歐拉不等式一個三角形式的類比 論文

歐拉不等式一個三角形式的類比摘要：本文給出四個有關(guān)三角元素歐拉不等式。關(guān)鍵詞：歐拉不等式，三角形式，類比引言：設(shè)△ABC的三邊為abc，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為Rr，則有著名的歐拉不等式R32r，文［1］建立了歐拉不等式的一個三角形式：定理1設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（?表示循環(huán)和）R≥3?cotA-1①2r828當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號。評注：①式可改寫為R≥1+3(?cotA-33)，體現(xiàn)了對歐拉不等式R32r的加強.2r82文[2]給出了歐拉不等式的一個三角形式的類似：定理2設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（?表示循環(huán)和）R≥1 93+8(?tanA-3)②2r2當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.文[3]提出如下類似不等式：R≥1 1+2(?cotA-3)③，R≥1 933+ (16 2-?cosA)④，2r2rR≥1 333+ (16 2-?sinA)⑤，R≥1 933+ (16 2-?sinA)⑥，R≥1 333+ (8 2-?cosA)⑦.2r2r22r2當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.上述不等式是從三角函數(shù)和的形式對歐拉不等式進行加強，在三角形中還有熟知積形式，? A

sin2≤1，8?cosA

≤233，? A

tan2≤3，?cotA

≥332，本文將從? Asin2，? Acos2，? Atan2，89? Acot2對歐拉不等式建立新的類似，得到：一、構(gòu)建新的歐拉三角不等式定理3設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（∏表示循環(huán)積）1R≥1 1+(∏cotA-33)2r42當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.定理4設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（∏表示循環(huán)積）R≥18(1-∏sinA)2r82當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.定理5設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（∏表示循環(huán)積）R≥133(3-∏tanA)2r92當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.定理6設(shè)Rr分別為△ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑，則有（∏表示循環(huán)積）R≥1 8333+ (9 8-∏cosA)2r2當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時取等號.二、定理的證明定理3的證明設(shè)△ABC的半周長為s，因為 Atan2 r=-，所以 Acot2=1=s-a，atanAr同理Bcot2==s-b，Ccot2==s-c，則? Acot2=s-a s+-b s+-c=s2rrrrrr在△ABC中，有恒等式tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA=1222222所以1A+1B+1=1即tanCAtanBtanCtantantan222222所以cotAcotBcotC=s222r-4)r定理3等價為s≤2R+(33cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC222222結(jié)合不等式16Rr-5r2≤≤2 4R2+4Rr+3r2（Gerrestsen不等式）只需證明 4R2+4Rr+3r2≤2R+(33-4)r平方整理得(2R+(33-4))2-(4R2+4Rr+3r2)=4(33-5)(R-2)≥0由歐拉不等式知，顯然成立.2定理4的證明在△ABC有sinAsinBsinC=r2224R故所證式等價于R≥18(1-∏sinA)?R≥18(1-r)?R2r+R≥2?R2-4Rr+4r2≥0?R-2)2≥02r822r84R2r定理5的證明因為tanA=ra，Btan2=r，tanC r=-2--b2cc=rs3=r∏ Atan2=sr×asr×bsr=

(-asr3bs)=-rs3---cs--cssas-bs-)(sr)2s而s≤227R24所以R≥133(3-∏tanA)?R≥133(3-r)?R33r+≥22r922r9s2rs?R33r+s≥R+33r=R2r+R≥2?(R-2)2≥02r2r33R2r2定理6的證明在△ABC中有恒等式sinA+sinB+sinC=4cosAcosBcosC222-∑sinA)因此R≥1 8333+ (9 8-∏cosA)?R≥1 8333+ (9 8-1∑sinA) 2333=+ (9 22r22r4R≥1 2333+ (9 2-?sinA)?R≥1 2333+ (9 2-s)?R≥2-23s2r2rR2r9R?23s≥2-R?23s≥18R-9R2?s≥18R-9R2=33R-33R29R2r2r2343r4r由16Rr-5r2￡s2￡4R2+4Rr+3r2可得16Rr-5r2￡s￡4R2+4Rr+3r2由歐拉不等式R32r可得s-33r316Rr-5r2-33r316(2)rr-5r2-33r=033r≥33R-33R2?R2-4Rr+4r2≥0?(R-2)2≥0得證.4r參考文獻

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