培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”體會(huì)素養(yǎng)滲透 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”體會(huì)素養(yǎng)滲透摘要：探究數(shù)學(xué)復(fù)雜問(wèn)題的求解方法，需挖掘題目已知條件和待求結(jié)論中的關(guān)鍵信息，特別注意對(duì)條件的解讀和分析，結(jié)合圖形中線段和角度的特殊關(guān)系，從而找到解題的突破口。并引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、方法去分析、理解、解決生活問(wèn)題，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“數(shù)感”的體驗(yàn)。關(guān)鍵詞：數(shù)感，關(guān)鍵條件，信息加工，轉(zhuǎn)化，滲透隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)越來(lái)越被重視，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提到的“數(shù)感”、“數(shù)據(jù)分析觀念”，其實(shí)一定程度上也體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。“數(shù)感”主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟，是人對(duì)數(shù)及其運(yùn)算的一般理解和感受，這種理解和感受可以為人們用靈活的方法解決復(fù)雜的問(wèn)題提供策略。要通過(guò)觀察生活中具體、有趣的事物培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、認(rèn)識(shí)周圍事物，用數(shù)學(xué)的概念與語(yǔ)言反映、描述社會(huì)和生活實(shí)踐中的問(wèn)題，結(jié)合生活中的具體實(shí)例去教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)就在身邊，生活中充滿了數(shù)學(xué)，從而能以積極的心態(tài)投入學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)感。初中階段培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)感”的意識(shí)至關(guān)重要，但往往被教師和學(xué)生所忽視。經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情況：在一個(gè)含30的直角三角形中，已知任意一條邊時(shí)，學(xué)生都能順利求解出其他兩條邊，但當(dāng)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為1， 3時(shí)，學(xué)生卻很難想到這是一個(gè)含30角的直角三角形；當(dāng)一條直線的解析式為y=-x+5時(shí)，學(xué)生往往想不到這條直線與x軸、y軸所夾銳角均為45；當(dāng)一道幾何證明題出現(xiàn)類似AB+ 2CD時(shí)，學(xué)生往往不知道如何處理這里的 2。其實(shí)這些都是日常數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)感的好時(shí)機(jī)。下面就以一道中考數(shù)學(xué)試題的求解為例，談?wù)勅绾我劳袛?shù)感進(jìn)行巧妙關(guān)聯(lián)，從而挖掘題目的本3 32質(zhì)。問(wèn)題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=- 4 x + 2 x+23與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q。連接AC，BC，若點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸交BC于點(diǎn)E，作PF⊥BC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)H，K分別在對(duì)稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接PH，HK。當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)最大時(shí)，求3PH+KH+2KG的最小值及點(diǎn)H的坐標(biāo)。圖112022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選解析式的數(shù)據(jù)解讀：觀察二次函數(shù)解析式y(tǒng)=-3x2+3x+23，數(shù)據(jù)較為復(fù)雜，可能會(huì)給42學(xué)生心理產(chǎn)生一定影響，但其實(shí)仔細(xì)分析數(shù)據(jù)，二次項(xiàng)系數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)之間存在倍分關(guān)系，且常數(shù)項(xiàng)也與二者存在倍分關(guān)系，因此本題并不復(fù)雜，首先可求解二次函數(shù)中涉及的重要內(nèi)容：與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)。令x=0，得y=2 3,所以C(0,2 3)。令y=0，得x1=-2，x2=4，9 3 9 3所以A(-2,0),B(4,0)。因此對(duì)稱軸為x=1，將x=1代入函數(shù)解析式得y= 4 ,所以D(1, 4 )。關(guān)鍵條件的數(shù)據(jù)解讀：本題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)較多，看到圖形后學(xué)生往往直觀上感覺(jué)這道題很難，其實(shí)針對(duì)圖形復(fù)雜的問(wèn)題要注意逐步分解，自己可以在草稿本上重新畫圖，一步步添加題目所給的條件，每添加一個(gè)條件進(jìn)行全面分析，這樣有助于提煉問(wèn)題的本質(zhì)，而不至于受復(fù)雜圖形或復(fù)雜文字表述所困擾。本題中點(diǎn)P，E，F(xiàn)是動(dòng)點(diǎn)，且是有“從屬關(guān)系”的動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn)P一旦確定，E，F(xiàn)也隨之確定。探究△PEF的周長(zhǎng)最大，即PE+EF+PF最大，看似都在變化的三條線段其實(shí)是有關(guān)系的，因此解讀這一條件的關(guān)鍵是抓住△PEF 的特征。⑴尋找與△PEF有關(guān)的已知三角形，因?yàn)辄c(diǎn)P，E，F(xiàn)都在動(dòng)，所以一定要“跳出”這個(gè)三角形，向已知三角形“靠攏”，易知△PEF～△BCO。⑵△BCO的相關(guān)數(shù)據(jù)分析，注意到Rt△BCO中，OC=2 3,OB=4,所以BC=2 7,即△BCO是三邊之比為 3：2：7的直角三角形，所以△PEF也是三邊之比為 3：2： 7的直角三角形。⑶△PEF周長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化，因?yàn)椤鱌EF的三邊之比為 3：2： 7，因此要使PE+EF+PF最大，只需PE最大即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化3為常見(jiàn)的線段長(zhǎng)度最值問(wèn)題。因?yàn)锽(4,0),C(0,23),所以直線BC的解析式為y=-2x+23。因?yàn)?，點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，點(diǎn)E在線段BC上，且PE∥y軸，所以設(shè)P(m,-3 2m+3m+2342則E(m,-3m+23)，故PE=-3 2m+3m=-43m2+3。所以當(dāng)m=2時(shí)，△PEF周長(zhǎng)24最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，23)。33待求結(jié)論的數(shù)據(jù)解讀：本題結(jié)論是求PH+KH+2KG的最小值，分析數(shù)據(jù)，這里2KG能否巧妙轉(zhuǎn)化是求解本題的突破口。如何出現(xiàn)一條線段的倍數(shù)？平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累表明：直角三角形中經(jīng)常涉及三邊長(zhǎng)度之比為1：1： 2的等腰直角三角形，這就告訴我們，當(dāng)出現(xiàn)某一線段的 2倍時(shí)，可以構(gòu)造等腰直角三角形將其轉(zhuǎn)化；同理，當(dāng)出現(xiàn)三邊長(zhǎng)度之比為1：2： 3時(shí)，這是一個(gè)含30角的直角三角形，相反地，當(dāng)出現(xiàn)某一線段的2倍或 3倍時(shí)，其實(shí)可以構(gòu)造含30角的直角三角22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選形將其轉(zhuǎn)化。基于此，本題3KG的轉(zhuǎn)化可以通過(guò)構(gòu)造 30角的直角三角形來(lái)進(jìn)行，考慮構(gòu)造以KG2為斜邊的直角三角形。對(duì)信息進(jìn)行深度加工：如何構(gòu)造以KG為斜邊的直角三角形，且該三角形中含有3060的特殊角？分析點(diǎn)K，G的特征，注意到點(diǎn)G其實(shí)是已知的，而點(diǎn)K是y軸上的動(dòng)點(diǎn)?？梢韵惹蠼恻c(diǎn)G的坐標(biāo)，點(diǎn)G是通過(guò)“過(guò)點(diǎn)B作BG∥AC與y軸相交”得到的，可先求直線AC的解析式為y= 3x+2 3,于是再設(shè)直線BG解析式為y= 3x+b,將點(diǎn)B(4,0)代入得b=-4 3,所以G(0，-4 3)?？勺⒁?到Rt△BOG中，BO=4,OG=4 3,基于“數(shù)感”，∠OGB=30，這為構(gòu)造以KG為斜邊的含30角的直角三角形提供依據(jù)，不難想到過(guò)點(diǎn)G作BG的垂線l，因?yàn)镵是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)作KM⊥l，得到所要構(gòu)造的直角三角形KMG，這里3KG=KM，即將3KG轉(zhuǎn)化為KM，從而PH+KH+3KG的最222小值轉(zhuǎn)化為PH+HK+KM的最小值。至此，經(jīng)過(guò)多角度、多層次的數(shù)據(jù)分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的三條線段之和最小值問(wèn)題。當(dāng)△PEF周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，23)，H是對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，K是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，M是GN上的動(dòng)點(diǎn)，且KM⊥l，因此只需過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，與y3軸交于點(diǎn)K，垂足為M，如圖2，此時(shí)點(diǎn)H即為所求，PH+KH+ 2 KG的最小值即為線段PM的長(zhǎng)。因?yàn)镻M∥BG，直線BG解析式為y= 3x-4 3,所以設(shè)直線PM解析式為y= 3x+n，將點(diǎn)P(2，3)代入得n=0，所以直線PM解析式為y= 3將x=1代入得y= 3所以H(1, 3)。將x=0代入得y=0，所以點(diǎn)K與原點(diǎn)重合，PM=PO+OM=4+6=10。綜上，當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)最大3時(shí)，PH+KH+2KG的最小值為10，點(diǎn)H的坐標(biāo)(1,3)。圖2在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過(guò)設(shè)計(jì)一些情境教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義，繼而確立應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，這是形成良好數(shù)感的重要條件。鑒于此，教師應(yīng)打破從概念到概念，從課堂到課堂的數(shù)學(xué)應(yīng)用僵局，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思想、方法去分析、理解、解決生活問(wèn)題，通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)感的體驗(yàn)。本題中關(guān)于“動(dòng)點(diǎn)P，E，F(xiàn)組成的△PEF周長(zhǎng)最大”的數(shù)感的滲透就是利用了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：⑴把“動(dòng)態(tài)的未知圖形△PEF”向“靜態(tài)的已知圖形△BCO”轉(zhuǎn)化；⑵借助△PEF～△BCO，將OC=23,OB=4,BC=27轉(zhuǎn)化為Rt△PEF三邊之比為3：2：7；⑶把“Rt△PEF周長(zhǎng)最大問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“斜邊PE最大問(wèn)題”，從而找到問(wèn)題的突破口?；诔踔袛?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)要32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選求，我們要把握內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生在掌握知識(shí)技能的同時(shí)積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力。 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本題中對(duì)于“PH+KH+ 2 KG最小值”的處理就體現(xiàn)了數(shù)感的功能----巧妙轉(zhuǎn)化。先是根據(jù)“在含30

角的直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，較長(zhǎng)直角邊是較短直角邊的 3倍”這一 3 3

數(shù)感，把 2 KG轉(zhuǎn)化為線段KM，把“PH+KH+ 2 KG最小值”轉(zhuǎn)化為“PH+HK+KM的最小值”問(wèn)題，從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)感是學(xué)生應(yīng)具備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，它是體現(xiàn)數(shù)學(xué)交流能力的一個(gè)方面。而數(shù)學(xué)交流能力就是要讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)課本，進(jìn)行數(shù)學(xué)的口頭表達(dá)和數(shù)學(xué)報(bào)告”，讓他們會(huì)“充分描述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)事實(shí)，能識(shí)別和選擇簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)課本中的信息和數(shù)據(jù)，從而抓住問(wèn)題的本質(zhì)，找到解決問(wèn)題的途徑”。數(shù)感的建立是循序漸進(jìn)的，是在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體驗(yàn)和建立起來(lái)的。所以教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中可