初二數(shù)學(xué)培優(yōu)之面積的計(jì)算

初二數(shù)學(xué)優(yōu)之面積的計(jì)算閱與考計(jì)算圖形的面積是幾何問(wèn)題中一種重要題型，計(jì)算圖形的面積必須掌握如下與面積有關(guān)的重要識(shí)：常見(jiàn)圖的面積公式；．等積定理：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；等比定：同（或等底）的兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)高之比；同高（或等高）兩個(gè)三角形面積之比等于等于對(duì)應(yīng)底之比.相三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)線段之比的平熟悉下列基本圖形、基本結(jié)論：

例題求【如圖eq\o\ac(△,，)內(nèi)三個(gè)三角的面積分別為邊形的積為

x

＝________.（黃岡市競(jìng)賽試題）解思：中有多對(duì)小三角形共高，所以可將面積比轉(zhuǎn)化為線段比作為解題突破AE

F

DB

C例1圖【2】如圖，在ABC，已知CE分是兩邊上的中線，并D⊥CE＝4，CE，那么△ABC的積于()(全初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)A．BC16．解思：中點(diǎn)想到三角形中位線，這樣與四邊形BCDE面存在一定的關(guān)AE

DB

例2圖

EFGHABCDABCDBECFDGEFGHABCDABCD【】圖，依次延長(zhǎng)四邊形邊CDDA至EFG，＝＝＝ABCDDA＝m

，若S＝S，m

的值m

解思：加輔助線將四邊形分割成三角形，充分找出圖形面比與線段比之間的關(guān)系，建立關(guān)于的方程

C

例【4如圖，P，Q是形ABCD邊BC和長(zhǎng)線上的兩點(diǎn)PA與CQ相于點(diǎn)，∠＝∠QAD，求證：＝

解思：形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的線段、等積式，將它們與相應(yīng)圖形聯(lián)系起來(lái)，促使問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

例4圖

C

【】圖，在eq\o\ac(△,)中，＝，＝8，＝，若動(dòng)點(diǎn)D從發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A為止，移動(dòng)速度為每秒2個(gè)位長(zhǎng).過(guò)作DE∥BCAC于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)的時(shí)間為秒，AE長(zhǎng)為.

x求關(guān)x

的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x

的取值范圍；當(dāng)

為何值時(shí)eq\o\ac(△,)的積最大值，最大值為多少？

(江西省中考試題解思：于1)eq\o\ac(△,)∽△得y與x再求最大值

的關(guān)系式；對(duì)于2)先寫(xiě)出S于xA

的函數(shù)關(guān)系式，DEB

C例

CDFeq\o\ac(△,)【6如圖設(shè)為任意一點(diǎn)，直線，，交BCCA，于D，，F(xiàn)CDFeq\o\ac(△,)求證：(1)

PDPF＋＋＝；ADCFPA＋＋＝2ADCF解思：點(diǎn)A，P分作BC的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可以與面積聯(lián)系PA起來(lái)，把轉(zhuǎn)化為面積比，利用面積法證AD

例6圖

Ceq\o\ac(○,能)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,)eq\o\ac(○,訓(xùn))eq\o\ac(○,)A

．如圖，中，AE∶＝∶2，＝6cm

，則的為(濟(jì)南市中考試題)．如圖，正六邊形ABCDEF的長(zhǎng)為23cm，為六邊形內(nèi)任一點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊離之和為

D

D

CF

C

P

第圖

第2題圖

第圖

B．如圖是長(zhǎng)為的方ABCD外一點(diǎn)，PBPCeq\o\ac(△,)的面積等于48，eq\o\ac(△,)的積為_(kāi)____________.

(北京市競(jìng)賽試題如圖eq\o\ac(△,)BOFeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)BODeq\o\ac(△,)的面積分別為3035，eq\o\ac(△,)面積(浙江省競(jìng)賽試題)圖知eq\o\ac(△,)斜邊上高是eq\o\ac(△,)ADC斜上的高果DC∶＝1∶2

DCE＝a，那么等()(金華市中考試題A．4B．9．16D．25

Seq\o\ac(△,)ADE四ABCD形Seq\o\ac(△,)ADE四ABCD形

D

CFO

E

D

D

A

M

B第圖

第圖

第圖．如圖，已知M是ABCD邊AB的點(diǎn)CM交BD于，則圖中陰影部分面積與的面積之比為（）AB．CD．3

（山西省中考試題）．如圖，eq\o\ac(△,)中DE∥BCDE分交ABAC于

S

＝2ADE

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)DCE

等)ABC(浙江寧波市中考試)2A．．3．如圖eq\o\ac(△,)ABC是長(zhǎng)為6cm的邊三角形，被一平行于的形所截被成三等分，圖中陰影部分面積面積為（）2

(東省競(jìng)賽試題A．4B23．3D．43D

HFG

D'A'C

C

C

B'第圖

第8題圖

第圖．如圖，平面上有兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形ABCD和ABD，且正方形ABD的頂點(diǎn)A在方形的心，當(dāng)正方形BD繞A轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形重合部分的面積必然是一個(gè)定這結(jié)論對(duì)嗎？證明你的判斷.

（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）凸四邊形的組對(duì)邊AB的中點(diǎn)分別為KM.證＝

＋.ABM

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DACDBCA

DK

MB

C第題圖11如圖AB是兩條線段M是AB的中點(diǎn)，分表示DMCeq\o\ac(△,)，的面積，當(dāng)∥時(shí)有S＝DMC

eq\o\ac(△,)

＋

……①如2若圖與平行時(shí)，①式是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理.如3，若圖中AB與相于點(diǎn)時(shí)問(wèn)你的結(jié)論.

與S和有相等關(guān)系？試證明eq\o\ac(△,)DMCDAC（安徽省中考試題）AM

A

M

A

OMB

1

B

3

B．如圖，eq\o\ac(△,)中，＝，＝，eq\o\ac(△,)ABC繞點(diǎn)C時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為（＜＜180°eq\o\ac(△,)AC如1當(dāng)ABCB時(shí)設(shè)B與相于點(diǎn)D證明eq\o\ac(△,)ACD是邊三角形；如2AB和的積分別為

和求證∶＝∶′′′如，設(shè)的中點(diǎn)為E，AB的中點(diǎn)為，AC＝，連接，當(dāng)＝_____時(shí)，長(zhǎng)度最大，最大值是_

（安徽省中考試題）

A'

A'

θ

θ

θ

C

D

C

C

B'B'

B'

3

FCBE1212eq\o\ac(△,)AEFeq\o\ac(△,)ADFABCDCEFCBE1212eq\o\ac(△,)AEFeq\o\ac(△,)ADFABCDCEB．如圖線段上，和都正方形，面積分別為

和

，eq\o\ac(△,)CDE的積等于.

（武漢市競(jìng)賽試題）．如圖，為方形ABCD內(nèi)點(diǎn)＝，并且到CD邊距離也等于，那么正方形的積_北京市競(jìng)賽試)DFCE．如圖，四邊形ABCD中點(diǎn)，分在上＝1，＝，eq\o\ac(△,)的積為，邊形的積為＞)，則四邊形的積為(國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試)E

D

C

DF

A

B

D

F

P

OB

AG第圖

第圖

B

第圖

D

第題圖

如圖形ABCDABCDAC和BD相交于點(diǎn)O＝5＝12中位線長(zhǎng)為eq\o\ac(△,)的面積為，OCD的積為，S＋S＝山東省競(jìng)賽題)如分延eq\o\ac(△,)的邊BCCA至BC使＝BB＝BC＝3，若＝1，則

eq\o\ac(△,)ABC

等).A．18BC．24D．(山東省競(jìng)賽試題)．如圖，若ABCD是2×2的正方形，是AB的點(diǎn)是的點(diǎn)AF與DE相于點(diǎn)I，AF相交于點(diǎn)H，么四邊形BEIH的積是)A

B

25

C．D．(江蘇省競(jìng)賽試題)C'

DI

DA'

B'

HF

F第圖第圖．如圖，矩形ABCDE是BC上一，是CD

第7題上的點(diǎn)，已知

＝eq\o\ac(△,)ABE

＝S，的值等于)(北京市競(jìng)賽試題A．2B3C．D．

．探：如圖，在的外分別作等腰直角三角形等腰直角三角形ADE∠FAB＝∠＝，連接，EF.在中找一個(gè)eq\o\ac(△,)全的三角形，并加以證應(yīng)：以ABCD的條邊為邊，在其形外分別作正方形，如圖，連接EFGHIJ，若的積為5則圖中陰影部分四個(gè)三角形的面積之和___________.

L

（長(zhǎng)春市中考試題）

FG

C

F

I1

2．如圖，在梯形中AD∥BCABAD＝BC4cm，在等eq\o\ac(△,)中，＝120°，底邊＝6cm，點(diǎn)B，CQ在同一條直線l上且C兩重合，如果等eq\o\ac(△,)PQR以1cm/s的速度沿直線l箭所示方向勻速運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)梯形與等eq\o\ac(△,)PQR重部分的面積記為cm當(dāng)t＝4時(shí)求S值；當(dāng)時(shí)求與t的數(shù)系式，并求出的大值廣州市中考題)C(Q)第圖

R．有一根直尺的短邊長(zhǎng)為，邊長(zhǎng)為還有一塊銳角為°的直角三角紙板，它的斜邊長(zhǎng)為圖1將直尺的短邊置與直角三角紙板的斜邊AB重且點(diǎn)與A重將尺沿AB方平移，如圖2，設(shè)平移的長(zhǎng)為x≤，直尺與三角形紙板疊部分（圖中陰影部分）的面積cm2.當(dāng)＝，＝________當(dāng)x時(shí)＝；當(dāng)0≤4，求關(guān)x的數(shù)系式；當(dāng)4x＜，求S關(guān)函數(shù)關(guān)系式，并求出最大值.(徐州市中考試題

FF

(D)A

圖1

B

AD圖2

B11．如圖，設(shè)H等腰三角形ABC的三邊上的高線的交點(diǎn)，在底邊C保持不變的情況下，讓頂點(diǎn)至底邊BC的距離變?。ㄈ员３秩切螢榈妊切?/p>

的值變大、變小、還是不

明你的結(jié)論

(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試)AEHB

D第題圖

．請(qǐng)?jiān)趫D作一條直線，使它將矩形ABCD分面積相等的兩部分；如2M是形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)請(qǐng)?jiān)趫D過(guò)點(diǎn)M作條直線使它將矩ABCD成面積