計(jì)算二重積分的幾種方法

1-計(jì)算二重積分的幾種方法摘要二重積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)重要的內(nèi)容，其計(jì)算方法多樣、靈活，本文總結(jié)了二重積分的一般計(jì)算方法和特殊計(jì)算方法.其中，一般計(jì)算方法包括化二重積分為累次積分和換元法，特殊計(jì)算方法包括應(yīng)用函數(shù)的對稱性、奇偶性求二重積分以及分部積分法.關(guān)鍵詞二重積分累次積分法對稱性分部積分法1引言本人在家里的職業(yè)教育高中實(shí)習(xí)，發(fā)現(xiàn)這里有些專業(yè)的的學(xué)生要計(jì)算很多面積或者體積問題，已經(jīng)略微涉及到大學(xué)的積分問題，如曲頂柱體的體積，他們用最普遍的求面積/體積的方法求解，而用二重積分進(jìn)行計(jì)算求解就會更容易理解，方法和步驟也帶給學(xué)生一個(gè)新的認(rèn)知領(lǐng)域。職業(yè)教育的學(xué)生在大學(xué)知識中解決實(shí)際問題應(yīng)用積分的方法更頻繁。在解決一些幾何、物理等的實(shí)際問題時(shí)，我們常常需要各種不同的多元實(shí)值函數(shù)的積分，而二重積分又是基本的、常見的多元函數(shù)積分，我針對自己在《數(shù)學(xué)分析》這門課程中的學(xué)習(xí)，總結(jié)了累次積分、根據(jù)函數(shù)對稱性積分、元素法、分部積分法、極坐標(biāo)下的積分等內(nèi)容，以下是我對二重積分方法的總結(jié)。2積分的計(jì)算方法2.1化二重積分為兩次定積分或累次積分法定理1若函數(shù)在閉矩形域可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且證明設(shè)區(qū)間與的分點(diǎn)分別是這個(gè)分法記為.于是，分法將閉矩形域分成個(gè)小閉矩形，小閉矩形記為設(shè)，有.已知一元函數(shù)在可積，有.將此不等式對相加，有，其中，即.再將此不等式乘以，然后對相加，有.此不等式的左右兩端分別是分法的小和與大和，即.(1)已知函數(shù)在可積，根據(jù)定理有又不等式（1），有，即類似地，若在閉矩形域可積，且定積分存在，則累次積分，也存在，且.也可將累次積分與分別記為和.定義1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)；函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，則區(qū)域和分別稱為型區(qū)域和型區(qū)域.如下圖（1）和（2）所示.定理2設(shè)有界閉區(qū)域是型區(qū)域，若函數(shù)在可積，且，定積分存在，則累次積分也存在，且.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分公式：例1計(jì)算二重積分，其中解被積函數(shù)在R連續(xù)，則有====例2計(jì)算二重積分，其中是由直線和雙曲線所圍成，既是型區(qū)域又是型區(qū)域，如圖（3）所示.解先對積分，后對積分.將投影在軸上，得閉區(qū)間.,關(guān)于積分，在內(nèi)的積分限是到，然后在投影區(qū)間上關(guān)于積分，即.先對積分，后對積分.因?yàn)榈淖髠?cè)邊界不是由一個(gè)解析式給出，而是由兩個(gè)解析式和給出的，所以必須將圖（3）所示的區(qū)域分成兩個(gè)區(qū)域與，分別在其上求二重積分，然后再相加，即.例3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，并設(shè)求解因?yàn)樗运?2.2換元法求二重積分，由于某些積分區(qū)域的邊界曲線比較復(fù)雜，僅僅將二重積分化為累次積分并不能得到計(jì)算結(jié)果.如果經(jīng)過適當(dāng)?shù)膿Q元或變換可將給定的積分區(qū)域變?yōu)楹唵蔚膮^(qū)域，從而簡化了重積分的計(jì)算.定理3若函數(shù)在有界閉區(qū)域連續(xù)，函數(shù)組（2）將平面上區(qū)域變換為平面上區(qū)域.且函數(shù)組(2)在上對與對存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，,有則（3）證明用任意分法T將區(qū)域分成n個(gè)小區(qū)域：.設(shè)其面積分別是.于是，在上有對應(yīng)的分法,它將對應(yīng)地分成n個(gè)小區(qū)域.設(shè)其面積分別是.根據(jù)定理可得，有，在對應(yīng)唯一一點(diǎn)，而.于是，(4)因?yàn)楹瘮?shù)組（2）在有界閉區(qū)域上存在反函數(shù)組，并且此函數(shù)組在一致連續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，也有.對（4）取極限，有.例4計(jì)算兩條拋物線與和兩條直線與所圍成區(qū)域的面積，如圖（4）所示.解已知區(qū)域R的面積.設(shè)這個(gè)函數(shù)將平面上的區(qū)域R變換為平面上的區(qū)域，是由直線和所圍成的矩形域.由定理3可知,本題是典型的運(yùn)用換元法解決二重積分求面積的問題。2.3極坐標(biāo)下的換元法例5計(jì)算二重積分，其中如圖（5）所示.解由于區(qū)域由圓的一部分組成，所以可以用極坐標(biāo)變換來求解.設(shè)，則在極坐標(biāo)下，被積函數(shù)為，積分區(qū)域?yàn)樾蛥^(qū)域.則有于是有此題是應(yīng)用極坐標(biāo)換元法求解的.2.4應(yīng)用函數(shù)的對稱性求二重積分定理4如果積分區(qū)域關(guān)于EQ軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸右側(cè)的部分，則有如果積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，是的位于軸上側(cè)的部分，則有證明由于關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)y軸將區(qū)域分為和，則由二重積分對區(qū)域的可加性，得（5）對積分作換元，即令，則面的區(qū)域?qū)?yīng)面上的區(qū)域，如圖（6）所示又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，于是可得，將上式帶入（5）式得用完全類似的方法可證明定理的第二部分.定理5如果積分區(qū)域關(guān)于軸、軸都對稱，被積函數(shù)關(guān)于、都是偶函數(shù)，是中第一象限的部分，則證明由于關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)為的位于軸右側(cè)部分，又因?yàn)槭顷P(guān)于的偶函數(shù)，由定理4得（6）由條件知又關(guān)于軸對稱，若是的位于軸上側(cè)的部分，且因被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，由定理4的第二部分得：（7）由上面（6）（7）式可得.定理6如果積分區(qū)域關(guān)于軸（或軸）對稱，被積函數(shù)是關(guān)于(或)的奇函數(shù)，則證明由定理4的證明過程得.將上式代入（5）式得.例6求圓錐截圓柱面所得有界部分立體的體積.解立體在平面上的投影為根據(jù)積分區(qū)域是關(guān)于軸對稱并且被積函數(shù)是的偶函數(shù)，那么所得立體體積為，令，則變?yōu)?，所以?例7計(jì)算二重積分，其中是平面以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，是在第一象限的部分如圖（7）所示.解如圖（7）所示，作輔助線OB，則.因區(qū)域BOC關(guān)于軸對稱，且為關(guān)于的奇函數(shù)，故又因?yàn)?而區(qū)域關(guān)于軸對稱，為關(guān)于的奇函數(shù)，故為關(guān)于的偶函數(shù)，故.因此2.5用分部積分法求二重積分分部積分公式由兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式得到，主要用于被奇函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積時(shí)的積分求法，通常根據(jù)被積函數(shù)類型按次序“反對冪指三”作為，其他的湊成，實(shí)現(xiàn)積分的轉(zhuǎn)移。當(dāng)被積函數(shù)僅一類函數(shù)，且被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到，一般也用此方法。定理7設(shè)是在上的連續(xù)可微函數(shù)，為定義在上的可微函數(shù).如果在區(qū)域上有連續(xù)可微函數(shù)滿足（8）則證明因?yàn)樵趨^(qū)域上連續(xù)可微，為定義在上的可微函數(shù)，由含參變量累次積分的連續(xù)性、可微性可得，又由定積分的分部積分法、含參變量積分的連續(xù)性和可微性、含參變量累次積分的連續(xù)性和可微性得而，因此有即推論1設(shè)，與其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則證明由定理7知，令即則有：推論2設(shè)，與其偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，為定義在上的可微函數(shù)，且，則例10計(jì)算二重積分，其中區(qū)域是由與所圍成第一象限的圖形.解如果先對積分，后對積分，由分部積分法可得所以于是.例11計(jì)算二重積分是由直線及拋物線圍成的區(qū)域.解對于型區(qū)域得顯然，由上式易求出.對于型區(qū)域得若用一般方法，想要求解非常困難，若用分部積分法，則易得結(jié)果.所以用分部積分法可得3.結(jié)論以上是對二重積分的常用計(jì)算方法的總結(jié)，通過以上總結(jié)使我們對二重積分的計(jì)算有了更深入的了解.在以后的計(jì)算過程中，我們可以通過函數(shù)的不同特點(diǎn)來選擇不同的計(jì)算方法，以簡化計(jì)算過程.更多的計(jì)算方法與技巧有待于我們今后做進(jìn)一步的研究與探索.【參考文獻(xiàn)】[1]劉玉漣.數(shù)學(xué)分析講義[M].高等教育出版社.2021年.第五版[2]李玲.對稱性在二重積分中的應(yīng)用[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào).2021年.第8卷.第3期[3]熊明.用元素法把二重積分直接化為單積分[J].高等數(shù)學(xué)研究.2021年.第13卷.第4期[4]韓紅偉.分部積分法在二重積分中的應(yīng)用[J].時(shí)代教育.2021年.第1期[5]孫幸榮.二重積分的分部積分法[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報(bào).2021年.第28卷.第11期SeveralmethodsforcalculatingthedoubleintegralCaoyangSchoolofmathematicsandstatistics,ChifengUniversity,Abstract:Calculationofdoubleintegralisanimportantcontentofmathematicalanalysis,thecalculationmethodofdiversity,flexibility,thispapersummarizesthegeneralmethodsofcalculatingthedoubleintegralandspecialcalculationmethod.Amongthem,thegeneralcalculationmethodsincludingdoubleintegralfortheiteratedintegralandsubstitutionmethod,symmetry,parityanddoubleintegralandintegralmethodspecialcalculationmethodsincludingapplicationfunctions.Keywords:Thedoubleintegralintegralsymmetryofsubsectionintegralmethod

公司印章管理制度一、目的公司印章是公司對內(nèi)對外行使權(quán)力的標(biāo)志，也是公司名稱的法律體現(xiàn)，因此，必須對印章進(jìn)行規(guī)范化、合理化的嚴(yán)格管理，以保證公司各項(xiàng)業(yè)務(wù)的正常運(yùn)作，由公司指定專人負(fù)責(zé)管理。二、印章的種類公章，是按照政府規(guī)定，由主管部門批準(zhǔn)刻制的代表公司權(quán)力的印章。專用章，為方便工作專門刻制的用于某種特定用途的印章，如：合同專用章、財(cái)務(wù)專用章、業(yè)務(wù)專用章、倉庫簽收章等。3、手章(簽名章)，是以公司法人代表名字刻制的用于公務(wù)的印章。三、印章的管理規(guī)定印章指定專人負(fù)責(zé)保管和使用，保管印章的地方(桌、柜等)要牢固加鎖，印章使用后要及時(shí)收存。財(cái)務(wù)專用章由財(cái)務(wù)部負(fù)責(zé)保管，向銀行備案的印章，應(yīng)由財(cái)務(wù)部會計(jì)、總經(jīng)辦分別保管。3、印章要注意保養(yǎng)，防止碰撞，還要及時(shí)清洗，以保持印跡清晰。4、一般情況下不得將印章攜出公司外使用，如確實(shí)因工作所需，則應(yīng)由印章管理員攜帶印章到場蓋章或監(jiān)印。5、印章管理人員離職或調(diào)任時(shí)，須履行印章交接手續(xù)。四、公章刻制印章需本公司法人代表批準(zhǔn)，并由印章管理專責(zé)人負(fù)責(zé)辦理刻制并啟用并交由專人進(jìn)行保管。五、印章的使用使用任何的印章，需由相應(yīng)負(fù)責(zé)人審核簽字。為方便工作，總經(jīng)理可授權(quán)印章管理專責(zé)人審核一般性事務(wù)用印。用印前印章管理人員須認(rèn)真審核，明確了解用印的內(nèi)容和目的，確認(rèn)符合用印的手續(xù)后，在用印登記簿上逐項(xiàng)登記，方可蓋章。3、對需要留存的材料，蓋印后應(yīng)留存一份立卷歸檔。4、不得在空白憑證、便箋上蓋章。5、上報(bào)有關(guān)部門的文件資料，未經(jīng)部