生豬的出售時機

3.1生豬的出售時機一飼養(yǎng)場每天投入4元資金用于飼料、設(shè)備、人力,估計可使一頭80

公斤重的生豬每天增加2公斤.目前生豬出售的市場價格為每公斤8元.可賺多少?但是預(yù)測每天會降低0.1元,問該場應(yīng)該什么時候出售這樣的生豬.如果上面的估計和預(yù)測有出入,對結(jié)果有多大影響.問題分析投入資金延長飼養(yǎng)時間可使生豬體重隨時間增長,但售價(單價)隨時間減少,應(yīng)該存在一個最佳的出售時機,使獲得利潤最大.這是一個優(yōu)化問題,根據(jù)給出的條件,可作如下的簡化假設(shè).80天豬重8售豬單價模型假設(shè)每天投入4元資金可使生豬體重增加常數(shù)r(=2公斤);生豬出售的市場價格每天降低常數(shù)g(=0.1元)給出以下記號：

t

增重階段的飼養(yǎng)天數(shù)—待優(yōu)化的變量又叫決策變量

w生豬體重(公斤)

p出售生豬的單價(元/公斤)

R出售生豬的毛收入(元)

C增重階段，到第t天時，投入的總資金(元)

Q出售生豬的純利潤(元).飼養(yǎng)t天的豬重w=80+rt

飼養(yǎng)t天的單價p=8-gt

飼養(yǎng)t天的毛利R=pw,

飼養(yǎng)t天的成本投入C=4t

飼養(yǎng)t天出售生豬可獲得的純利潤Q=R-C-8×80模型建立

這里要扣掉以當(dāng)前價格(8元/公斤)出售80公斤生豬的收入640元目標(biāo)函數(shù)(第t天的純利潤)為(1)求t（≥0）使Q(t)最大.模型求解這是求二次函數(shù)最大值問題，用代數(shù)或微分法容易得到（2）當(dāng)r=2,g=0.1時，t=10,Q(10)=20,即10天后出售，可得最大純利潤20元。敏感性分析由于模型假設(shè)中的參數(shù)（生豬每天體重的增加r和價格的降低g）是估計和預(yù)測的，所以在實際使用這個模型時,應(yīng)該研究r,g變化時對出售時機的影響。1.設(shè)每天生豬價格的降低g=0.1元不變,研究r變化的影響,由(2)式可得（3）t是r的增函數(shù),表1和圖3給出它們的關(guān)系.r1.51.61.71.81.92.02.12.2t02.54.76.78.410.011.412.7r2.32.42.52.62.72.82.93.0t13.915.016.016.917.818.619.320.0表1r與t的關(guān)系圖3r與t關(guān)系圖4g0.060.070.080.090.100.110.120.130.140.15t30.022.917.513.310.07.35.03.11.40表2g與t的關(guān)系2.設(shè)生豬體重r不變,研究g變化的影響,由(2)式可得(4)t是g的減函數(shù),表2和圖4給出它們的關(guān)系.可以用相對改變量來體會出售時機t對參數(shù)的敏感程度.t對r的敏感度記作S(t,r),定義為(5)由(3)式,當(dāng)r=2時可算出原來關(guān)注的是絕對數(shù)值的關(guān)聯(lián),現(xiàn)在關(guān)注的是相對數(shù)值的關(guān)聯(lián)(6)即生豬每天體重r增加1%,出售時間推遲3%.類似地定義t對g的敏感度S(t,g),由(4)式,當(dāng)g=0.1時,可算出即生豬價格每天的降低g增加1%,出售時間提前3%,r和g的微小變化對模型結(jié)果的影響并不算大.模型參數(shù)模型的強健性:

模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是由模型假設(shè)及對象的信息(觀測數(shù)據(jù))確定的.而假設(shè)不可能很準(zhǔn)確,觀測數(shù)據(jù)也常常有誤差.當(dāng)模型假設(shè)改變時,應(yīng)該導(dǎo)出模型結(jié)構(gòu)的相應(yīng)變化;

當(dāng)觀測數(shù)據(jù)有微小改變時,模型參數(shù)也應(yīng)有微小的變化

模型假設(shè)觀測數(shù)據(jù)模型結(jié)構(gòu)模型建模過程中假設(shè)了生豬體重的增加和價格的降低都是常數(shù),由此得到的w和p都是線性函數(shù),這無疑是對現(xiàn)實情況的簡化.更實際的模型應(yīng)考慮非線性和不確定性.如記第t天生豬的重量為w=w(t)公斤.w’(t)的意義?第t天生豬的出售價格為p=p(t)元/公斤,p’(t)的意義?強健性分析(Robustness)w’(t)可視為第t天的增重p’(t)為第t天的價格變化量

由導(dǎo)數(shù)的定義,可以近似地看成每天的利潤變化量.于是t<T,t>T,因此t=T時,是最佳賣點(8)毛利潤成本部分第t天生豬出售的純利潤函數(shù)為如何認(rèn)識?

當(dāng)T使得對應(yīng)利潤正增量對應(yīng)利潤負(fù)增量第t天的毛利潤增量第t天的成本增量用微分法求解(8)式的極值問題,可知最優(yōu)解t應(yīng)滿足(9)因為沒有給出p(t),w(t)解析式,所以下述的文字判別很重要.(9)式左端是每天毛利潤的增值,右端是每天投入的資金.于是出售的最佳時機是保留生豬直到毛利潤的增值等于每天投入的資金為止.=0第t天的利潤增量本例中p’(t)=-0.1,w’(t)=2是根據(jù)估計和預(yù)測確定的,只要它們的變化不大,上述結(jié)論就是可用的.另外,從敏感性分析知,出售時機t相對每日增重r的變化為S(t,r)=3,所以,若1.8≤w’(t)≤2.2(以2公斤為基礎(chǔ)值,10%以內(nèi))第t天的增重10-3≤t≤10+3(以10天為基礎(chǔ)值30%以內(nèi))則結(jié)果應(yīng)為評注這個問題本身及其建模過程都非常簡單,我們著重介紹的是它的敏感性分析和強健性分析,這種分析對于一個模型,特別是優(yōu)化模型,是否真的能用,或者用的效果如何,是很重要的.若設(shè)p’(t)=-0.1是最壞的情況,即每天降價要小于0.1元,則飼養(yǎng)的時間就可以更長.所以最好的辦法是:過大約一周后重新估計p,p’,w,w’,再作計算.半期考試復(fù)習(xí)提綱1、數(shù)學(xué)模型的構(gòu)成2、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模的不同3、數(shù)學(xué)模型與計算機模擬的關(guān)系4、在人口模型中，反復(fù)討論參數(shù)擬合的意義何在？5、在人口問題中，關(guān)注從一般擬合到線性擬合6、在人口問題中，如何從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推知函數(shù)7、數(shù)學(xué)建模的一般步驟8、模型的強健性、敏感性分析的含義及意義9、洞察力、想象力、直覺、靈感由何而來11、表述Q值法12、在雙層玻璃窗的討論中，認(rèn)識(2)式13、指出動物身長討論中的精彩之處14、兩人持有數(shù)量不等的n種物品進行實物交換，列出討論要點15、在核軍備競賽中認(rèn)識模型精細(xì)化中的隱函數(shù)16、