中考壓軸題中的二次函數(shù)(一)-帶答案和詳細解析-30道解答題

中考壓軸題中的二次函數(shù)(一)-帶答案和詳細解析-30道解答題[在此處鍵入]第4頁（共175頁）中考壓軸題的中的二次函數(shù)(1)一．解答題（共30小題）1．（2016?貴陽模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最??？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側(cè)），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形（1）求該拋物線的解析式；（2）求點P的坐標；（3）求證：CE=EF；（4）連接PE，在x軸上點Q的右側(cè)是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+2=（+1）2]．5．（2015?龍巖）如圖，已知點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切于點C（0，4），與x軸交于A，B兩點，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，點P是拋物線上的動點，且線段AP與BC所在直線有交點Q．（1）寫出點D的坐標并求出拋物線的解析式；（2）證明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在點P，使點Q為線段AP的四等分點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．6．（2015?甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三點，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．7．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（0，3），且當x=1時，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）設二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k為實數(shù)），它的圖象的頂點為D．①當k=1時，求二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的交點坐標；②請在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標（點M在點N的上方）；③過點M的一次函數(shù)y=﹣x+t的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于另一點P，當k為何值時，點D在∠NMP的平分線上？④當k取﹣2，﹣1，0，1，2時，通過計算，得到對應的拋物線y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的頂點分別為（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標是變量嗎？縱坐標是如何隨橫坐標的變化而變化的？8．（2015?綿陽）已知拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）與y軸相交于A點，頂點為M，直線y=x﹣a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點．（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M，A的坐標；（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn)，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積；（3）在拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．9．（2015?南寧）在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如圖1所示，當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標的乘積．（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A、B兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若直線y=﹣2x﹣2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標．10．（2015?遼陽）如圖1，平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與拋物線y=ax2+x+c相交于A，B兩點，其中點A在x軸上，點B在y軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上存在一點M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點M的坐標；（3）如圖2，點E為線段AB上一點，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB在直線AB的同側(cè)，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個單位的速度運動，當點B與A重合時停止運動，設運動時間為t秒，△BDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．11．（2015?鄂州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．12．（2015?湘西州）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．13．（2015?葫蘆島）如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．14．（2015?曲靖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l⊥y軸于點B（0，﹣2），A為OB的中點，以A為頂點的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點，且CD=4，點P為拋物線上的一個動點，以P為圓心，PO為半徑畫圓．（1）求拋物線的解析式；（2）若⊙P與y軸的另一交點為E，且OE=2，求點P的坐標；（3）判斷直線l與⊙P的位置關系，并說明理由．15．（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．16．（2015?營口）如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且當x=﹣1和x=3時，y的值相等，直線y=x﹣與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．（1）求這條拋物線的表達式．（2）動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設運動時間為t秒．①若使△BPQ為直角三角形，請求出所有符合條件的t值；②求t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？（3）如圖2，當動點P運動到OB的中點時，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關系式．17．（2015?潛江）已知拋物線經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三點，其對稱軸交x軸于點H，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點C，與拋物線交于另一點D（點D在點C的左邊），與拋物線的對稱軸交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當S△EOC=S△EAB時，求一次函數(shù)的解析式；（3）如圖2，設∠CEH=α，∠EAH=β，當α＞β時，直接寫出k的取值范圍．18．（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A（﹣1，0）和點B（4，0），且與y軸交于點C，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點，連接CA，CD，PD，PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當△PDB的面積等于△CAD的面積時，求點P的坐標；（3）當m＞0，n＞0時，過點P作直線PE⊥y軸于點E交直線BC于點F，過點F作FG⊥x軸于點G，連接EG，請直接寫出隨著點P的運動，線段EG的最小值．19．（2015?大慶）已知二次函數(shù)y=x2+bx﹣4的圖象與y軸的交點為C，與x軸正半軸的交點為A，且tan∠ACO=（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）P為二次函數(shù)圖象的頂點，Q為其對稱軸上的一點，QC平分∠PQO，求Q點坐標；（3）是否存在實數(shù)x1、x2（x1＜x2），當x1≤x≤x2時，y的取值范圍為≤y≤？若存在，直接寫在x1，x2的值；若不存在，說明理由．20．（2015?達州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象拋物線經(jīng)過A，C兩點．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；（3）拋物線上是否在點P，使△ODP的面積為12？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2015?深圳）如圖1，關于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），點C（0，3），點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P，若不存在請說明理由；（3）如圖2，DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點F的坐標，若不存在請說明理由．22．（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C，點G是二次函數(shù)圖象的頂點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD平行GC交y軸于點D．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）求證：四邊形ACHD是正方形；（3）如圖2，點M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動點，并且點M在第二象限內(nèi)，過點M的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點N．①若四邊形ADCM的面積為S，請求出S關于t的函數(shù)表達式，并寫出t的取值范圍；②若△CMN的面積等于，請求出此時①中S的值．23．（2015?郴州）如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（4，0），B（0，4），C（6，6）．（1）求拋物線的表達式；（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；（3）在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出面積最大的?DEFG？（頂點D，E，F(xiàn)，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合）若能，求出?DEFG的最大面積，并求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．24．（2015?隨州）如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．（1）求點A、B、C的坐標；（2）設動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．25．（2015?遵義）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A、C、D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積；（3）以AB為直徑作⊙M，直線經(jīng)過點E（﹣1，﹣5），并且與⊙M相切，求該直線的解析式．26．（2015?內(nèi)江）如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣，0）、點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．（1）求拋物線的函數(shù)關系式；（2）點N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（﹣＜t＜2），求△ABN的面積S與t的函數(shù)關系式；（3）若﹣＜t＜2且t≠0時△OPN∽△COB，求點N的坐標．27．（2015?安順）如圖，拋物線y=ax2+bx+與直線AB交于點A（﹣1，0），B（4，），點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點（不與點A，B重合），直線CD與y軸平行，交直線AB于點C，連接AD，BD．（1）求拋物線的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，△ADB的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并求出當S取最大值時的點C的坐標．28．（2015?撫順）已知，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖①所示，A點坐標為（﹣6，0），B點坐標為（4，0），點D為BC的中點，點E為線段AB上一動點，連接DE經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，將△BDE以DE為軸翻折，點B的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；（3）如圖②，當點E在線段AB上運動時，拋物線y=ax2+bx+8的對稱軸上是否存在點F，使得以C、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．29．（2015?昆明）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，點A的坐標為（4，0），拋物線的對稱軸是直線x=．（1）求拋物線的解析式；（2）M為第一象限內(nèi)的拋物線上的一個點，過點M作MG⊥x軸于點G，交AC于點H，當線段CM=CH時，求點M的坐標；（3）在（2）的條件下，將線段MG繞點G順時針旋轉(zhuǎn)一個角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，設線段MG與拋物線交于點N，在線段GA上是否存在點P，使得以P、N、G為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．30．（2015?泉州）閱讀理解拋物線y=x2上任意一點到點（0，1）的距離與到直線y=﹣1的距離相等，你可以利用這一性質(zhì)解決問題．問題解決如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx+1與y軸交于C點，與函數(shù)y=x2的圖象交于A，B兩點，分別過A，B兩點作直線y=﹣1的垂線，交于E，F(xiàn)兩點．（1）寫出點C的坐標，并說明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M為EF中點，P為動點．①求證：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF為一條對角線作平行四邊形CEDF，若1＜PD＜2，試求CP的取值范圍．

中考壓軸題的中的二次函數(shù)(1)參考答案與試題解析一．解答題（共30小題）1．（2016?貴陽模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點．（1）求拋物線的解析式；（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．專題：壓軸題．分析：（1）先假設出函數(shù)解析式，利用三點法求解函數(shù)解析式．（2）設出M點的坐標，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可進行解答；（3）當OB是平行四邊形的邊時，表示出PQ的長，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等列出方程求解即可；當OB是對角線時，由圖可知點A與P應該重合．解答：解：（1）設此拋物線的函數(shù)解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），將A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三點代入函數(shù)解析式得：解得，所以此函數(shù)解析式為：y=；（2）∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，∴M點的坐標為：（m，），∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，當m=﹣2時，S有最大值為：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2時S有最大值S=4．（3）設P（x，x2+x﹣4）．當OB為邊時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PB∥OQ，∴Q的橫坐標的絕對值等于P的橫坐標的絕對值，又∵直線的解析式為y=﹣x，則Q（x，﹣x）．由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合題意，舍去．如圖，當BO為對角線時，知A與P應該重合，OP=4．四邊形PBQO為平行四邊形則BQ=OP=4，Q橫坐標為4，代入y=﹣x得出Q為（4，﹣4）．由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．點評：本題考查了三點式求拋物線的方法，以及拋物線的性質(zhì)和最值的求解方法．2．（2015?棗莊）如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設出P點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關于PC與P點橫坐標的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．（3）當△PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．解答：解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=2x2﹣8x+6．（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴當n=時，線段PC最大且為．（3）∵△PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則∠APC=90°．由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則∠PAC=90°．如答圖3﹣1，過點A（，）作AN⊥x軸于點N，則ON=，AN=．過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．設直線AM的解析式為：y=kx+b，則：，解得，∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3①又拋物線的解析式為：y=2x2﹣8x+6②聯(lián)立①②式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）∴C（3，0），即點C、M點重合．當x=3時，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若點C為直角頂點，則∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為直線x=2．如答圖3﹣2，作點A（，）關于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）．當x=時，y=x+2=．∴P2（，）．∵點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）．點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識．3．（2015?酒泉）如圖，在直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），其對稱軸與x軸相交于點M．（1）求拋物線的解析式和對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PAB的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）連接AC，在直線AC的下方的拋物線上，是否存在一點N，使△NAC的面積最大？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）拋物線經(jīng)過點A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用兩點式法設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函數(shù)的解析式，則可求得拋物線的對稱軸；（2）點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4），連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最小，可求出直線BA′的解析式，即可得出點P的坐標．（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直線AC的解析式，即可求得NG的長與△ACN的面積，由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案．解答：解：（1）根據(jù)已知條件可設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）（x﹣5），把點A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴拋物線的對稱軸是：x=3；（2）P點坐標為（3，）．理由如下：∵點A（0，4），拋物線的對稱軸是x=3，∴點A關于對稱軸的對稱點A′的坐標為（6，4）如圖1，連接BA′交對稱軸于點P，連接AP，此時△PAB的周長最?。O直線BA′的解析式為y=kx+b，把A′（6，4），B（1，0）代入得，解得，∴y=x﹣，∵點P的橫坐標為3，∴y=×3﹣=，∴P（3，）．（3）在直線AC的下方的拋物線上存在點N，使△NAC面積最大．設N點的橫坐標為t，此時點N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），如圖2，過點N作NG∥y軸交AC于G；作AD⊥NG于D，由點A（0，4）和點C（5，0）可求出直線AC的解析式為：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，則G（t，﹣t+4），此時：NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2+4t，∵AD+CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CF=AD?OC=×（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴當t=時，△CAN面積的最大值為，由t=，得：y=t2﹣t+4=﹣3，∴N（，﹣3）．點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應用．4．（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側(cè)），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側(cè)，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形（1）求該拋物線的解析式；（2）求點P的坐標；（3）求證：CE=EF；（4）連接PE，在x軸上點Q的右側(cè)是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+2=（+1）2]．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點是（2，1），因而設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，把A的坐標代入即可求得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)△PCQ為等邊三角形，則△CGQ中，∠CQD=30°，CG的長度可以求得，利用直角三角形的性質(zhì)，即可求得CQ，即等邊△CQP的邊長，則P的縱坐標代入二次函數(shù)的解析式，即可求得P的坐標；（3）解方程組即可求得E的坐標，則EF的長等于E的縱坐標，OE的長度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的長度可以求得，則CE的長度即可求解；（4）可以利用反證法，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，可以證得EM=EF，即M與F重合，與點E為直線y=x上的點，∠CEF=45°即點M與點F不重合相矛盾，故M不存在．解答：解：（1）設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，將點A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，解這個方程，得a=，∴拋物線的表達式為y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；（2）將x=2代入y=x，得y=2∴點C的坐標為（2，2）即CG=2，∵△PCQ為等邊三角形∴∠CQP=60°，CQ=PQ，∵PQ⊥x軸，∴∠CQG=30°，∴CQ=4，GQ=2．∴OQ=2+2，PQ=4，將y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1解這個方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合題意，舍去）．∴點P的坐標為（2+2，4）；（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2解這個方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合題意，舍去）∴y=4+2=EF∴點E的坐標為（4+2，4+2）∴OE==4+4，又∵OC==2，∴CE=OE﹣OC=4+2，∴CE=EF；（4）不存在．如圖，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，則CM=CE，∠QCM=∠PCE∵∠QCP=60°，∴∠MCE=60°又∵CE=EF，∴EM=EF，又∵點E為直線y=x上的點，∴∠CEF=45°，∴點M與點F不重合．∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾，∴原假設錯誤，滿足條件的點M不存在．點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，反證法，正確求得E的坐標是關鍵．5．（2015?龍巖）如圖，已知點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，以D為圓心的⊙D與y軸相切于點C（0，4），與x軸交于A，B兩點，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，B，C三點，點P是拋物線上的動點，且線段AP與BC所在直線有交點Q．（1）寫出點D的坐標并求出拋物線的解析式；（2）證明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在點P，使點Q為線段AP的四等分點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到點D的縱坐標是4，所以由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可以求得點D的坐標；過點D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，易得出A，B的坐標，即可求出拋物線的解析式；（2）連接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO．（3）分別過點Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，設P（t，t2﹣t+4），分三種情況①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分別求解即可．解答：解：（1）∵以D為圓心的⊙D與y軸相切于點C（0，4），∴點D的縱坐標是4，又∵點D在雙曲線y=（x＞0）的圖象上，∴4=，解得x=5，故點D的坐標是（5，4）．如圖1，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，連接AD，BD，在RT△DAE中，DA=5，DE=4，∴AE==3，∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，∴A（2，0），B（8，0），設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它過點C（0，4），∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x+4．（2）如圖2，連接AC，在RT△AOC中，OA=2，CO=4，∴tan∠ACO==，在RT△BOC中，OB=8，CO=4，∴tan∠CBO==，∴∠ACO=∠CBO．（3）∵B（8，0），C（0，4），∴直線BC的解析式為y=﹣x+4，如圖3，分別過點Q，P作QF⊥x軸，PG⊥x軸，垂足分別為F，G，設P（t，t2﹣t+4），①AQ：AP=1：4，則易得Q（，），∵點Q在直線y=﹣x+4上，∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，解得t1=4+2，t2=4﹣2，∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），②AQ：AP=2：4，則易得Q（，），∵點Q在直線y=﹣x+4上，∴﹣?+4=，整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；③AQ：AP=3：4，則易得Q（，），∵點Q在直線y=﹣x+4上，∴﹣?+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），綜上所述，拋物線上存在六個點P，使Q為線段AP的四等分點，其坐標分別為P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及雙曲線，一次函數(shù)，三角函數(shù)及二次函數(shù)的知識，解題的關鍵是分三種情況討論求解．6．（2015?甘南州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三點，且|x2﹣x1|=5．（1）求b，c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）把A（0，﹣4）代入可求c，運用兩根關系及|x2﹣x1|=5，對式子合理變形，求b；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；（3）由四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據(jù)所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形即可．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c，經(jīng)過點A（0，﹣4），∴c=﹣4又∵由題意可知，x1、x2是方程﹣x2+bx﹣4=0的兩個根，∴x1+x2=b，x1x2=6由已知得（x2﹣x1）2=25又∵（x2﹣x1）2=（x2+x1）2﹣4x1x2=b2﹣24∴b2﹣24=25解得b=±，當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴b=﹣．（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上，又∵y=﹣x2﹣x﹣4=﹣（x+）2+，∴拋物線的頂點（﹣，）即為所求的點D．（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（﹣6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線x=﹣3與拋物線y=﹣x2﹣x﹣4的交點，∴當x=﹣3時，y=﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）﹣4=4，∴在拋物線上存在一點P（﹣3，4），使得四邊形BPOH為菱形．四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（﹣3，3），但這一點不在拋物線上點評：本題考查了拋物線解析式的求法，根據(jù)菱形，正方形的性質(zhì)求拋物線上符合條件的點的方法．7．（2015?鎮(zhèn)江）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點（0，3），且當x=1時，y有最小值2．（1）求a，b，c的值；（2）設二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）（k為實數(shù)），它的圖象的頂點為D．①當k=1時，求二次函數(shù)y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象與x軸的交點坐標；②請在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上各找出一個點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，直接寫出點M，N的坐標（點M在點N的上方）；③過點M的一次函數(shù)y=﹣x+t的圖象與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于另一點P，當k為何值時，點D在∠NMP的平分線上？④當k取﹣2，﹣1，0，1，2時，通過計算，得到對應的拋物線y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的頂點分別為（﹣1，﹣6，），（0，﹣5），（1，﹣2），（2，3），（3，10），請問：頂點的橫、縱坐標是變量嗎？縱坐標是如何隨橫坐標的變化而變化的？考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）利用頂點式的解析式求解即可；（2））①當k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x的值，即可得出圖象與x軸的交點坐標；②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當經(jīng)x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，可得M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6）；③由y=﹣+t，經(jīng)過（﹣1，6），可得t的值，由MN⊥x軸，可得E點的橫坐標為﹣1，可得出AE，ME，MA的值．設MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，設BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AMN，可求出x的值，即可得出MD的函數(shù)表達式為y=﹣2x+4．再把點D代入，即可求出k的值；④觀察可得出當頂點的橫坐標大于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而增大，當頂點的橫坐標小于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而減?。獯穑航猓海?）設y=a（x﹣1）2+2，將（0，3）代入，得a=1，∴y=（x﹣1）2+2，即y=x2﹣2x+3，∴a=1，b=﹣2，c=3；（2）①當k=1時，y=﹣x2+4x﹣1，令y=0，﹣x2+4x﹣1=0，解得x=2±，即圖象與x軸的交點坐標（2+，0），（2﹣，0）；②y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）當經(jīng)x=﹣1時，y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）的圖象上點M，N，不論k取何值，這兩個點始終關于x軸對稱，∴M（﹣1，6），N（﹣1，﹣6），③y=﹣x+t，經(jīng)過（﹣1，6），得t=，∴y=﹣x+，則A（7，0），∵MN⊥x軸，∴E點的橫坐標為﹣1，∴AE=8，∵ME=6，∴MA=10．如圖1，設MD交AE于點B，作BC⊥AM于點C，∵MD平分∠NMP，MN⊥x軸，∴BC=BE，設BC=x，則AB=8﹣x，顯然△ABC∽△AME，∴=，則x=3．得點B（2，0），∴MD的函數(shù)表達式為y=﹣2x+4．∵y=ax2+bx+c與y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）=﹣[x﹣（k+1）]2+（k+1）2+2k﹣3．把D（k+1，k2+2k+1+2k﹣3），代入y=﹣2x+4．得k=﹣3±，由y=k（2x+2）﹣（ax2+bx+c）有意義可得k=﹣3+，④是．當頂點的橫坐標大于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而增大，當頂點的橫坐標小于﹣1時，縱坐標隨橫坐標的增大而減?。c評：本題主要考查了二次函數(shù)，涉及二次函數(shù)的解析式的求法，一次函數(shù)的知識及相似三角形，解題的關鍵是把二次函數(shù)圖象與其它函數(shù)圖象相結(jié)合解決問題．8．（2015?綿陽）已知拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a≠0）與y軸相交于A點，頂點為M，直線y=x﹣a分別與x軸、y軸相交于B，C兩點，并且與直線MA相交于N點．（1）若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求a的取值范圍，并用a表示交點M，A的坐標；（2）將△NAC沿著y軸翻轉(zhuǎn)，若點N的對稱點P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對稱軸相交于點D，連接CD，求a的值及△PCD的面積；（3）在拋物線y=﹣x2﹣2x+a（a＞0）上是否存在點P，使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）先聯(lián)立拋物線與直線的解析式得出關于x的方程，再由直線BC和拋物線有兩個不同交點可知△＞0，求出a的取值范圍，令x=0求出y的值即可得出A點坐標，把拋物線的解析式化為頂點式的形式即可得出M點的坐標；（2）利用待定系數(shù)法求出直線MA的解析式，聯(lián)立兩直線的解析式可得出N點坐標，進而可得出P點坐標，根據(jù)S△PCD=S△PAC﹣S△ADC可得出結(jié)論；（3）分點P在y軸左側(cè)與右側(cè)兩種情況進行討論即可．解答：解：（1）由題意得，，整理得2x2+5x﹣4a=0．∵△=25+32a＞0，解得a＞﹣．∵a≠0，∴a＞﹣且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由y=﹣（x+1）2+1+a得，M（﹣1，1+a）．（2）設直線MA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（0，a），M（﹣1，1+a），∴，解得，∴直線MA的解析式為y=﹣x+a，聯(lián)立得，，解得，∴N（，﹣）．∵點P是點N關于y軸的對稱點，∴P（﹣，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2+a+a，解得a=或a=0（舍去）．∴A（0，），C（0，﹣），M（﹣1，），|AC|=，∴S△PCD=S△PAC﹣S△ADC=|AC|?|xp|﹣|AC|?|x0|=??（3﹣1）=；（3）①當點P在y軸左側(cè)時，∵四邊形APCN是平行四邊形，∴AC與PN互相平分，N（，﹣），∴P（﹣，）；代入y=﹣x2﹣2x+a得，=﹣a2+a+a，解得a=，∴P（﹣，）．②當點P在y軸右側(cè)時，∵四邊形ACPN是平行四邊形，∴NP∥AC且NP=AC，∵N（，﹣），A（0，a），C（0，﹣a），∴P（，﹣）．代入y=﹣x2﹣2x+a得，﹣=﹣a2﹣a+a，解得a=，∴P（，﹣）．綜上所述，當點P（﹣，）和（，﹣）時，A、C、P、N能構(gòu)成平行四邊形．點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大．9．（2015?南寧）在平面直角坐標系中，已知A、B是拋物線y=ax2（a＞0）上兩個不同的點，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如圖1所示，當直線AB與x軸平行，∠AOB=90°，且AB=2時，求此拋物線的解析式和A、B兩點的橫坐標的乘積．（2）如圖2所示，在（1）所求得的拋物線上，當直線AB與x軸不平行，∠AOB仍為90°時，A、B兩點的橫坐標的乘積是否為常數(shù)？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若直線y=﹣2x﹣2分別交直線AB，y軸于點P、C，直線AB交y軸于點D，且∠BPC=∠OCP，求點P的坐標．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）如圖1，由AB與x軸平行，根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，由于∠AOB=90°，得到OE=AB=1，求出A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1得到拋物線的解析式y(tǒng)=x2，A、B兩點的橫坐標的乘積為xA?xB=﹣1（2）如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N得到∠AMO=∠BNO=90°，證出△AMO∽△BON，得到OM?ON=AM?BN，設A（xA，yA），B（xB，yB），由于A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2圖象上，得到y(tǒng)A=，yB=，即可得到結(jié)論；（3）設A（m，m2），B（n，n2）．作輔助線，證明△AEO∽△OFB，得到mn=﹣1．再聯(lián)立直線m：y=kx+b與拋物線y=x2的解析式，由根與系數(shù)關系得到：mn=﹣b，所以b=1；由此得到OD、CD的長度，從而得到PD的長度；作輔助線，構(gòu)造Rt△PDG，由勾股定理求出點P的坐標．解答：解：（1）如圖1，∵AB與x軸平行，根據(jù)拋物線的對稱性有AE=BE=1，∵∠AOB=90°，∴OE=AB=1，∴A（﹣1，1）、B（1，1），把x=1時，y=1代入y=ax2得：a=1，∴拋物線的解析式y(tǒng)=x2，A、B兩點的橫坐標的乘積為xA?xB=﹣1（2）xA?xB=﹣1為常數(shù)，如圖2，過A作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，∴∠AMO=∠BNO=90°，∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠BON，∴△AMO∽△BON，∴，∴OM?ON=AM?BN，設A（xA，yA），B（xB，yB），∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2圖象上，∴，yA=，yB=，∴﹣xA?xB=yA?yB=?，∴xA?xB=﹣1為常數(shù)；（3）設A（m，m2），B（n，n2），如圖3所示，過點A、B分別作x軸的垂線，垂足為E、F，則易證△AEO∽△OFB．∴，即，整理得：mn（mn+1）=0，∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=﹣1．設直線AB的解析式為y=kx+b，聯(lián)立，得：x2﹣kx﹣b=0．∵m，n是方程的兩個根，∴mn=﹣b．∴b=1．∵直線AB與y軸交于點D，則OD=1．易知C（0，﹣2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．設P（a，﹣2a﹣2），過點P作PG⊥y軸于點G，則PG=﹣a，GD=OG﹣OD=﹣2a﹣3．在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，即：（﹣a）2+（﹣2a﹣3）2=32，整理得：5a2+12a=0，解得a=0（舍去）或a=﹣，當a=﹣時，﹣2a﹣2=，∴P（﹣，）．點評：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程等知識點，有一定的難度．第（3）問中，注意根與系數(shù)關系的應用．10．（2015?遼陽）如圖1，平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與拋物線y=ax2+x+c相交于A，B兩點，其中點A在x軸上，點B在y軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上存在一點M，使△MAB是以AB為直角邊的直角三角形，求點M的坐標；（3）如圖2，點E為線段AB上一點，BE=2，以BE為腰作等腰Rt△BDE，使它與△AOB在直線AB的同側(cè)，∠BED=90°，△BDE沿著BA方向以每秒一個單位的速度運動，當點B與A重合時停止運動，設運動時間為t秒，△BDE與△AOB重疊部分的面積為S，直接寫出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)直線解析式，求出A與B的坐標，代入拋物線解析式求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式；（2）由M在拋物線圖象上，設出M坐標，分兩種情況考慮：①當∠MBA=90°時；②當∠BAM′=90°時，分別求出M坐標即可；（3）根據(jù)t的范圍，分三種情況考慮：當0≤t≤時；當≤t≤3時；當3≤t≤5時，分別確定出S與t的函數(shù)解析式即可．解答：解：（1）對于直線y=﹣x+3，當y=0時，0=﹣x+3，即x=4，∴A（4，0），當x=0時，y=3，即B（0，3），把A與B坐標代入y=ax2+x+c中，得：，解得：，則拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；″（2）設M坐標為（x，﹣x2+x+3），①當∠MBA=90°時，如圖1，作MN⊥y軸，則有∠MNO=90°，∴∠NMB+∠MBN=90°，∵∠MBN+∠ABM+∠ABO=180°，∴∠MBN+∠ABO=90°，∴∠NMB=∠ABO，∵∠MNO=∠BOA，∴△MNB∽△BOA，∴=，即=，解得：x=或x=0（舍去），當x=時，y=，即M（，）；②當∠BAM′=90°時，易知△AM′N′∽△BAO，∴，即，解得x=﹣或4（舍去），當x=﹣時，y=﹣，即M′（﹣，﹣），則滿足條件M的坐標為（，）或（﹣，﹣）；（3）如圖2所示，當D點運動到x軸上時，易知△AD′E′∽△ABO，∴，∴AE′=，∴EE′=AB﹣BE﹣AE′=5﹣2﹣=，∴當0≤t≤時，S=2；當≤t≤3時，S=﹣t2+t+；當3≤t≤5時，S=t2﹣t+．點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標軸的交點，待定系數(shù)法確定拋物線解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關鍵．11．（2015?鄂州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）①先求的直線y=x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．解答：解：（1）①y=當x=0時，y=2，當y=0時，x=﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=﹣對稱，∴點B的坐標為1，0）．②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），又∵拋物線過點C（0，2），∴2=﹣4a∴a=∴y=x2x+2．（2）設P（m，m2m+2）．過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，∴Q（m，m+2），∴PQ=m2m+2﹣（m+2）=m2﹣2m，∵S△PAC=×PQ×4，=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，∴當m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是4，此時P（﹣2，3）．（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，∴∠CAO=∠BCO，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO，如下圖：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據(jù)拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；③當點M在第四象限時，設M（n，n2n+2），則N（n，0）∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4當時，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4（舍），n2=2∴M（2，﹣3）；當時，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4（舍），n2=5，∴M（5，﹣18）．綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．點評：本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應用，難度較大，解答本題需要同學們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關性質(zhì)．12．（2015?湘西州）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以1個單位/秒的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以個單位/秒的速度勻速運動，連接PQ，設運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）先由直線AB的解析式為y=﹣x+3，求出它與x軸的交點A、與y軸的交點B的坐標，再將A、B兩點的坐標代入y=﹣x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）由直線與兩坐標軸的交點可知：∠QAP=45°，設運動時間為t秒，則QA=，PA=3﹣t，然后再圖①、圖②中利用特殊銳角三角函數(shù)值列出關于t的方程求解即可；（3）設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四邊形為平行線四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知EP=FQ，從而的到關于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后將t=1代入即可求得點F的坐標；（4）設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t），然后由拋物線的解析式求得點M的坐標，從而可求得MB的長度，然后根據(jù)相似相似三角形的性質(zhì)建立關于t的方程，然后即可解得t的值．解答：解：（1）∵y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴當y=0時，x=3，即A點坐標為（3，0），當x=0時，y=3，即B點坐標為（0，3），將A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，∴∠QAP=45°．如圖①所示：∠PQA=90°時，設運動時間為t秒，則QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1；如圖②所示：∠QPA=90°時，設運動時間為t秒，則QA=，PA=3﹣t．在Rt△PQA中，，即：，解得：t=．綜上所述，當t=1或t=時，△PQA是直角三角形；（3）如圖③所示：設點P的坐標為（t，0），則點E的坐標為（t，﹣t+3），則EP=3﹣t，點Q的坐標為（3﹣t，t），點F的坐標為（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），則FQ=3t﹣t2．∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴EP=FQ．即：3﹣t=3t﹣t2．解得：t1=1，t2=3（舍去）．將t=1代入F（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），得點F的坐標為（2，3）．（4）如圖④所示：設運動時間為t秒，則OP=t，BQ=（3﹣t）．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴點M的坐標為（1，4）．∴MB==．當△BOP∽△QBM時，即：，整理得：t2﹣3t+3=0，△=32﹣4×1×3＜0，無解：當△BOP∽△MBQ時，即：，解得t=．∴當t=時，以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似．點評：本題主要考查的是二次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、平行四邊形、相似三角形的綜合應用，利用含字母t的式子表示出相關線段的長度，根據(jù)圖形的性質(zhì)建立關于字母t的方程是解題的關鍵．13．（2015?葫蘆島）如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？（3）在（2）的結(jié)論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）首先根據(jù)直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．解答：解：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，∴解得∴y=﹣x2+x+3．（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，，∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，∴設點E的坐標是（x，﹣x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣x+3），∴EM=﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣x2+x）×4=﹣x2+3x=﹣（x﹣2）2+3，∴當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，△BEC的面積最大，最大面積是3．（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．①如圖2，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則解得或，∵x＜0，∴點P的坐標是（﹣3，﹣）．②如圖3，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∴AM所在的直線的斜率是：；∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則解得或，∵x＞0，∴點P的坐標是（5，﹣）．③如圖4，，由（2），可得點M的橫坐標是2，∵點M在直線y=﹣x+3上，∴點M的坐標是（2，），又∵點A的坐標是（﹣2，0），∴AM==，∵y=﹣x2+x+3的對稱軸是x=1，∴設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x，﹣x2+x+3），則解得，∴點P的坐標是（﹣1，）．綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（﹣3，﹣）、（5，﹣）、（﹣1，）．點評：（1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．（2）此題還考查了函數(shù)解析式的求法，以及二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握．14．（2015?曲靖）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線l⊥y軸于點B（0，﹣2），A為OB的中點，以A為頂點的拋物線y=ax2+c與x軸交于C、D兩點，且CD=4，點P為拋物線上的一個動點，以P為圓心，PO為半徑畫圓．（1）求拋物線的解析式；（2）若⊙P與y軸的另一交點為E，且OE=2，求點P的坐標；（3）判斷直線l與⊙P的位置關系，并說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)題意可知A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0），從而可求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)OE=2可知點E的坐標為（0，2）或（0，﹣2），從而可確定出點P的縱坐標為1或﹣1；（3）設點P的坐標為（m，），然后求得圓P的半徑OP和點P到直線l的距離，根據(jù)d=r，可知直線和圓相切．解答：解：（1）∵點A為OB的中點，∴點A的坐標為（0，﹣1）．∵CD=4，由拋物線的對稱性可知：點C（﹣2，0），D（2，0），將點A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入拋物線的解析式得：，解得：，∴拋物線得解析式為y=．（2）如下圖：過點P1作P1F⊥OE．∵OE=2，∴點E的坐標為（0，2）．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴點P1的縱坐標為1．同理點P2的縱坐標為1．將y=1代入拋物線的解析式得：x1=，x2=2．∴點P1（﹣2，1），P2（﹣2，1）．如下圖：當點E與點B重合時，點P3與點A重合，∴點P3的坐標為（0，﹣1）．綜上所述點P的坐標為（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．（3）設點P的坐標為（m，），∴圓的半徑OP==，點P到直線l的距離=﹣（﹣2）=+1．∴d=r．∴直線l與圓P相切．點評：本題主要考查的是二次函數(shù)與圓的綜合應用，根據(jù)題意確定出點E的坐標，然后再得出點P的縱坐標是解題的關鍵．15．（2015?湘潭）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發(fā)，連接PQ，當點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點？若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，應用待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)的解析式即可．（2）首先根據(jù)待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，再分別求出點P、點Q的坐標各是多少；然后分兩種情況：①當∠QPB=90°時；②當∠PQB=90°時；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出t的值各是多少即可．（3）首先延長MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，再用待定系數(shù)法，求出PQ所在的直線的解析式，然后PQ的中點恰為MN的中點，判斷出是否存在滿足題意的點N即可．解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，∴，解得．∴二次函數(shù)的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴點C的坐標是（0，﹣3），∴BC==3，設BC所在的直線的解析式是：y=mx+n，則，解得．∴BC所在的直線的解析式是：y=x﹣3，∵經(jīng)過t秒，AP=t，BQ=t，∴點P的坐標是（t﹣1，0），設點Q的坐標是（x，x﹣3），∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，則y=×sin45°=×=t，則Q點縱坐標為﹣t，∴x=3﹣t，∴點Q的坐標是（3﹣t，﹣t），①如圖1，，當∠QPB=90°時，點P和點Q的橫坐標相同，∵點P的坐標是（t﹣1，0），點Q的坐標是（3﹣t，﹣t），∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即當t=2時，△BPQ為直角三角形．②如圖2，，當∠PQB=90°時，∵∠PBQ=45°，∴BP=，∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，∴4﹣t=即4﹣t=2t，解得t=，即當t=時，△BPQ為直角三角形．綜上，可得當△BPQ為直角三角形，t=或2．（3）如圖3，延長MQ交拋物線于點N，H是PQ的中點，，設PQ所在的直線的解析式是y=px+q，∵點P的坐標是（t﹣1，0），點Q的坐標是（3﹣t，﹣t），∴，解得．∴PQ所在的直線的解析式是y=x+，∴點M的坐標是（0，）∵，=﹣，∴PQ的中點H的坐標是（1，﹣）假設PQ的中點恰為MN的中點，∵1×2﹣0=2，﹣=，∴點N的坐標是（2，），又∵點N在拋物線上，∴=22﹣2×2﹣3=﹣3，解得t=或t=，∵t＜2，∴t=，∴當t＜2時，延長QP交y軸于點M，當t=時在拋物線上存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點．點評：（1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力．（2）此題還考查了等腰三角形的性質(zhì)和應用，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．（3）此題還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握．16．（2015?營口）如圖1，一條拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且當x=﹣1和x=3時，y的值相等，直線y=x﹣與拋物線有兩個交點，其中一個交點的橫坐標是6，另一個交點是這條拋物線的頂點M．（1）求這條拋物線的表達式．（2）動點P從原點O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點立即停止運動，設運動時間為t秒．①若使△BPQ為直角三角形，請求出所有符合條件的t值；②求t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？（3）如圖2，當動點P運動到OB的中點時，過點P作PD⊥x軸，交拋物線于點D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關系式．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）因為當x=﹣1和x=3時，y的值相等，所以拋物線的對稱軸為直線x=1，將x=1和x=6分別代入中，可求得拋物線的頂點坐標和與直線另一交點的坐標，然后設出拋物線的頂點式，最后將（6，6）代入即可求得拋物線的解析式；（2）①先求得A（2，0），B（4，0），C（0，﹣3），從而可得到OA=2，OB=4；OC=3，由勾股定理知BC=5，有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當∠PQB=90°時，可得△PQB∽△COB，當∠BPQ=90°時，可得△BPQ∽△BOC；②過點Q作QG⊥AB于G，能夠等到△BGQ∽△BOC，可求得GQ=然后S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=9，從而可求得四邊形的面積的最值；（3）先求得點D的坐標，然后根據(jù)平移與坐標變換的關系得出點P1（2﹣m，0），D1（2﹣m，﹣3），E（2﹣m，﹣3+），①當0時，作FH⊥軸于點H，S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ；當時，設D1P1交OM于點F，S△OEF==．解答：解：（1）∵當x=﹣1和x=3時，y的值相等，∴拋物線的對稱軸為直線x=1，把x=1和x=6分別代入中，得頂點M（1，﹣），另一個交點坐標為（6，6），則可設拋物線的表達式為y=a（x﹣1）2﹣，將（6，6）代入其中，解得a=，∴拋物線的表達式為y=，即y=…3分（2）如下圖：當y=0時，．解得：x1=﹣2，x2=4．由題意可知：A（2，0），B（4，0），所以OA=2，OB=4；當x=0時，y=﹣3，所以點C（0，﹣3），OC=3，由勾股定理知BC=5，OP=1×t=t，BQ=2×t=2t，①∵∠PBQ是銳角，∴有∠PQB=90°或∠BPQ=90°兩種情況：當∠PQB=90°時，可得△PQB∽△COB，∴，∴，∴t=；當∠BPQ=90°時，可得△BPQ∽△BOC，∴，∴，∴t=；由題意知0≤t≤2.5，∴當t=或t=時，以B，P，Q為頂點的三角形是直角三角形…7分②過點Q作QG⊥AB于G，∴△BGQ∽△BOC，∴，∴，∴GQ=，∴S四邊形ACQP=S△ABC﹣S△BPQ=﹣==9．∵＞0，∴四邊形ACQP的面積有最小值，又∵t=2滿足0≤t≤2.5，∴當t=2時，四邊形ACQP的面積最小，最小值是；（