |m||p|

4 34

cos，

mq |m||q|

4646．．故選：D．【點(diǎn)睛】檔題．7、C【解析】1設(shè)BB的中點(diǎn)為H，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出BM平面DCH，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長度.1【詳解】1設(shè)BB的中點(diǎn)為H連接CH,DH因此有CHBM而DCMB而DC,CH平面CDH，DC CHC，1BMDCH，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡平面DCH

ABCDABC

的內(nèi)切球O的交線.正方體11111111ABCDABC11111111

OR1D為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有H(2,2,1)，設(shè)平面DCH 的法向量為m(x,y,z)，所以有mDCmDH

mDC0mDH

2y022x2yz

m(1,0,2)

，因此O 到平面DCH 的距離為：5mOD5d

2 5 4 5m故選：C

5，所以截面圓的半徑為：

r R2d2

5 P

r 5 .【點(diǎn)睛】.8、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對(duì)稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)A，由對(duì)稱性可知PQx軸，PQOFc又|OA|

PA，

c, 2

為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，A為圓心 2．Pc,c 2 2Px2y2

a2上，c2 c2 c2 c2 a24 4

，即2

a2, e2 2a2 ．e 2，故選A．【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算信手拈來．9、B【解析】0,188計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為【詳解】

，代入計(jì)算得到答案.x21

0,1

1m1y2x2

可化為

2 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

8，故 2.8B.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)，屬于簡單題.10、A【解析】解出集合B，利用交集的定義可求得集合A B.【詳解】 1 2B x2x25x30 x2x25x30x x32因?yàn)? ，

A，所以

AB0,1,2.【點(diǎn)睛】C【解析】直接求交集得到答案.【詳解】A{x|x3}，B{x|x0或x2}集合 ，

AB03.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.12、D【解析】甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門盤道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“”,“”,與”.故甲的另一句“乙走桃花峪登ft線路”正確,故丙的“乙走紅門盤道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登ft線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登ft線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登ft線路,乙走桃花峪登ft線路,丙走紅門盤道徒步線路故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、750【解析】因?yàn)樗?4、51【解析】

，得 ，。 bMOF由 2

,OF2

c |OMc，則

Mc2，所以點(diǎn)

,ccos 2 2

tan2，因?yàn)?

a，可得sin

b,cosa

ca b, 2 2,c cM坐標(biāo)化簡為【詳解】

，代入雙曲線的方程求解.MOF設(shè)

,OF c2 2 ，b sin btan則

a，即

cos

,sin2cos21a ，sinb,cosa解得 c c，|OMccos則 2， Mc所以

,ccos sin22 2 ，2Mca,b 22即 ，22(ca)2b2 1代入雙曲線的方程可得4a2 4b2 ，所以c22ac4a20所以e22e405解得e5故答案為：【點(diǎn)睛】

1.5153題.315、【解析】sinA1 A 6化簡得到 2，6【詳解】

3，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到

bc

，根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.3sinAcosA2sinA1 sinA1

A

A66 66 ，即 2

0,，故 .3a23

b2c22bccosA，即4b2c2bc2bcbcbc.S當(dāng)bc2時(shí)等號(hào)成立，故

1bcsinA32 .33故答案為： .3【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能16、1 0【解析】①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解；②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.【詳解】alog3,blog2①由題： 2 3 ,ablog3log2log

3log2212 3 2則

log32 ；②由①可得：lgalgblgablg10.故答案為：①1，②0【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）3；（2）b1c2或b2c1.【解析】

sinA1

sinAcosC 3sinCsinAsinBsin

B

A

6可得 2，6由余弦定理a2【詳解】

b2c22bccosA，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，可得解（1）由acosC 3csinAbc及正弦定理得sinAcosC 3sinCsinAsinBsinC．BAC，所以sinBsinAcosCcosAsinC，代入上式并化簡得3sinCsinAcosAsinCsinC．sinA1 6由于sinC0，所以 2．6A又0A，故 3．A（2）因?yàn)閍 3，bc3， 3，由余弦定理得a2所以bc2．而bc3，

b2c22bccosA即3(bc)22bcbc9,223 2所以，為一元二次方程 的兩根．所以b1c2或b2c1．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.x2y2118（1）4 3【解析】

（1）不存在，理由見解析（1）利用離心率和過點(diǎn)M(0,2)，列出等式，即得解（1）設(shè)lykx2，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo)，用點(diǎn)坐標(biāo)表示|AB2|MN|，利用韋達(dá)關(guān)系代入，得到關(guān)于k.【詳解】c1,a 22

a2,（1）由題意，可得c

2, 解得c1,則b2

a2c2

3，x2

y21故橢圓C

的方程為4 3 ．（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB2 3,|MN2,|ABMN|當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為ykx2，x2 4

y21,3聯(lián)立ykx2,

(34k2)x216kx40得 ，設(shè)A(x,y),B(x2,y2)，1xx則1 2

1 16k34k2

xx 12

434k2，)216(34k2192k2480，即

k214．xx 8k0N(x,y) x 0設(shè) 0 0 ，則

1 22 34k2，|AB|2|MN|，1k2 x1k21 2

xxx24xx1 2 12

x01k1k2則 0，16k34k216k34k2即k2整理得

34k2 ，34，此方程無解，故l的方程不存在．綜上所述，不存在直線l使得|AB|2|MN|．【點(diǎn)睛】題.2219（）（）2【解析】由折疊過程知

AE

BCD

垂直，得

AE1

，再取

AA

，可證

AA

MBD

垂直，得111AABD1111

，從而可得線面垂直，再得線線垂直；1由已知得DACEEBEAxzBCDEBCy軸建1立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦．【詳解】11

AE

BCD

垂直，∴

AEBD1 ，11

中點(diǎn)M，連接MD,MD，1DADA,BABA1由

AAMD,

MB

MB MDMAA∴ 1AA

1AEA

1得 1BDBD

1MBD，∴AAE

， ，AABD1 ，BDAE又 1 1

1，∴

平面 1 ，∴ ；BEBEBC，則AEABBE(1)ABAC，

tanABD12DAC中點(diǎn)，BDBDADAB ACAB12，BDAE，)ABAC)(1∴

ACAB)0 ，解得

23，故BE2 2,CE 2．1EEB1

x,zBCDEBCy軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，B(2 2,0,0),C( 2,0,0),A(0,0,1),D(則 1

2,3 2,0)4 4 ，9 2 3 2BA(2 1

BD(，

, ,0) ABD m(x,y,z)4 ，設(shè)平面1 4 m

2 2xz0 1 9 2 3 2mBD x y0則 4 4

，取x1，則m(1,3,2 2)．1又易知平面ABC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，1cosm,nmmn

3 213 2 2．222

CBA1

D的余弦值為 ．間角．S 21n 1 1 n2 T 1 nn3n3【解析】

，b

2n1 n 2（）

2n1，證明見解析利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】1 a 1n12 a1 2 （1） 1 ，

n1

0 ，得n是公比為 的等比數(shù)列，

n 211n 22 122 1

n1 n 11 3 2 2 ，2 nb2n nb2n11 2 3 5

2n1 nb2n11 b nb2n112nn

1 2 當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列

1的前n 項(xiàng)積為2n1，則3 5

2n1，兩式相除得1b 2n12nn 1

2n11 2n1n2n1 ，得b 2n1，nb 11 b1 b 2n1又3 3得1 ， n ；2 1m 2 12 1mS 3123122m（2）

2n2n1 2n12n1 2n1

1

1 1 1 2n12n1c 2n1 2n2n12n1

2n1 2n12

2 nck12T cck12

1

1 12k2k1k 1 2S T故m k.

2，【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．a(chǎn)0,121、(1)見證明；(2)【解析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對(duì)a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從.極值．【詳解】

a1

fxexsinx

，于是，

fxexcosx.x0,exex

1且1.exx0,ex故當(dāng) 時(shí)，

cosx0

fx0.所以，函數(shù)

fxexsinx fxf01為 上的增函數(shù)，于是， .0,因此，對(duì)

fx1；0, 0,fx 2

fxaex

2方法一：由題意 在 上存在極值，則 在0,

上存在零點(diǎn)，2afxaex2①當(dāng) 時(shí)， 為fae

上的增函數(shù)，0f0a1

2 2注意到 ， ， x0,2

fx

00所以，存在唯一實(shí)數(shù)

，使得 0

成立.于是，當(dāng)

x0,x0

fx0，

fx為

0,x0

上的減函數(shù)；x

,

,0 2

fx0

x

0 2當(dāng) 時(shí)， x0, 2

， 為fx

上的增函數(shù)；所以0 為函數(shù)

的極小值點(diǎn)；

x0,fxaexcosxexcosx0aa0, 0,

2 上成立，222fx 22所以 在

x 在

上沒有極值；x0,fxaex0③當(dāng) 時(shí)， 在

a2 a20, 0,fx 2

fx

2所以 在

上單調(diào)遞減，所以 在0,

上沒有極值，2fx 2綜上所述，使 在

上存在極值的a的取值范圍是

0,1.0, 0,fx 2

fxaex

2方法二：由題意，函數(shù) 在

上存在極值，則 在

上存在零點(diǎn).acosx 0,x