生存模型與生命表

生存模型與生命表第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第三章生存模型與生命表第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第一節(jié)簡單生存模型

生存狀況與生存模型新生嬰兒的未來生存時間年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時間未來生存時間的密度函數(shù)未來生存時間的密度函數(shù)

第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、生存狀況與生存模型

通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。按壽險保單的約定，保險人（即壽險公司）將根據(jù)被保險人在約定時間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險金。這種只有在特定事件發(fā)生時才給付的保險金稱作條件支付(contingentpayment)。其最重要特征就是它發(fā)生的不確定性。一個人的未來生存時間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。被保險人在未來某個時期的生死是一個不確定性事件，對這個不確定性事件的研究是壽險精算中最重要的工作之一，它決定著保險金的給付與否。它的研究把數(shù)學(xué)和生存與死亡概率結(jié)合在一起。第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。這個過程有如下的特征：存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。單個的人──經(jīng)常稱作生命個體──可被劃分為生存者或死亡者，也就是說，我們可說出他們所處的狀態(tài)。生命個體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。任何個體的未來生存時間都是未知的，所以我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存模型就是對此過程建立的一個數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式進行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出了一些解釋下面就是生存模型可回答的例子：一個45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?

假若有1000個45歲的人，那么他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?

如果某一45歲的男性公民，在投保了一個10年的定期的某種人壽保險，那么應(yīng)該向他收多少保費?一些特定因素(如一天吸50根煙)對于45歲的男性公民的未來生存時間的影響是怎樣的?第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、新生嬰兒的未來生存時間

第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六三、年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時間

第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六四、未來生存時間的密度函數(shù)

（一）未來一年的生存與死亡概率（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六（一）未來一年的生存與死亡概率（和）

第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率

第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六五、未來生存時間的密度函數(shù)

第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第二節(jié)死亡力

一、死亡力的概念二、關(guān)于死亡力的一個重要公式三、死亡力與未來生存時間的分布函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)系四、兩個重要公式第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、死亡力的概念

第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、關(guān)于死亡力的一個重要公式：

第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六三、死亡力與未來生存時間的分布函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)系

第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六四、兩個重要公式

第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第三節(jié)生命期望值

一、完全生命期望值二、簡單（整數(shù)化）未來生存時間三、簡單（整數(shù)化）生命期望值四、未來生存時間和簡單未來生存時間的方差第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、完全生命期望值

第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、簡單（整數(shù)化）未來生存時間

第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六三、簡單（整數(shù)化）生命期望值

第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六四、未來生存時間和簡單未來生存時間的方差

第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第四節(jié)生命表函數(shù)

一、生命表的概念二、函數(shù)三、函數(shù)第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、生命表的概念

第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、函數(shù)

第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六三、函數(shù)

第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第五節(jié)延期死亡概率和非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

一、延期死亡概率二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)（一）一年內(nèi)死亡時間均勻分布假設(shè)（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、延期死亡概率

第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六例：在某特定的人口群體中，所有年齡的死亡力為0.025，計算：年齡為10歲的人在12歲前死亡的概率。年齡為5歲的人在10-12歲死亡的概率。新生嬰兒的完全生命期望。新生嬰兒的簡單生命期望第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六（一）一年內(nèi)死亡時間均勻分布假設(shè)第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)

第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第六節(jié)選擇表

一、生命表的種類二、選擇表第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六一、生命表的種類

生命表一般分為國民生命表（nationallifetable）和經(jīng)驗生命表（experiencelifetable）兩大類。國民生命表是以全體國民或特定地區(qū)的人口生存狀況統(tǒng)計資料編制成的而經(jīng)驗表是人壽保險公司依據(jù)過去其承保的被保險人實際的生存狀況統(tǒng)計資料編制的。在同一時期內(nèi)，國民生命的死亡率一般要高于經(jīng)驗表的死亡率。第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六國民生命表又可分為完全生命表（completelifetable）和簡易生命表（abridgedlifetable）。完全生命表是根據(jù)準確的人口普查資料，依年齡分別計算死亡率、生存率．平均余命等生命函數(shù)而編制的簡易生命表則采取每年的人口生存狀況動態(tài)統(tǒng)計資料和人口抽樣調(diào)查的資料，按年齡段（如5歲或10歲為一段）計算的死亡率、生存率、平均余命等生命函數(shù)。第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六經(jīng)驗生命表又可分為終極表（ultimatetable）、選擇表（selecttable）、總合表（aggregatetable）等。終極表是指剔除了被保險人投保后5至15年的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，根據(jù)被保險人最終的死亡率編制的生命表，也就是按照承保選擇的影響消失后的死亡率來編制生命表。1958年美國保險監(jiān)督官標(biāo)準普通生命表是一種終極生命表。選擇表是一種不同與終極表的生命表。在人壽保險的承保過程中，經(jīng)過體檢等選擇的被保險人的死亡率等風(fēng)險低于一般人口的風(fēng)險，而且最近幾年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險低于前些年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險，考慮到這種選擇因素的影響之后編制的生命表稱為選擇表?？偤仙硎侵覆豢紤]保險契約有效后經(jīng)過的年數(shù)，以整個保險期間為對象，根據(jù)不同年齡的被保險人的死亡率數(shù)據(jù)編制的生命表。第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六由于根據(jù)人壽保險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的生命表不適用于年金保險，壽險公司常常要結(jié)合預(yù)測的將來較低的死亡率為年金保險專門編制一份年金生命表。人壽保險所使用的生命表一般都是靜態(tài)表，隨著社會科技與經(jīng)濟的發(fā)展，死亡率逐步降低，要定期地用根據(jù)較近經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的靜態(tài)表代替原來的靜態(tài)表。例如：美國1980年保險監(jiān)督官標(biāo)準普通生命表已取代了1958年保險監(jiān)督官標(biāo)準普通生命表。該表是根據(jù)1970年至1975年的死亡率數(shù)據(jù)編制而成的，分為男性生命表和女性生命表，顯示了較低的死亡率。第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六二、選擇表

第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期六第48頁，共5